§ 5. Организация обучения решению математических задач

5.1. Фронтальное решение задач. Под фронтальным решением задач обычно понимают решение одной и той же задачи всеми учени­ками класса в одно и то же время. Организация фронтального реше­ния задач может быть различной.

1) Устное фронтальное решение задач наиболее распространено в IV—VII классах, несколько реже, хотя и находит применение, в старших классах средней школы. Это прежде всего выполняемые устно упражнения в вычислениях или тождественных преобразова­ниях и задачи-вопросы, истинность ответов на которые подтверж­дается устными доказательствами (см. 2, 1). В настоящее время учителя математики IV—VII классов почти на каждом уроке проводят «пятиминутки» устных упражнений. К сожалению, часто этим и огра­ничивается выполнение устных упражнений. А надо отметить, что одной из задач обучения математике является обучение быстрым уст­ным вычислениям. Решения этой задачи надо добиваться на всех этапах обучения, поэтому там, где это возможно (а не только на «пя­тиминутках» устного счета), вычисления следует выполнять устно. Если ученики научатся устно выполнять вычисления и несложные преобразования, то на уроках математики, физики, химии освободит­ся значительная часть времени, которое сейчас расходуется на нера­циональное выполнение вычислений и выкладок.

При организации устных фронтальных упражнений следует учесть, что использование табличек, таблиц, кодоскопа и других средств представления учащимся устной задачи значительно экономит время устных упражнений и оживляет уроки математики.

Таблички изготавливает обычно учитель или отдельные ученики по его заданию. На рисунке 44 приводятся примеры табличек с зада­ниями для устных вычислений при изучении умножения дробных и целых чисел (удобные размеры табличек 300 х 150 мм).

Таблицы для устных упражнений могут иметь различную форму и применяются неоднократно с различными заданиями. Приведенная на рисунке 45 таблица может быть использована для организации устных упражнений при изучении различных действий с рациональ­ными числами, для закрепления понятий об обратных и противопо­ложных числах.

Как таблички, так и таблицы могут быть изображены на пленке и спроецированы на экран или доску через кодоскоп. Изготовление табличек и таблиц — более трудоемкое дело, чем транспарантов (кодопозитивов), а результаты использования практически равноценны.

2) Письменное решение задач с записью на классной доске. В практике обучения немало таких ситуаций, в которых удобнее, чтобы одну и ту же задачу решали все ученики класса одновременно с решением этой же задачи на доске. При этом задачу на доске может решать либо учитель,, либо ученик по указанию учителя. Наиболее часто такую организацию решения задач на уроках математики при­меняют: а) при решении первых после показа учителем задач по озна­комлению с новыми понятиями и методами; б) при решении задач, самостоятельно с которыми могут справиться не все ученики класса; в) при рассмотрении различных вариантов решения одной и той же задачи — для сравнения и выбора лучшего варианта; г) при разборе ошибок, допущенных несколькими уче­никами класса при самостоятельном ре­шении задачи и т. д. Во всех этих случа­ях бывает полезно и коллективное ре­шение (или коллективный разбор реше­ния задач).

Рассмотрим подробнее, как можно провести сравнение различных вариан­тов решения задачи. Учитель может при фронтальном устном анализе усло­вия задачи наметить вместе с ученика­ми несколько вариантов решения зада­чи. Некоторые из них как нерацио­нальные могут быть сразу отвергнуты. Другие же неотвергнутые варианты для лучшего рассмотрения, оценки и сравнения стоит записать на доске. В этих целях можно сразу вызвать двух-трех учеников к доске для одновременного решения задачи разными способами (если по­зволяют размеры доски). Надо только учесть, что руководство реше­нием задачи в этом случае требует некоторого мастерства от учителя: необходимо правильно распределить свое внимание между учащими­ся, решающими задачу у доски, и остальными учениками класса. Нужно также предусмотреть, чтобы внимание учащихся класса, ре­шающих задачу, не рассеивалось действиями учеников у доски. Мож­но варианты решения воспроизводить на доске поочередно, но это займет больше времени. Для ускорения работы учитель может сам быстро выполнить на доске необходимые записи некоторых вариантов решения. Возможно также использовать кодоскоп, с помощью кото­рого можно воспроизводить заготовленные заранее записи других решений задачи.

