§ 3. Сравнение и аналогия

3.1. Сравнение и аналогия—логические приемы мышления, ис­пользуемые как в научных исследованиях, так и в обучении.

С помощью сравнения выявляется сходство и различие сравнивае­мых предметов, т. е. наличие у них общих и необщих (различных) свойств.

Например, сравнение треугольника и четырехугольника раскры­вает их общие свойства: наличие сторон, вершин, углов, столько же вершин и углов, сколько сторон, а также различие: у треугольника три вершины (стороны), у" четырехугольника — четыре. Сравнение параллелограмма и трапеции позволяет выявить их общие свойства: они оба четырехугольники, оба имеют параллельные стороны, — и различие: в одном — две пары параллельных сторон, в другом — одна. Сравнение обыкновенных и алгебраических дробей выявляет их сходство: наличие числителя и знаменателя, отсутствие значения, когда знаменатель обращается в нуль, и т. д., — и различие: в одном случае числитель и знаменатель — числа, в другом — алгебраичес­кие выражения.

Сравнение приводит к правильному выводу, если выполняются следующие условия: 1) сравниваемые понятия однородны и 2) срав­нение осуществляется по таким признакам, которые имеют сущест­венное значение.

Эти два условия выполняются в приведенных выше сравнениях: треугольник и четырехугольник — однородные понятия (многоуголь­ники), параллелограмм и трапеция — четырехугольники, обыкновен­ные и алгебраические дроби — выражения. Во всех трех случаях сравнение осуществлено по существенным признакам (если, напри­мер, включили бы в общие свойства параллелограмма и трапеции тот факт, что они оба обозначены одними и теми же буквами ABCD, или считали бы различием обозначение их различными буквами, то это было бы ошибочным подходом к сравнению).

Сравнение подготавливает почву для применения аналогии.

С помощью аналогии сходство предметов, выявленное в резуль­тате их сравнения, распространяется на новое свойство (или новые свойства).

Рассуждение по аналогии имеет следующую общую схему:

Вероятно(возможно) В обладает и свойством d.

Как видим, заключение по аналогии является лишь вероятным (правдоподобным), а не достоверным. Поэтому аналогия, как пра­вило, не является доказательным рассуждением, т. е. рассуждением, которое может служить доказательством. («Как правило» потому, что имеется исключение, связанное с особым видом аналогии, о кото­ром речь пойдет дальше.) Однако в обучении, как, впрочем, и в науке, аналогия часто полезна тем, что она наводит нас на догадки, т. е. служит эвристическим методом. В обучении же математике не менее важно, чем учить доказывать, это учить догадываться, что именно подлежит доказательству и как найти это доказательство.

3.2. В приведенном выше разъяснении того, что такое аналогия, используется понятие «сходство», которое само нуждается в разъяс­нении. Когда говорят, например, о сходстве между людьми, между человеком и его изображением на фотоснимке или картине и т. п., интуитивно понимают, что означает сходство. Но можно ли в таком же смысле говорить, например, о сходстве между множеством уча­щихся класса и множеством А = {1, 2, 3, ..., 30}, или между мно­жеством точек прямой и множеством действительных чисел, или меж­ду множеством объектов на некотором участке и планом этого участка? Применение же аналогии в математическом исследовании, а поэтому и в обучении математике, часто характеризуется именно тем, что оно основано на глубоком, внутреннем «сходстве», а по существу на оди­наковости структуры множеств предметов различной природы с от­ношениями, имеющими совершенно различный смысл, при отсутствии всякого внешнего «сходства» (в обычном смысле) между этими мно­жествами. Это «структурное сходство», получившее точное математи­ческое описание с помощью понятия изоморфизма, лежит в основе особого вида аналогии, приводящей в отличие от обычной аналогии к достоверным заключениям.

Например, в основе координатного метода лежит идея взаимно однозначного соответствия между множеством точек прямой (плос­кости или пространства) и множеством действительных чисел (пар или троек чисел), переводящего некоторые отношения между точ­ками в отношения между числами (парами или тройками чисел). Это взаимно однозначное соответствие является изоморфизмом, позволяю­щим осуществить однозначный перевод свойств с языка, описываю­щего структуру множества точек прямой (плоскости или пространст­ва), на язык, описывающий структуру множества R (R² или R³), и обратно.

Установив, например, что структуры где Т- множество точек прямой, а— отношение «предшествует», изоморф­ны, мы можем любое свойство, обнаруженное в , по аналогии, основанной на этом изоморфизме, с достоверностью переводить в соответствующее свойство, и обратно.

Так, измы делаем достоверное заключение: а < Ь.

Если точка М(m) лежит внутри отрезка длины 2 cм с серединой А(а), то соответствующие числа (координаты этих точек) находятся в соответствующем отношении

и это заключение также достоверно.

3.3. Возможность применения аналогии, казалось бы, к совер­шенно различным объектам основана на совпадении математических

моделей этих объектов или принад­лежности этих моделей к одному классу.

