§ 2. Эмпирические методы: наблюдение, опыт, измерения

2.1. Наблюдение, опыт, измерения — эмпирические методы, используемые, в частности, в экспериментальных естественных науках, математика не является экспериментальной наукой, и, следовательно, опытное подтверждение не может служить достаточным основа­нием истинности ее предложений.

Это несомненно верно, если под математикой понимать совокуп­ность готовых, уже построенных дедуктивных теорий, но это неверно, если под математикой понимать мыслительную деятельность, резуль­татом которой являются подобные теории. В последнем случае де­дуктивная теория лишь одна фаза математики. Но она имеет еще две фазы — предшествующую дедуктивной теории фазу накопления фак­тов (опытную, интуитивную) и следующую за ней фазу приложений. Эти две фазы независимо от того, считают ли их собственно математи­ческими или «около математическими», не менее важны в обучении, чем сама дедуктивная теория: первая — для понимания этой теории, вторая—для ее оправдания.

Исходя из рассмотренных выше (§ 1) задач, стоящих перед шко­лой, речь идет об обучении не только готовым знаниям, но и методам познания, приводящим к этим знаниям. Поэтому естественно приме­нять в обучении и те эмпирические методы познания, с помощью ко­торых формулируются гипотезы, подлежащие обоснованию (или опровержению) уже иными методами.

Наблюдение, опыт и измерения должны быть направлены на со­здание в процессе обучения специальных ситуаций и предоставление учащимся возможности извлечь из них очевидные закономерности, геометрические факты, идеи доказательства и т. д. Чаще всего резуль­таты наблюдения, опыта и измерений служат посылками индуктивных выводов, с помощью которых осуществляются открытия новых истин. Поэтому наблюдение, опыт и измерения относят и к эвристическим методам обучения, т. е. к методам, способствующим открытиям.

Проиллюстрируем такое применение наблюдения, опыта и измере­ний несколькими примерами.

2.2. Если показать учащимся IV—V классов различные фигуры, в том числе окружающие нас предметы, среди которых одни облада­ют, а другие не обладают осевой симметрией, то наблюдение этих фигур позволяет заметить, что каждая из «симметричных» фигур де­лится некоторой прямой на две части так, что, если согнуть фигуру по этой прямой, одна ее часть полностью наложится на другую. Для каждой же из «несимметричных» фигур такой прямой нельзя найти.

После такого наблюдения «симметричных» фигур вокруг нас (ар­хитектурных украшений, строительных и других деталей, некоторых листьев на деревьях и т. д.) можно перейти к дальнейшему изучению осевой симметрии с помощью специального опыта (эксперимента).

Каждому ученику предлагается согнуть лист бумаги так, чтобы одна часть листа упала на другую и образовалась линия сгиба. Затем предлагается выпрямить снова лист и отметить на нем произвольную точку А, не лежащую на линии сгиба, затем снова согнуть лист по той же линии сгиба и определить, глядя на свет через согнутый лист, с какой точкой совпала при этом точка А. Пусть это точка А₁. Уча­щимся сообщают, что точки А и А₁ называются симметричными отно­сительно прямой l (линии сгиба), называемой осью симметрии этих точек. Для другой точки В, лежащей по другую сторону от линии сгиба, чем точка А, предлагается определить (опытным путем, с по­мощью сгибания листа) симметричную ей точку относительно той же оси l Замечаем, что, если взять точку С на линии сгиба, она остается неподвижной при сгибании листа, т. е. не совпадает с какой-либо другой точкой листа. Мы говорим, что любая точка оси симметрии (линии сгиба) симметрична самой себе.

Естественно возникает вопрос: чем же характеризуется располо­жение относительно оси пары симметричных точек (А, A₁), (В, B₁), как это можно описать с помощью уже известных геометрических тер­минов? Учащиеся замечают (возможно, с помощью учителя), что сим­метричные точки (если они различны) всегда лежат по разные стороны от оси симметрии. Предлагается соединить симметричные точки отрез­ком прямой. Учащиеся высказывают гипотезу, что симметричные точки отстоят на равных расстояниях от оси симметрии, т. е. что отрез­ки AA₁ и BB₁ делятся осью симметрии пополам. Это предположение подкрепляется с помощью измерения соответствующих отрезков. Если учащиеся не замечают перпендикулярности отрезка АА₁ и ВВ₁ к оси симметрии (обычно равенство углов не так быстро обнару­живается, как равенство отрезков), то берут две точки, равностоя­щие от оси по разные стороны от нее, но не на одном перпендикуляре к ней, и задают вопрос: будут ли эти точки симметричны относительно той же оси? Сопоставляя расположение этих точек с расположением симметричных точек, учащиеся обнаруживают, что последние лежат на одном перпендикуляре к оси симметрии. Это пока предположение, которое также подкрепляется измерением соответствующих углов.

Если соединить отрезками точки А и В и симметричные им точки А₁ и B₁ то при сгибании листа бумаги по линии I отрезок АВ нало­жится на отрезок А₁В₁ т. е. обнаруживается, что расстояние между двумя точками А я В равно расстоянию между симметричными им точками A₁ и В₁

Опытным же путем обнаруживается также, что каждая из полу­плоскостей с границей l «накладывается» (преобразуется, отобража­ется) на другую.

Таким образом, с помощью наблюдения, опыта и измерений фор­мируется представление об осевой симметрии как о преобразовании плоскости, при котором каждой точке сопоставляется симметричная ей относительно оси l точка и мы получаем возможность описать осе­вую симметрию на уже известном учащимся геометрическом языке с помощью следующей совокупности предложений.