3) Письменное самостоятельное решение задач. Наиболее эффек­тивной является такая организация решения математических задач, при которой ученики обучаются творчески думать, самостоятельно разбираться в различных вопросах теории и приложений математики. Самостоятельное решение учащимися задач на уроках математики имеет многие преимущества.

Во-первых, оно значительно повышает учебную активность уча­щихся, возбуждает их интерес к решению задач, стимулирует творче­скую инициативу. Таким образом, повышается эффективность урока. Самостоятельное решение задач развивает мыслительную деятель­ность учащихся, а в этом заключается одно из основных назначений задач и упражнений на уроках математики. Во-вторых, не имея возможности копировать решение задачи с доски, ученик вынужден сам разбираться в решении задачи, а потому и лучше готовиться к урокам математики. В-третьих, самостоятельное решение математи­ческих задач часто сокращает время, необходимое для опроса уча­щихся на уроках математики, так как оценивать успехи учащихся в некоторых случаях можно и по итогам самостоятельного решения задач. В-четвертых, учитель получает возможность направлять ин­дивидуальную работу учеников по решению задачи, предотвращать ошибки, указывать пути их исправления.

Допустимы различные формы организации самостоятельного реше­ния задач учащимися.

Некоторые учителя так организуют самостоятельные работы по решению задач на уроках математики: учитель подбирает задачи; в процессе работы учитель помогает некоторым ученикам советом, как лучше их решить, другим он советует обратиться к учебнику, третьи справляются с работой без помощи учителя. Учитель все вре­мя наблюдает за работой учеников, отмечая, кому из учеников и в чем он помог. Затем самостоятельная работа проверяется и оцени­вается с учетом степени самостоятельности ученика. При такой орга­низации самостоятельной работы осуществляется и обучение, и конт­роль знаний по изучаемому разделу математики.

Чаще всего учитель заранее предопределяет цели самостоятельных работ по решению задач. Такие работы могут быть обучающими новым знаниям, умениям и навыкам, могут быть предназначены для закрепления изученного и тренировки в применении теоретических сведений, могут быть предложены с целью проверки подготовленности учащихся по изученным вопросам. На обучающих самостоятельных работах по решению математических задач учитель может оказывать помощь отдельным учащимся, а может предложить самостоятельное решение задачи после предварительного ее анализа и составления плана решения.

Существуют и такие формы самостоятельных обучающих работ по математике, при выполнении которых учащиеся самостоятельно изучают небольшой теоретический материал, разбирают образцы решения задач, предложенные учителем, самостоятельно решают аналогичные задачи.

Для лучшего проведения самостоятельных работ учащихся по решению математических задач полезно перед началом такой работы проводить инструктаж, в котором четко указать, что должны выпол­нить учащиеся в такой работе, каков порядок ее выполнения, сроки и пр. Желательно после проверки правильности самостоятельных решений проанализировать с учащимися результаты такой работы. Это возможно на следующих уроках или на консультациях.

4) Комментирование решения математических задач. Комменти­рование решения задач заключается в следующем: все ученики са­мостоятельно решают одну и ту же задачу, а один из них последова­тельно поясняет (комментирует) решение. Некоторые учителя пре­вращают комментирование в запись под диктовку: один ученик вос­производит голосом все, что он записывает в тетрадь (без каких-либо пояснений), а все остальные поспешно записывают сказанное им. Ясно, что такое применение комментирования не приносит должной пользы.

Комментирование обозначает объяснение, толкование чего-ни­будь. Именно так и следует понимать комментирование при решении математических задач. Ученик-комментатор объясняет, на каком ос­новании он выполняет то или иное преобразование, проводит то или иное рассуждение, построение. При этом каждый шаг в решении за­дачи должен быть оправдан ссылкой на известные математические предложения. Вот пример комментирования:

«4. Доказать, что сумма трех последовательных натуральных чисел не может быть простым числом.

