§ 7. Анализ и синтез

7.1. Анализ — логический прием, метод исследования, состоя­щий в том, что изучаемый объект мысленно (или практически ) рас­членяется на составные элементы (признаки, свойства, отношения), каждый из которых исследуется в отдельности как часть расчленен­ного целого.

Синтез — логический прием, с помощью которого отдельные эле­менты соединяются в целое.

Очень часто умение мыслить связывают с умением анализировать. Это вполне правомерно, так как вывод следствий, выражающих новые свойства изучаемого объекта, очень часто требует анализа того, что уже известно о нем.

В математике, чаще всего, под анализом понимают рассуждение в «обратном направлении», т. е. от неизвестного, от того, что необхо­димо найти, к известному, к тому, что уже найдено или дано, от того, что необходимо доказать, к тому, что уже доказано или принято за истинное.

В таком понимании, наиболее важном для обучения, анализ яв­ляется средством поиска решения, доказательства, хотя в большин­стве случаев сам по себе решением, доказательством еще не является.

Синтез, опираясь на данные, полученные в ходе анализа, дает решение задачи или доказательство теоремы.

Мы ограничимся этим пониманием анализа и синтеза.

7.2. Анализ лежит в основе весьма общего подхода к решению задач (имеется в виду нестандартных задач, для которых нет соот­ветствующего алгоритма), известного под названием сведения (ре­дукции) задачи к совокупности подзадач.

Идея такого подхода состоит именно в свойственном для анализа «размышлении в обратном направлении» от задачи, которую пред­стоит решить, к подзадачам, затем от этих подзадач к подподзадачам и т. д., пока исходная задача не будет сведена к набору элемен­тарных задач. Что же понимают под «элементарными задачами»? Это, во-первых, задачи, решаемые за один шаг поиска, во-вторых, более сложные задачи (т. е. не решаемые за один шаг поиска), реше­ние которых уже известно из имеющегося опыта решения задач.

Из такого понимания элементарной задачи следует, что чем боль­ший опыт решения задач, тем больше задач становятся для нас «эле­ментарными» в упомянутом выше смысле, а следовательно, тем мень­ше объем поиска при решении новых задач, их сведения к элемен­тарным, так как цель поиска состоит в получении элементарных задач, останавливающих процесс поиска.

Рассмотрим пример применения описанного подхода к решению задачи на доказательство: «Если через точку вне окружности прове­сти секущую и касательную, то произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной».

Обозначим для краткости через Р условие: — касательная,

С — точка касания; — секущая,— ее внешняя часть;

через Q — заключение: (рис. 20).

Во введенных обозначениях задача запишется так:

гДе Г — совокупность уже известных истинных предложений гео­метрии.

Доказываемое равенство непосредственно из ранее известного получить как будто нельзя. Нельзя ли это равенство несколько пре­образовать? Его можно представить в виде пропорции

Следовательно,

_{, Q-элементарная задача.}

Но тогда возникает новая задача:

Откуда можно получить пропор­циональность отрезков? Очевидно, из подобия треугольников, в кото­рых эти отрезки являются сходственными сторонами. Какие же треугольники нужно образовать? Это видно из самой пропорции. Если члены первого отношения будем считать сторонами одного треугольника, а члены второго отношения — сторонами другого треугольника,

то нужно образовать треугольники ACD и ABC, т. е. соединить точ­ки (С, D) и (В, С) (рис. 20, б) (к этому же мы придем, если допустим, что предыдущие члены отношений — стороны одного треугольника, а последующие — стороны другого).

Итак,— элементарная задача (пропорциональность сходственных сторон непосредственно сле­дует из подобия треугольников), но тогда возникает новая задача:

Перебирая (в уме) признаки подобия треугольников и учитывая, что пропорциональность сторон нам нужно доказать и поэтому на нее нельзя ссылаться, приходим к элементарной задаче:

(первый признак подобия треугольников). Но тогда возникают еще две новые задачи:

первая из которых тривиальна (совпадающие углы равны), вторая непосредственно следует из измерения вписанного угла и угла, образованного касательной и хордой, и поэтому может считаться эле­ментарной.