(p₁) Каждая точка оси симметрии симметрична сама себе.

Любые две различные симметричные точки лежат:

(p₂) по разные стороны от оси симметрии,

(р₃) на одном перпендикуляре к оси и

(p₄) на одинаковом расстоянии от оси.

(р₅) Расстояние между любыми двумя точками равно расстоянию между симметричными им точками.

(p₆) Каждая из полуплоскостей о границей l преобразуется в другую.

Полученное описание нашего опыта не является, однако, совершенным. Во-первых, все предложения p₁-р₆ «обоснованы» лишь опыт­ным путем. Во-вторых, еще не раскрыты логические связи между ними, не выяснено, какие из этих предложений могут служить по­сылками для вывода из них остальных предложений этой совокупности (с помощью, возможно, и некоторых других, уже известных геомет­рических истин).

Однако устранение этих дефектов нашего описания требует уже применения других методов, о которых речь пойдет дальше.

2.3. Приведем пример, когда опыт способствует открытию гео­метрического свойства и подсказывает путь его доказательства.

Экспериментально обнаружить, что сумма углов данного треуголь­ника равна 180°, можно сразу же, как только учащиеся научатся измерять углы с помощью транспортира.

Учащимся предлагается измерить транспортиром углы начерчен­ного в тетради треугольника и сложить результаты измерения. У не­которых сумма углов треугольника получается меньше 180°, у дру­гих — больше, но у всех результаты близки к 180°, а у некоторых даже «точно» 180° (!). Ученики догадываются, что должно получиться 180°, а другие результаты объясняются погрешностями измерения. Они «совершают открытие»: «Во всяком треугольнике сумма внутрен­них углов равна 180°».

Это предположение подкрепляется вторым опытом, подсказываю­щим идею доказательства (одного из возможных доказательств). У каждого школьника заготовлен вырезанный из бумаги треугольник. Учитель предлагает «оторвать» два угла и приложить их к третьему так, как он это делает сам на большом треугольнике (рис. 12, 13). Учащиеся замечают, что получены три угла с общей вершиной А, расположенные по одну сторону от прямой. Следовательно, сумма этих углов равна 180°. С помощью этого опыта (уже без измерений) мы пришли к той же гипотезе, и всем ка­жется, что обнаруженное свойство достовер­но. Но можно ли быть уверенным в том, что два луча, сходящиеся в точке А, образуют прямую линию? Ведь они могут образовать ломаную, так мало отличающуюся от пря­мой, что мы этого не заметим. Но в этом случае сумма углов уже не будет равна 180°. Таким образом, проведенный опыт не за­меняет доказательство. Он лишь подсказыва­ет один из возможных путей доказательства открытого опытным путем свойства.

2.4. С помощью простого опыта формиру­ется и наглядное представление о перемеще­нии как об отображении плоскости на себя, сохраняющем расстояние между точками. На лист бумаги кладут тонкую прозрачную пластинку со многими отверстиями. С помо­щью карандаша отмечается на листе положение одного отверстия (одной точки). Пусть это точка А плоскости. Затем перемещают произвольно пластинку на листе и через это же отверстие отмечается новая точка A₁. При этом отмечается, что так можно поступить с любой точкой плоскости. Затем отмечают остри­ем карандаша через два отверстия пластинки точки В и С плоскос­ти и после некоторого перемещения пластинки через те же отверс­тия отмечают новые точки — В₁ и С₁ соответственно. Так как при перемещении пластинка не растягивается и не сжимается, то расстоя­ния между точками сохраняются, т. е.

Таким образом, всякая точка X неподвижного листа отображается точно в одну точку X₁ этого же листа. Так получается отображение плоскости на себя, при котором расстояние между любыми двумя точками равно расстоянию между их образами.

С помощью описанного опыта обнаруживаются и важнейшие свой­ства движения: а) если три точки А, М, В лежат на одной прямой, то и их образы A₁, M₁, B₁ тоже лежат на одной прямой; б) если точка М лежит между точками А и В, то и M₁ лежит между А₁г и В₁.

Открытые опытным путем, эти свойства, разумеется, подлежат доказательству. Здесь опять опыт проявляется как эвристический метод.

2.5. Рассмотрим пример применения опыта для открытия алгеб­раической закономерности.

Допустим, что в одном, синем, мешочке имеется т синих палочек, а в другом, красном, мешочке — m красных палочек. Нужно освобо­дить один мешочек. Мы можем это сделать двумя способами. Можно пересыпать все красные палочки из красного мешочка в синий, и тогда в нем окажется m+n палочек. Но можно пересыпать все синие палочки в красный мешочек, и тогда в нем окажется n+m палочек. Но и в одном, и в другом случае мы имеем в мешочке одно и то же множество палочек. Следовательно,

m+n=n+m

Разумеется, в конкретном опыте тип обозначают определенные числа. Поэтому полученное равенство является лишь одной из посы­лок, с помощью которых уже другим методом (индукцией) получают общий закон коммутативности сложения натуральных чисел:

«m+n=n+m для любых натуральных чисел m и n».

Подсчет двумя способами (по рядам и по столбцам) единичных квадратиков, заполняющих прямоугольник, измерения которого вы­ражаются натуральными числами, является опытом, с помощью ко­торого обнаруживается коммутативность умножения натуральных чисел.

Важно отметить, что с помощью эмпирических методов (наблюде­ния, опыта, измерений) выполняется лишь начальный этап работы по математическому описанию реальных ситуаций. Получаемый математический материал (интуитивные понятия, гипотезы, совокупности математических предложений) подлежит дальнейшей обработке уже другими методами.