Обозначим первое из этих чисел буквойТогда два следующих за ним числа запишутся так как второе на 1, а третье на 2 больше первого числа. Запишем сумму этих трех чисел и преобразуем ее. Сначала раскрываем скобки, применяя сочетательный закон сло­жения. Затем приводим подобные члены. Вынося общий множитель (по распределительному закону), получаем результат.

Полученное выражение есть произведение двух множителей 3 иа потому оно не может быть простым числом ни при каких натуральных значениях

Такое комментирование приносит явную пользу при решении задач. Учащиеся, даже недостаточно подготовленные по математике, услышав объяснение следующего этапа в задаче, постараются выполнить его самостоятельно. Правда, такое объяснение требует от учеников не только формального решения задачи, но, что очень важно, и понима­ния существа выполняемого преобразования, активной работы мысли. Но ведь этого и следует добиваться при решении задач.

5.2. Индивидуальное решение задач.

1) Необходимость индивидуального подхода при организации обу­чения решению задач. Фронтальное решение учебных математиче­ских задач не всегда приводит к желаемым результатам в обучении математике. При фронтальной работе все ученики класса решают одну и ту же задачу. Для одних учащихся эта задача может оказаться очень легкой, и они при решении такой задачи практически не почерпнут ничего нового. У других, наоборот, задача может вызвать серьезное затруднение. Поэтому необходим учет индивидуальных особенностей учащихся и в связи с этим индивидуальный подбор задач. Задачи следует подбирать и систематизировать так, чтобы, с одной стороны, учитывались возможности и способности ученика, с другой стороны, его способности развивались бы.

Задача учителя заключается, следовательно, в том, чтобы выяс­нить подготовку, возможности и способности к изучению математики каждого ученика класса и в соответствии с этим организовать решение математических задач. Стоит подчеркнуть эту мысль. Мысль об инди­видуализации учебных математических задач по силам и возможно­стям учащихся. Это позволяет овладеть необходимыми умениями и навыками слабым ученикам и в значительной степени совершенство­ваться более сильным.

2) Индивидуализация самостоятельных работ учащихся по ре­шению задач. В условиях, когда все ученики самостоятельно решают одну и ту же задачу, учитель может учитывать индивидуальные осо­бенности учащихся лишь при оказании им помощи в решении задачи, при проверке выполненной работы. При этом не полностью учитываются возможности учащихся. Для более, полного учета способностей и математической подготовки учащихся, использо­вания их возможностей необходимо предлагать для самостоятельного решения учащихся не одинаковые, а различные задачи с учетом инди­видуальных особенностей ученика. Но поскольку в классе есть при­мерно равные по успехам в математике ученики, то можно подбирать задачи не для каждого ученика в отдельности (это было бы затрудни­тельно для учителя), а для отдельных групп школьников класса. В этих целях полезно использовать издающиеся теперь «Дидактические материалы по алгебре», «Дидактические материалы по геометрии» для различных классов (см. § 2 гл. VII). При такой постановке обуче­ния слабые ученики, справившись самостоятельно или при помощи учителя с простейшими задачами, обретают веру в свои силы. Сильные же учащиеся имеют возможность совершенствовать свои способности и познания в математике.

Разумеется, подбор индивидуальных заданий преследует цель для каждой выбранной учителем группы учащихся составить систему задач. Желательно, чтобы учащиеся не знали о том, кого из них в ка­кую группу определил учитель. Эти группы не должны иметь постоян­ного состава: по мере овладения необходимыми знаниями учащиеся «переводятся» из группы для менее подготовленных в другую — для более подготовленных.

3) Индивидуализация самостоятельных работ учащихся по устра­нению пробелов в знаниях математики. Исключительное значение приобретают самостоятельные работы учеников по устранению про­белов в знаниях математики. Такие пробелы могут быть выявлены с помощью проверочных и контрольных работ, а также при решении задач на уроке или дома. Ученикам, работающим над устранением пробелов в своих знаниях по математике, надо указать в тетради допу­щенные ошибки. При этом сильным ученикам достаточно подчеркнуть неверный результат, а ошибку такой ученик найдет сам. Одним уче­никам полезно подчеркнуть допущенные ошибки, а некоторым, наи­более слабо подготовленным, исправить. В тетрадях указываются раз­делы учебника, которые ученик обязан восстановить в своей памяти, и выписываются задачи (можно указать номера задач из задачников или учебников), которые надлежит ученику решить, чтобы восполнить имеющийся пробел в знаниях и умениях. Конечно, задачи подбирают­ся с учетом причин, вызвавших ошибку. Дело в том, что одна и та же ошибка может быть допущена по различным причинам и устранять надо не ошибку, а причину, ее породившую. Такая организация реше­ния задач по ликвидации пробелов в знаниях школьников приносит большую пользу, чем фронтальные работы над ошибками. При этом учитываются как индивидуальные особенности учащихся, так и ха­рактер изучаемого материала.

