§ 1. Математические понятия

1.1. Термин «понятие» обычно применяется для обозначения мысленного образа некоторого класса вещей, процессов, отношений объективной реальности или нашего сознания.

Математические понятия отражают в нашем мышлении определен­ные формы и отношения действительности, абстрагированные от ре­альных ситуаций.

Каждое понятие объединяет в себе класс объектов (вещей, отно­шений) — объем этого понятия — и характеристическое свойство, присущее всем объектам этого класса, и только им, — содержание этого понятия. Например, понятие «треугольник» соединяет в себе класс всевозможных треугольников (объем этого понятия) и характе­ристическое свойство — наличие трех сторон, трех вершин, трех уг­лов (содержание понятия); понятие «уравнение» соединяет в себе класс всевозможных уравнений (объем понятия) и характеристическое свойство — равенство, содержащее одну или несколько переменных (содержание понятия).

Содержание понятия раскрывается с помощью определения, объем — с помощью классификации. Посредством определения и классификации отдельные понятия организуются в систему взаимо­связанных понятий.

1.2. Формирование понятий — сложный психологический про­цесс, начинающийся с образования простейших форм познания — ощущений — и протекающий часто по следующей схеме: ощущения — восприятие — представление — понятие.

Обычно разделяют этот процесс на две ступени: чувствен­ную, состоящую в образовании ощущений, восприятия и представ­ления, и логическую, заключающуюся в переходе от представ­ления к понятию с помощью обобщения и абстрагирования.

Чувственная ступень в процессе формирования понятий соответ­ствует первому этапу пути познания вообще, т. е. «живому созерца­нию», и поэтому ее осуществление требует широкого применения наглядности. Если ученику никогда не показывали модель куба или предметы, имеющие форму куба, то у него не может образоваться представления, а следовательно, и понятия куба.

Процесс формирования понятий будет эффективным, если он ориен­тирует учащихся на обобщение и абстрагирование существенных признаков (характеристического свойства) формируемого понятия.

Рассмотрим процесс формирования понятий на примере понятия куба.

Детям (6—7лет) показывают много предметов, отличающихся фор­мой, размерами, окраской, материалом, из которого они сделаны, причем таких, что одни из них имеют форму куба, а другие нет. Де­ти, после того как им показывают на одно из этих тел и говорят, что то куб, безошибочно отбирают все те тела, которые имеют такую же форму, пренебрегая различиями, касающимися размера, окраски, материала. Здесь выделение из класса предметов подкласса, отождествление тел производится по одному еще недостаточно проанали­зированному признаку — внешней форме. Дети еще не знают свойств куба, они распознают его только по форме.

Дальнейшая работа по формированию понятия куба состоит в анализе этой формы с целью выяснения ее свойств. Учащимся предлагают путем наблюдения найти, что есть общего у всех отобранных тел, имеющих форму куба, чем они отличаются от остальных. Уста­навливается, что у каждого куба 8 вершин, 6 граней. Но у некото­рых тел, которые мы не отнесли к кубам, тоже 8 вершин и 6 граней. Оказывается, у куба все грани — квадраты (эта работа обычно про­водится после аналогичной работы по выделению класса квадратов из множества плоских фигур).

Остается один шаг к образованию понятия куба— переход от представления к понятию путем абстрагирования, т. е. отделения об­щих свойств от прочих, несущественных. Разумеется, на начальном этапе обучения нельзя еще говорить о полном абстрагировании этих свойств, у детей еще не образовывается понятие куба в чистом виде, они еще не определяют куб и противопоставляют его прямоугольному параллелепипеду с различными измерениями. В дальнейшем же, когда будет сконструирована логически упорядоченная система гео­метрических понятий (в рамках систематического курса геометрии), учащиеся узнают, что куб — это вид прямоугольного параллелепи­педа. В этом — диалектика развития понятий.

Приведенный пример показывает, что процесс формирования по­нятий, как правило, длительный процесс, способствующий развитию обобщающей и абстрагирующей деятельности учащихся.