На этом сведение исходной задачи к подзадачам завершается.

Теперь, идя обратным путем, от элементарных задач, к которым мы свели в конце концов исходную задачу, мы получим решение этой задачи, т. е. доказательство сформулированного предложения.

Осуществленный поиск (с помощью сведения задачи к совокупно­сти подзадач) доказательства и само полученное в результате этого поиска решение могут быть наглядно представлены в виде следую­щих графов:

В приведенном примере исходная задача была сведена к одной совокупности подзадач, в результате чего был открыт один способ решения (доказательства). Однако часто подобный поиск открывает возможность сведения исходной задачи к альтернативным совокуп­ностям подзадач. Такой процесс сведения наглядно изображается с помощью так называемого И/ИЛИ графа.

Изображенный на рисунке 21 с помощью такого графа процесс сведения задачи А состоит в следующем: для решения задачи А до­статочно решить одну из задач В или С (В и С называются ИЛИ- вершинами графа или вершинами типа ИЛИ). Для решения задачи В необходимо решить задачи D и Е (D и Е называются И- вершинами

или вершинами типа И). Такого же типа являются вершины F, G Н, К, L (стрелки, ведущие к И- вершинам, соединены дугой). Вер­шины же М и Р являются опять ИЛИ-вершинами (для решения за­дачи Я достаточно решить одну из задач — М или Р).

И/ИЛИ-граф оказывается под­ходящей формой для наглядного представления процесса сведения и может быть использован в обу­чении.

Приведем пример.

Задача. Доказать, что сере­дины полудиагоналей параллело­грамма являются вершинами парал­лелограмма.

Обозначим через Р совокуп­ность посылок (условие), т. е. параллелограмм;

(рис. 22).

1режде чем приступить к поиску решения сведением задачи к подзадачам, необходимо вспомнить все связанные с рассматриваемыми в задаче объектами уже известные положения (определения, призна­ки, другие ранее доказанные теоремы, касающиеся параллелограмма, треугольника, средней линии треугольника). Эти положения могут оказаться полезными в процессе сведения данной задачи к подзада­чам.

Определение и каждый из известных признаков параллелограмма подсказывает возможное направление поиска. Можно вести поиск по всем этим направлениям, если мы хотим найти различные способы доказательства. Но, если мы ищем один, возможно более простой, способ, мы ведем поиск лишь в том направлении, которое кажется более перспективным, исходя из той эвристической информации, которая заложена в условии. Так как условие связано с диагоналями, то можно предполагать, что именно признак параллелограмма, свя­занный со свойствами диагоналей, быстрее приведет к цели.

На приведенном ниже фрагменте и/или-графа поиск доведен до конца лишь в этом направлении, на нем для краткости через Q обо­значено заключение («— параллелограмм»).

Полный граф поиска (по всем направлениям) позволяет сравнить различные способы доказательства, выявить наиболее рациональный (приведенный на схеме) и подсказывает учителю, как направить поиск учащихся по кратчайшему пути.

Как показывает этот пример, из условия задачи можно извлечь эвристическую информацию, способствующую открытию наиболее перспективного направления поиска.

Найденный способ доказательства может быть представлен . в виде следующего графа, наглядно изображающего синтез этого дока­зательства и легко получающегося из графа поиска, если продви­гаться от элементарных задач к началу, т. е. к доказываемому предло­жению.

7.3. Внимательно изучив оба примера сведения задачи на дока­зательство к подзадачам, можно заметить, что в них применена одна И та же схема поиска доказательства. Ввиду того что эта схема встре­чается довольно часто, рассмотрим ее в общем виде.