4) Домашнее решение задач учащимися. Содержание задач и упражнений, предлагаемых для домашней работы учащихся, должно быть подготовлено предшествующей работой на уроке. Это не озна­чает, что для домашнего решения должны предлагаться лишь задачи, аналогичные решенным в классе. Такие домашние задания мало помо­гают усвоению математики. Решая домашние задачи «как в классе», ученики в лучшем случае прибегают к аналогии, а одной аналогии для обучения решению задач недостаточно. При такой работе ученики, как правило, сначала решают задачи (выполняют письменное задание), а затем читают учебник по математике. Порядок же должен быть иной: сначала повторение по учебнику теоретических сведений, затем реше­ние задач.

Домашнее задание имеет целью не только повторение изученного на уроке, но и дальнейшее совершенствование математических зна­ний, умений и навыков. С учетом этого оно и должно быть составлено. Учитель дает необходимые указания по решению домашних задач, однако не устраняет всех трудностей, которые должны преодолеть учащиеся в процессе решения домашних задач. Ученики, решая за­дачи самостоятельно дома, обязаны проявлять свою инициативу, сме­калку и настойчивость, мобилизовать для решения задач свои знания.

Домашние задания по решению задач целесообразно связывать с углублением и уточнением изученного, с открытием каких-то новых его сторон.

Поскольку ученики обычно имеют индивидуальные особенности, различную подготовку по математике, следует индивидуализировать домашние задания по решению математических задач. При этом надо учитывать многие факторы: ученики при решении домашних задач должны устранить пробелы в знаниях (у кого они имеются), закрепить приобретенные на уроке знания, совершенствовать их. Через индиви­дуальные домашние задания (параллельно с работой на уроке) можно выявить наклонности отдельных учащихся, воспитывать у них увле­чение математикой. Посильные же задания для слабых и отстающих учащихся помогут им преодолеть многие трудности в обучении реше­нию задач. Надо заметить, что ученики с особым желанием решают задачи, предложенные им в индивидуальном порядке. Такие задания можно заготовить на специальных карточках.

5.3. Заключительный этап в решении учебной математической задачи. Для учебных задач особое значение имеет не получение от­вета, а процесс нахождения его, процесс переработки входной инфор­мации в выходную. Ответ особенно существен для задач, которые че­ловеку приходится решать в практической деятельности, для учебной же задачи на первом месте стоят поиски решения, осуществление его и познавательные выводы из проделанной работы. Поэтому необходим заключительный этап работы над учебной задачей.

Основным содержанием его должно быть осмысление выполнен­ного решения, формулирование и решение других задач (если оказы­вается возможным), явно связанных с первой, порождаемых ею, и извлечение из всей проделанной работы выводов о том, как находятся и выполняются решения. Схема этого этапа работы над учебной зада­чей изображена на рисунке 46.

1) Необходимость обсуждения задачи и ее решения вытекает из основного назначения учебных математических задач. При обсужде­нии решения задачи нужно остановиться на следующих вопросах:

а) Более полное использование условия задачи. При решении многих задач следует стремиться к достаточ­но полному использованию содержащейся в них входной информации. Практически это означает, что по одному и тому же условию полезно

решать не одну, а несколько задач, целью которых является получе­ние различных результатов. Значит, многие задачи должны явно со­держать несколько вопросов. В противном случае целесообразно зада­вать и дополнительный вопрос: «Что еще можно узнать из условия за­дачи?»