Однако формирование математических понятий не всегда протека­ет по приведенной выше схеме, начинающейся с ощущений. В частно­сти, когда формируемое понятие связано, в той или иной форме, с ка­тегорией бесконечности (как, например, понятия прямой, плоскости, плотности множества рациональных чисел, предела и др.), то чув­ственная ступень играет меньшую роль, так как мы не в состоянии воспринимать бесконечное (ни в какой форме), и наглядность из средства, способствующего формированию понятия, иногда становит­ся тормозящим фактором.

Например, бесконечность множества рациональных чисел, лежа­щих между любыми двумя рациональными числами, не подкрепляет­ся, а, наоборот, «опровергается» конкретным восприятием конечного отрезка, содержащего это множество. Свойство плотности множества рациональных чисел нельзя обнаружить опытным путем, оно не под­тверждается наглядными геометрическими представлениями, а уста­навливается логически. Этот и другие многочисленные примеры под­тверждают выводы наших психологов о том, что восприятие нагляд­ного материала в силу объективных особенностей этого материала может играть не только положительную, но и отрицательную роль.

1.3. Заключительным этапом формирования понятия, как пра­вило, является его определение.

В математике и в обучении математике применяются различные способы определения понятий.

Наиболее часто, особенно в обучении геометрии, встречается оп­ределение «через ближайший род и видовое отличие».

Примером такого определения является следующее:

Прямоугольник есть параллелограмм с прямым углом.

Как видно, это определение состоит из двух частей: «прямоуголь­ник» — определяемое понятие и «параллелограмм с прямым углом»— определяющее понятие. Связка «есть» (иногда вместо «прямоугольник ч:ть » говорят «прямоугольником называется...») означает здесь, что термин «прямоугольник» (вновь введенный) обозначает то же по­нятие, что и выражение «параллелограмм с прямым углом», состав­ленное из ранее уже известных терминов («параллелограмм», «прямой угол»).

Анализируя определяющее понятие «параллелограмм с прямым углом», выделяем понятие «параллелограмм» (ближайший род) и свойство «наличие прямого угла» (видовое отличие). Название «бли­жайший род» оправдано тем, что не выделено другое понятие, объем которого включается в множество параллелограммов и включает множество прямоугольников. Если бы мы определили прямоугольник как четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и имеется прямой угол, то мы получили бы, как видно, более громоздкое определение именно потому, что понятие «четырех­угольник» не является ближайшим родом для прямоугольника (имеет­ся понятие «параллелограмм», объем которого включается в множе­ство четырехугольников и включает множество прямоугольников), и поэтому усложнилось характеристическое свойство (видовое от­личие).

Общая схема определения «через ближайший род и видовое отли­чие» может быть записана на языке множеств (классов):

(класс В состоит из объектов х, принадлежащих А — ближайшему роду — и обладающих свойством Р — видовым отличием) или на языке свойств:

(объект х обладает свойством В тогда и только тогда, когда обладает свойством А и свойством Р).

В нашем примере В — определяемый класс прямоугольников (или свойство «быть прямоугольником»), А — класс параллелограм­мов (или свойство «быть параллелограммом»), Р — свойство «нали­чие прямого угла».

Такое определение является явным определением, в котором четко (явно) выделены определяемое и определяющее понятия. Оно позволяет нам заменить при необходимости одно понятие другим. Очень часто такой заменой пользуемся в доказательствах теорем.

Однако не все математические понятия могут определяться таким образом. Процесс формально-логического определения, как видно из приведенного выше примера, есть процесс сведения одного понятия к другому, с более широким объемом, второго — к третьему, с еще более широким объемом, и т. д. Процесс сведения не может быть бес­конечным. Должны быть некоторые исходные, первоначальные понятия, которые неопределяемы через другие понятия данной теории, так как им не предшествуют никакие другие понятия этой тео­рии.

В процессе обучения должны создаваться такие педагогические ситуации, которые помогли бы учащимся открыть характерную осо­бенность системы математических понятий, связанную с дедуктивным построением теории. Для этой цели можно использовать различный конкретный материал. Например, можно построить такую последова­тельность определений:

O₁: квадрат — ромб с прямым углом;

О₂: ромб — параллелограмм с равными смежными сторонами;

О₃: параллелограмм — четырехугольник, у которого противопо­ложные стороны попарно параллельны;

О₄: четырехугольник — многоугольник с четырьмя сторонами;

О₅: многоугольник — фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией;

О₆: фигура — множество точек.