Рассмотрим простой пример, кото­рый полезно показать учащимся стар­ших классов.

Пусть дана электрическая цепь с одним источником энергии Е, пот­ребителем П и двумя контактами (вы­ключателями)

Для каждого из двух выключателей возможны два положения, ко­торые можно обозначить любыми знаками, например «О» и «1» (рис. 14).

В таком случае множеству всевозможных положений пары соответствует множество всевозможных пар из нулей и единиц:

Если сейчас, воспользовавшись теми же знаками «О» и «1», обо­значить состояние контура (когда ток не течет — через «О», когда ток течет — через «1»), то легко построить соответствие, сопостав­ляющее с каждой возможной парой положений контактов определенное состояние контура, которое характеризует данную электрическую схему:

Мы получили функцию /, определенную на множестве и принимающую значения из множестваявляющегося областью значений этой функции

Если отвлечься от физических представлений, из которых мы исходили, то остается абстрактный математический объект l, пред­ставляющий собой математическую модель физического объекта — электрической цепи, изображенной на рисунке 2.

В свою очередь эта электрическая цепь представляет собой не­которую физическую интерпретацию математического объекта — фун­кции f. Но эта функция как абстрактный математический объект может иметь и другие интерпретации, т. е. является математической моделью и других систем, отличающихся по природе объектов и смыс­лу отношений от системы объектов, образующих электрическую цепь.

Например, если «О» интерпретировать как ложное высказывание, а «1» — как истинное высказывание, то f моделирует эквивалент­ность двух высказываний и, обратно, эта эквивалентность является логической интерпретацией функции f.

Тот факт, что электрическая схема (рис. 14) и «логическая схема» (эквивалентность двух высказываний) имеют одну и ту же математи­ческую модель — функцию / (описываются одной этой функцией), свидетельствует о том, что при отсутствии всякого внешнего сходства эти две схемы обладают глубоким внутренним сходством, позволяю­щим применять аналогию, переводить свойства одной схемы в свой­ства другой. Например, из ложности или истинности одного высказы­вания еще не следует истинность эквивалентности По аналогии из разомкнутости или замкнутости одного еще не следует замкнутость электрической схе­мы (рис. 14).

Приведенный пример — один из многих, иллюстрирующих спе­циальный вид аналогии, связанный с методом построения математиче­ских моделей.

Вспомним слова В. И. Ленина: «Единство природы обнаруживает­ся в «поразительной аналогичности» дифференциальных уравнений, относящихся к разным областям явлений».

Простейшее дифференциальное уравнение

и его решение

могут описать процесс распада радия (в этом случае формула (2) дает массу у радия в момент х, если у₀ — масса радия в момент времени х₀), и процесс изменения атмосферного давления в зависимости от высоты х над уровнем океана (в этом случае (2) — барометрическая формула), и процесс изменения народонаселения (если прирост на­селения в данный момент пропорционален численности населения в этот момент), и процесс охлаждения тела при постоянной температу­ре окружающей среды (поскольку скорость остывания тела пропор­циональна разности температур тела и окружающей среды), и, вооб­ще, всякий процесс показательного роста или спада (при k <0 или k > 0), характеризующийся тем, что скорость изменения величины пропорциональна самой изменяющейся величине в данный момент, что и выражено в дифференциальном уравнении (1).

Все перечисленные явления и процессы обладают глубоким сход­ством при всем внешнем различии, выражающемся тем, что их мате­матические модели принадлежат одному классу моделей (1). Это и позволяет переносить по аналогии свойства одного из этих процессов на другой (если только эти свойства выводимы из построенной мо­дели).

3.4. Часто та или иная последовательность в изучении учебно­го материала обосновывается возможностью использования аналогии в обучении. Например, изучение десятичных дробей раньше обыкно­венных объясняется не только тем, что именно десятичные дроби широко применяются в практике, но и возможностью использования при изучении арифметики десятичных дробей аналогии с арифметикой натуральных чисел. При изучении свойств алгебраических дробей можно использовать аналогию с обыкновенными дробями. Аналогия может служить базой для одновременного изучения арифметической и геометрической прогрессий.

Однако в установившейся практике обучения математике анало­гия используется недостаточно. Иногда высказываются опасения, что с помощью аналогии мы можем прийти к ложным заключениям. Например, исходя из того, что предложение

верно (является теоремой) и на плоскости и в пространстве, а обратное предложение

верно на плоскости (является теоремой планиметрии), по аналогии утверждают, что предложение (2) верно и в пространстве, и прихо­дят, таким образом, к ложному заключению.

Надо, однако, помнить, что в этом случае заключение по аналогии лишь правдоподобно и поэтому подлежит еще доказательству (или опровержению).

Следует отметить как недостаток, что (в практике обучения) оп­ровержению мы почти не учим. Это является и серьезным упущением в общеобразовательном и воспитательном отношении, так как в жизни нередко возникает необходимость опровергать.