Пусть необходимо доказать предложение

Мы уже знаем, что эту задачу можно представить в виде

где Г — совокупность уже известных предложений теории, на языке которой сформулировано и доказываемое предложение.

Общая схема сведения к подзадачам задач такого вида состоит в том, что в исходную задачу вводят новые дополнительные посылки так, чтобы получить элементарную задачу, а затем формулируют до­полнительные задачи на доказательство этих новых посылок.

Так, при, сведении задачи (1) может быть добавлена одна новая посылка X₁. В этом случае получаем:

Если задача (2) элементарная, то процесс сведения задачи (1) к элементарным задачам завершен.

Если же задача (2) не является элементарной, то к ней применяется такая же процедура поиска, что и к задаче (1), т. е. ищем такую по­сылку Х2, добавление которой позволило бы нам получить элемен­тарную задачу и новую задачу на доказательство дополнительной посылки Х2:

Если задача (3) элементарная, то поиск решения задачи (1) закан­чивается, она сведена к элементарным задачам. Если же нет, то к за­даче (3) применяется такая же процедура поиска и т. д.

Но что здесь означает «и т. д.»?

Процесс поиска должен быть конечен и состоять из не очень боль­шого числа, шагов, так как его осуществляет человек. Очень большой объем поиска часто является причиной того, что процесс решения не доводится до конца.

Вообще, процесс поиска (по описанной выше схеме) может иметь два исхода: либо через определенное число шагов мы получаем эле­ментарные задачи (т. е. поиск привел к решению исходной задачи), либо на каком-то шагу мы получаем неэлементарную задачу, которую не удается свести к элементарным таким же путем, т. е. в наших знаниях мы не находим той дополнительной посылки, с помощью которой

это можно было бы сделать. В таком случае поиск не привел к решению исходной задачи, нас постигла неудача, или, как часто говорят, «мы зашли в тупик». Если это случилось, то необходимо (возможно после некоторого перерыва) возобновить поиск решения задачи, но уже по другому направлению, с помощью других «операторов сведения»!

Описанная схема поиска не всегда применяется в таком виде, когда на каждом шагу добавляется только одна дополнительная по­сылка.

Встречаются случаи, как это имело место в одном из приведенных примеров, когда одновременно добавляется несколько дополнитель­ных посылок, чтобы превратить нашу задачу в элементарную, и по­лучают несколько новых задач на доказательство этих дополнитель­ных посылок:

Иногда, как это случилось во втором из приведенных примеров, в самом начале поиска доказательства мы обнаруживаем несколько возможных направлений поиска и ведем его по всем этим направле­ниям, открывая различные способы доказательства.

Описанная схема поиска доказательства, естественно, не един­ственно возможная. Она также не является универсальной, т. е. применимой к любой задаче на доказательство, независимо от струк­туры доказываемого предложения.

7.4. Подход к решению задач, состоящий в сведении задач к со­вокупности подзадач, находит широкое применение в практике ре­шения не только задач на доказательство.

Приведем в качестве примера арифметическую задачу для IV клас­са: «В двух бригадах совхоза участки под зерновые составляли 2000 га и 3000 га соответственно. Первая бригада собрала по 30 ц, вторая rjo 26 ц с гектара. Продано государству 5500 т е первого участка и 7000 т со второго. Остальное зерно засыпано в семенной фонд. Сколько зерна засыпал совхоз в семенной фонд?»

Обычно анализ задачи по существу представляет собой процесс сведения данной задачи к совокупности подзадач, доведенный до эле­ментарных задач. Здесь элементарной считается задача, решаемая с помощью не более одного действия над данными задачи (т. е. эле­ментарной считается и задача, решение которой находится среди дан­ных, например: «Сколько зерна продано государству с первого уча­стка?»).

Возможен и иной путь поиска.

Построение самого процесса решения (синтез) осуществляется последовательным решением подзадач в обратном порядке, начиная с элементарных (1—2—3—4—5).