Как видно, этот процесс сведения одних понятий к другим доходит до понятий «множество» и «точка», которые принимаются за перво­начальные и именно поэтому не определяются через другие по­нятия.

Итак, первоначальные, исходные понятия не определяются явным образом через другие понятия данной теории. Это, однако, не означа­ет, что они никак не определяются. В аксиомах выражаются основные свойства исходных понятий и отношений между ними, которыми пользуются при развертывании теории на базе этих аксиом, т. е. при доказательстве теорем и определении других (определяемых) по­нятий. Поэтому системы аксиом можно рассматривать как неявные, косвенные определения исходных понятий. Таким образом, когда говорят, например, что понятия «точка» и «прямая» — исходные понятия и поэтому не определяются, надо это понимать точнее: «не определяются явно через другие понятия».

Один и тот же раздел школьного курса математики может строить­ся с помощью различных систем понятий, различающихся между со­бой порядком введения понятий или самими понятиями. Выбор ис­ходных понятий не определяет однозначно последовательность изучения понятий системы. Система понятий оказывается лишь ча­стично упорядоченной. Например, в традиционной системе понятий стереометрии такие понятия, как «угол скрещивающихся прямых» и «перпендикулярность прямых и плоскостей», могут изучаться в любом порядке. В учебнике А. П. Киселева угол скрещивающихся прямых изучался после перпендикулярности и поэтому перпендикулярность прямых в пространстве, признак перпендикулярности прямой и пло­скости, теорема о трех перпендикулярах формировались лишь в ча­стных случаях. В результате такого расположения материала уча­щиеся изучали теорему о трех перпендикулярах лишь для случая, когда прямая на плоскости проходит через основание наклонной, и не могли видеть ее применение в задачах, где прямая на плоскости не проходит через основание наклонной. В большинстве же случаев именно такая ситуация наблюдается в задачах.

Об определении не имеет смысла говорить, истинно оно или ложно. Определение может быть правильным (корректным) или неправильным (некорректным) в зависимости от того, удовлетворяет оно или нет определенным требованиям.

Важнейшим требованием, предъявляемым к определениям, явля­ется отсутствие порочного круга. Нарушение этого требования проявляется в том, что определяемое содержится (явно или неявно) в определяющем. Например, фразы: «Решение уравнения — это то число, которое является его решением», «Подобными называются фигуры, которые между собой подобны» — не могут служить определениями решения уравнения и подобных фигур со­ответственно, так как в каждом из этих предложений содержится порочный круг.

Порочный круг может относиться не к отдельному определению, а к двум или нескольким определениям. Например, в двух определе­ниях: «Угол называется прямым, если его стороны взаимно перпенди­кулярны» и «Две прямые взаимно перпендикулярны, если они обра­зуют прямой угол» — имеется порочный круг, так как в одном поня­тие прямого угла определяется через перпендикулярные прямые, а в другом это второе понятие определяется через первое.

Другое важное требование, выполнение которого необходимо для корректности определения, — это отсутствие омонимии: каждый термин (символ) должен встретиться не более одного раза в качестве определяемого. Нарушение этого требования приводит к тому, что один и тот же термин (символ) обозначает различные поня­тия, т. е. нарушается один из принципов употребления символов или терминов в качестве имен.

1.4. Определенные языковые выражения (символы искусственного языка или термины, слова или группы слов естественного языка) вы­полняют функцию обозначения. Они сопоставляются определенным классам объектов (вещей, отношений) или их мысленным образам (понятиям) в качестве названий, имен.

Связь имен с их значениями (с обозначаемыми ими объектами) отражает связь мышления с речью. Формирование понятий возможно лишь при условии их именования, т. е. приписывания им определен­ных имен. Поэтому важно напомнить принципы корректного употреб­ления имен.