Пример 1. Сосуд с 2,5 л некоторой жидкости имеет массу 2,8 кг. Тот же сосуд с 3,5 л жидкости имеет массу 3,6 кг. Найдите мас­су пустого сосуда (решите графически).

Из условия этой задачи можно извлечь значительно больше того, что требуется в заключении. Например, узнать: а) плотность жидко­сти, б) массу сосуда с 2 л, 3 л и т. д. той же жидкости, в) объем со­держащейся в сосуде жидкости при заданной массе сосуда с жидко­стью и др. Если же дополнить условие задачи, то могут быть поставле­ны и другие вопросы: г) Какую массу (или объем) данной жидкости может вместить этот сосуд? д) Какова масса сосуда, до краев наполненного жидкостью? И др.

Можно сделать вывод, что в методическом отношении гораздо полезней многовопросные задачи. Действительно, многовопросность развивает основательность мышления. Она при­учает школьников к установлению многосторонних связей в рассмат­риваемых ситуациях. Многовопросные задачи позволяют более эко­номно использовать время, отведенное для решения задач на уроках математики, так как на усвоение содержания задачи при этом расхо­дуется гораздо меньше времени, чем при решении нескольких различ­ных по условию одновопросных задач.

б) Обсуждение работы по поиску решения. Основная трудность при решении математической задачи состоит в нахождении решения, а не в осуществлении его. Поэтому оказывается необходимым выявление идеи (главной мысли), положенной в основу решения (как эта идея возникла? Что помогло найти решение?), ина­че говоря, нуждается в обсуждении подход к решению задачи, поиск решения.

Приступая к решению задачи, ищут прежде всего ведущую идею (принцип), из которой следует исходить. Если такая идея найдена, то дальнейшее решение представляет собой ее конкретизацию, воплоще­ние. Но может случиться так, что найденная идея не обеспечивает до­стижения цели. Тогда ищут иные идеи, подходящие для данной задачи, и испытывают их. Вот эти поиски и отбор идей, из которых можно ис­ходить при решении задач, наверное, и составляют основную трудность решения. Поэтому важно учесть и использовать факторы, помогающие этим поискам, и преодолеть факторы, мешающие им.

Чтобы иметь возможность выбрать идею решения задачи, нужно располагать достаточным запасом таких едей. Этот запас и создается в практике решения задач (при обсуждении решений). Успешные дей­ствия при решении подкрепляются, и добытая ценная информация фик­сируется в долговременной памяти. Так накапливается хороший опыт решения задач.

Нужно учить школьников пользоваться запасом ведущих идей для решения разнообразных задач, учить выбирать и применять нужную идею. Многие из таких идей были высказаны в § 4.3 в качестве советов и вопросов решающему задачу. После решения задачи полезно еще раз обратить внимание учащихся на такие идеи, приводящие к удачному решению задачи.

в) Выявление связей с ранее решенными за­дачами. При решении математических задач (см. § 4.3) часто ис­пользуются методы и результаты решения предшествующих задач. Именно поэтому полезно выявление связей рассматриваемой задачи с решенными ранее. Но не только поэтому. Сравнивая задачу с решен­ными ранее сходными задачами, ученики выявляют их общие и различ­ные черты, лучше усваивают идею решения данной задачи, глубже по­знают метод решения класса сходных задач и таким образом готовятся к решению следующих задач.

2) Вторая часть заключительного этапа в решении задачи — поиски и осуществление новых способов ее решения, их сравнение и выбор лучшего варианта решения. Об этом уже говорилось в настоя­щей главе (см. п. 2.2).

Стоит только отметить, что более эффективного пути для воспи­тания гибкости математического мышления и находчивости, чем путь поисков различных решений задач, пожалуй, нет.

3) Третья составная часть заключительного этапа работы с за­дачей— формулирование и решение некоторых других задач, «поро­жденных» разобранной. Мы имеем здесь в виду обобщения и специа­лизации исходной задачи, а также получение других задач из данной в результате частичного изменения ее условия.