Исходя из истинности предложения (2) на плоскости, необходимо выяснить, имеет ли место аналогичное свойство в пространстве. Так как это предложение является общим (кванторы общности «для любых а, b, с» подразумеваются), то для его опровержения достаточно найти такие прямые а, Ь, с, чтобы условиевыполнялось, а заключениене выполнялось (рис. 15).

Мы не должны опасаться возникновения ложных заключений по аналогии. Необходимо лишь считать их гипотезами (предположения­ми). Ошибки, допускаемые в процессе поиска, исследования, вполне правомерны, так как чаще всего поиск ведется способом «проб и оши­бок». В установившейся практике обучения, как правило, мы не даем учащимся, отвечающим на вопросы учителя, ошибаться. В этом отражается тот факт, что учебная деятельность учащихся является в основном лишь репродуктивной, а в такой деятельности ошибки не­допустимы. Воспроизводить необходимо безошибочно. В продуктив­ной же, творческой деятельности ошибки неизбежны. Такого рода ошибками являются и те, которые появляются в результате приме­нения аналогии в процессе поиска. Они являются составной частью метода проб и ошибок. Важно, чтобы учащиеся в поиске правильных ответов сами могли находить ошибочность возникающих в этом про­цессе предположений. Этому, разумеется, надо их учить.

3.5. Находить сходство, которое могло бы служить источником плодотворных рассуждений по аналогии, бывает нелегко даже в том случае, когда природа сравниваемых объек­тов одинакова.

Возьмем для примера две геометричес­кие фигуры: треугольник и тетраэдр. В чем состоит сходство между этими фигурами? Треугольник — плоская фигура, тетраэдр — пространственная. Может быть, сходство в том, что грани тетраэдра —треугольники? Если даже принять, что в этом есть какое-то сходство (а пока не уточнено, что такое «сход­ство»: можно понимать под этим что угодно), то вряд ли оно может быть источником для рассуждений по аналогии. Более глубокое исследование этих двух объектов позволяет обнаружить такое структурное сходство, которое является источником аналогии, ведущей к открытиям. Действительно, треугольник и тетраэдр — ограниченные выпуклые множества точек. Первое образовано мини­мальным числом прямых на плоскости (нет многоугольника с меньшим, чем три, числом сторон), второе — минимальным числом пло­скостей в пространстве. Отсюда, разумеется, не следует, что все свой­ства этих фигур одинаковы. Но если мы уже изучили свойства тре­угольника и приступаем к изучению свойств тетраэдра, то установлен­ное сходство в одних свойствах дает нам право предполагать (только предполагать), что и некоторые другие свойства треугольника «пере­водятся» аналогичным образом в свойства тетраэдра. Так, например, исходя из установленного сходства и из того, что «в треугольнике бис­сектрисы углов пересекаются в одной точке и эта точка — центр впи­санной окружности», мы приходим к предположению, что «в тетраэдре биссекторные плоскости двугранных углов пересекаются в одной точ­ке и эта точка — центр вписанной сферы», и т. д. Мы открываем но­вые свойства тетраэдра, рассуждая по аналогии. Эти свойства, ра­зумеется, подлежат доказательству.

Другой пример. Параллелепипед — пространственный аналог па­раллелограмма: в параллелограмме противоположные стороны парал­лельны, в параллелепипеде противоположные грани параллельны. Рассуждая по аналогии,, можно прийти к гипотезе, что в паралле­лепипеде, так же как и в параллелограмме, диагонали, пересекаясь, делятся точкой пересечения пополам. Но если видеть только сход­ство и не замечать различия, в частности, что в параллелограмме всего две диагонали, а в параллелепипеде — четыре, то мы упустим важное свойство, подлежащее доказательству, а именно, что все диа­гонали параллелепипеда пересекаются в одной точке. Как видим, применению аналогии должно предшествовать сравнение, с помощью которого выявляется как сходство, так и различие.

Сфера — пространственный аналог окружности. Эти две фигуры определяются как множества точек плоскости и пространства соот­ветственно, характеризуемые одним и тем же свойством:

(множество всех точек плоскости(пространства), расстояние которых от данной точки О равно данному числу г).

Это наводит на догадку, что сфера обладает некоторыми свой­ствами, аналогичными свойствам окружности. Например, что свой­ства взаимного расположения прямой и окружности переводятся в свойства взаимного расположения плоскости и сферы: 1) Если рас­стояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то эскость и сфера не имеют общих точек. 2) Если расстояние от Центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то плоскость и сфера имеют одну и только одну общую точку. 3) Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то плоскость и сфера пересекаются по окружности (т. е. имеют бесконечное множество общих точек, лежащих на окружности). Как видно, лишь в третьем случае проявляется различие между окружностью и сферой, которое должно учитываться при формулировке аналогичных свойств. Свойство касательной плоскости тоже может быть найдено с помощью аналогии.