1) Принцип предметности: предложение говорит о предметах, имена которых встречаются в этом предложении (а не об их именах). Например, предложение «3 < 5» говорит о том, что чис­ло, обозначенное цифрой 3, меньше числа, обозначенного цифрой 5, т. е. говорит о числах, а не об их именах, встречающихся в этом пред­ложении; предложение «Треугольник — многоугольник» говорит о том, что класс объектов, обозначаемых термином «треугольник», яв­ляется подклассом класса объектов, обозначаемых термином «много­угольник», т. е. говорит об объектах, имена которых встречаются в этом предложении, а не о самих этих именах.

2) Принцип однозначности: каждый символ (тер­мин), используемый в качестве имени, обозначает не более одного объекта, иными словами, каждое имя имеет не более одного значения.

Почему не говорим, что каждое имя имеет точно одно значение, а говорим: «не более одного значения»? Например, утверждая, что число а нельзя делить на 0, мы не утверждаем, что невозможна за­пись «а : 0»; эта запись столь же допустима, как, например, запись «а : 2». Утверждается лишь отсутствие объекта, имя которого есть языковое выражение «а : 0», т. е. это выражение не является именем какого-либо числа, или это имя без значения.

Нарушение принципа однозначности имеет серьезные последствия, особенно в обучении, так как это означает применение имен с более чем одним значением, приводящее к путанице и смещению понятий.

Примером такого нарушения является применение символа «АВ» для обозначения следующих объектов: прямой, проходящей через точки А и В; отрезка с концами А и В; длины отрезка АВ; луча с на­чалом А, содержащего точку В; вектора с началом А и концом В. В предложениях, записанных на естественном языке, можно избе­жать разночтения, применяя наряду с символом «АВ» название обо­значаемого объекта («прямая АВ», «отрезок АВ», «длина отрезка АВ», «луч АВ», «вектор АВ»). Однако это не годится при символических записях (не будем же писать, например, «прямая АВ прямой CD», «отрезок АВ прямой CD» и т. п.).

Единственный выход— в школьном обучении математике необхо­димо строго соблюдать принцип однозначности употребления имен. Практика подтверждает возможность и целесообразность соблюдения этого принципа. Можно применить следующую систему обозначений:

Принцип однозначности утверждает, что каждое имя может быть именем не более чем одного предмета. Однако один и тот же предмет может иметь много различных имен (синонимов). Например, записи «5 — 3», «8 • 2 — 14», «23 : 22» можно рассматривать как различные имена числа 2 (после выполнения вычислений во всех случаях полу­чается значение 2). Равенство 5 — 3 = 8-2— 14 выражает тот факт, что имена, стоящие в левой и правой частях этого равенства, обозначают один и тот же объект, имеют одно и то же значение (число, имеющее имя «2»). Если, например, в левой части этого равенства за­меним «5 — 3» именем «2» с тем же значением, получим также истин­ное равенство «2 = 8-2 — 14». На этом частном примере мы иллю­стрировали еще один важный принцип употребления имен.

3) Принцип замены имен: предложение не меняет свое­го истинностного значения, когда одно из входящих в него имен за­меняется другим именем, имеющим то же самое значение (т. е. сино­нимом).

Различные имена одного и того же предмета часто по-разному характеризуют его, с помощью различной информации о нем. В та­ком случае говорят, что имена имеют одно и то же значение, но раз­личные смыслы.

Например, одна и та же прямая может обозначаться символом «а» или символом «АБ». Первое из этих имен — простое имя, произвольно закрепляемое за прямой (мы можем обозначить эту же прямую бук­вой «Ь»), рассматриваемое как неделимое. Второе имя «АВ» — со­ставное имя, содержащее другие имена («А», «В») в качестве своих частей и обладающее строением, отражающим тот способ, которым оно обозначает предмет (прямую, проходящую через точки А и В). Вполне понятно, что второе, составное имя обладает большей позна­вательной ценностью. Оно сообщает нам, что обозначаемая этим име­нем прямая проходит через точки А и В.

Таким образом, в отношении именования участвуют три различных понятия: «имя», «значение имени», «смысл имени». Говорят, что имя называет свое значение и выражает свой смысл (или что оно имеет такое-то значение и такой-то смысл), а смысл определяет значение.