Это могут быть задачи, в которых часть данных исходной задачи принимается за искомое, а некоторые искомые считаются данными; задачи, полученные заменой одних объектов другими (без изменения искомых) и т. д. Так возникают задачи, обратные данным, суперпози­ции задач, серии задач с различными данными, приводящими к одно­му результату, и т. п. Эту часть заключительного этапа можно назвать развитием темы задачи. Трудно переоценить значение развития темы задачи для воспитания математического мышления учащихся, разви­тия познавательных способностей, формирования личности ученика. Очень полезно развитие темы задачи и в практическом отношении, так как изменения, обобщения и специализации задач воспитывают твор­ческое отношение к тем задачам, которые ставит перед нами жизнь, делают наше мышление инициативным и более оперативным. В ме­тодическом отношении развитие темы задачи особенно ценно тем, что приучает учащихся к переконструированию задач, а это, как известно, основной прием поиска решений.

Приведем примеры развития темы задачи.

Пример 2. Не изменяя основания, преобразуйте данный па­раллелограмм в равновеликий ему параллелограмм.

Эту задачу можно специализировать, например, так: а) Дан парал­лелограмм. Постройте ромб, равновеликий данному параллелограмму и имеющий своей стороной основание этого параллелограмма, б) По­стройте прямоугольник, равновеликий данному параллелограмму и имеющий то же самое основание.

Пример 3. Периметр прямоугольника 2 р. Каким должен быть этот прямоугольник, чтобы площадь его была наибольшей? Обращенной задачей по отношению к данной будет такая:

Площадь прямоугольника S. Каким должен быть этот прямоуголь­ник, чтобы периметр его был наименьшим?

Пример 4. Задача: «Восстановите равнобедренный треуголь­ник по одной из его вершин и основаниям двух высот» — допускает следующие изменения: а) восстановите равнобедренный треугольник по двум его вершинам и основанию одной из высот, б) восстановите равнобедренный треугольник но основаниям двух высот, лежащим на его боковых сторонах, и двум отличным от вершин точкам основания треугольника, в) восстановите равнобедренный треугольник по осно­ваниям трех его высот, г) восстановите треугольник по основаниям трех его высот.

Изменения этой задачи ведут к обобщению как задачи, так и метода ее решения.

Пример 5. Вычислите

Развитие темы задачи можно связать с ее усложнением:

а) упростите первообразную

б) найдите множество значений а, при которых

Развитие темы задачи в качестве заключительного этапа работы с ней особенно ценно при творческом подходе учителя к обучению реше­нию задач.

4) По отношению к некоторым задачам с ярко выраженными особенностями (по содержанию и приемам решения) следует говорить и о четвертой части заключительного этапа. Мы имеем в виду прежде всего поучительные выводы (фиксации) из проделанной работы о том, как в подобных случаях находится и осуществляется решение, а также какие особенности задач подсказывают прием решения.

К этой части следует отнести и систематизацию различных возмож­ных подходов к задачам определенного содержания. В ходе работы по решению серии связанных между собой задач наступает момент, когда оказывается очень полезным подвести итоги проделанной ра­боты, систематизировать приемы решений, полнее выявить возмож­ности для осуществления решений задач рассматриваемого вида и сходных с ними.

Разъясним сказанное.

Пример 6. В задачах на арифметическую прогрессию прихо­дится иметь дело с пятью основными компонентами: — первый член, d — разность, п — число членов, член и — сумма первых п членов. Между ними установлены два основных отношения:

Значит, каждый раз дол­жны задаваться три компоненты из пяти, а две оставшиеся могут быть

вычислены. Поэтому возможные типы задач определяются данными:

Нетрудно сообразить, что третий и седьмой типы приводят к квадрат­ному уравнению, а все остальные — к уравнениям первой степени. Учителю останется отметить, что если в условии задачи на арифмети­ческую прогрессию фигурируют не только основные компоненты, но и другие, то часто бывает полезно применять известные свойства:

(Систематизация, подобная рассмотренной, может быть проведена и по отношению к задачам на геометрическую прогрессию.)

Ясно, что систематизирующие рассмотрения не только ценны для повторения теории и решения задач, но и имеют еще и явно выраженный исследовательский характер, содержат элементы творчества. Суще­ственно, наконец, что они являются верным средством установления связей между различными математическими вопросами.