Из сказанного следует, что надо различать выражения «Не имеет смысла» и «Не имеет значения». Например, в области натуральных чисел имя «корень уравнения х + 4 = 3» не имеет значения. В то же время это имя имеет ясный смысл: это такое число, что после подста­новки его вместо х в данное уравнение слева и справа от знака ра­венства получатся имена одного и того же числа. Точно так же в об­ласти действительных чисел имя «К—4» не имеет значения, но имеет смысл (такое число, что после возведения его в квадрат получится число —4) или имя «2 : 0» не имеет значения, но имеет смысл (число, которое, будучи умножено на 0, дает 2).

В школьном преподавании необходимо тщательно следить за тем, чтобы употребляемые термины и символы имели определенные смысл и значение.

1.5. Не все явные определения можно отнести к определениям через ближайший род и видовое отличие.

Приведем несколько примеров.

(1) «Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендику­лярна любой прямой этой плоскости», или, в символической записи,

(2) «Число а делится на число Ь, если существует число с такое, что а = Ь*с», или

(«Число с — наибольший общий делитель чисел а и Ь, если с — их общий делитель и делится на любой другой их общий делитель»).

В каждом из этих определений новое отношение (определяемое) определяется через ранее известные отношения (определяющие): перпендикулярность прямой и плоскости — через перпендикуляр­ность прямых, отношение «делится на» — через отношение «быть произведением», отношение «быть наибольшим общим делителем» — через отношение «делится на».

Все эти определения являются явными, но в них нельзя выделить ближайший род и видовое отличие.

Применяемый здесь знак читается: «означает по определению» или «тогда и только тогда по определению». Если же определяется класс объектов по схеме , то знак читается: «равен по определению» или «называется».

Добавление «по определению» существенно потому, что, хотя сло­весные формулировки явных определений имеют вид повествователь­ных предложений, эти предложения не выражают высказывания (в том смысле, в каком термин «высказывание» понимается в математиче­ской логике), так как бессмысленно говорить об их истинности или ложности. Поэтому, в частности, нет смысла их доказывать или опро­вергать. С логической точки зрения словесные формулировки опреде­лений ближе к повелительным, чем к повествовательным предложе­ниям, их можно рассматривать как приказы или разрешения поль­зоваться одним выражением (определяемым) вместо другого, более громоздкого (определяющего).

1.6. Знание определения еще не гарантирует усвоения понятия. Один из аспектов формализма в математических знаниях состоит именно в том, что некоторые учащиеся, зная точную формулировку определения, не распознают определяемый объект в различных ситуа­циях, где он встречается. Поэтому методика обучения должна разра­батывать систему работы с определениями, чтобы преодолеть воз­можный формализм в их усвоении.

Важное место в этой работе занимает обучение распознаванию объекта, соответствующего данному определению, и построению раз­ного рода контрпримеров. Для этой цели необходимо ясно представить себе структуру определения.

Под структурой определения, построенного по схеме понимают структуру его правой части, т. е. предложения «В». В школьной математике встречаются определения различной структуры, порой довольно сложной, и, чем сложнее структура определения, тем более тщательной должна быть работа по его разъяснению, по предупреж­дению формального усвоения.

Одна из наиболее распространенных структур определений — конъюнктивная структура. Приведем несколько примеров.

Пример 1. Определение симметричных относительно прямой точек гласит: «Две точки Хи X₁ называются симметричными отно­сительно прямой р, если эта прямая перпендикулярна отрезку XX₁ и проходит через его середину. Будем также считать, что каждая точ­ка прямой р симметрична себе относительно этой прямой».

Проанализируем это определение для случая X р.

Итак, для того чтобы точки X и X₁ были симметричными относи­тельно прямой р, т. е. чтобы выполнялось условие X₁ = S_p (X), должны выполняться следующие условия:

(1) эти точки должны лежать на перпендикуляре к прямой р, т. е,

(2) прямая р должна пройти через середину отрезка XX₁, а это означает, что точки X и X₁ должны лежать по разные стороны от р,

и на одинаковом расстоянии от нее, т. е.

. Итак, наше определение (для Хр) может быть записано

Как видно, правая часть определения представляет собой предло­жение конъюнктивной структуры (состоит из трех предложений, со­единенных союзом «и»).

Исходя из этого определения, легко указать способ построения точки, симметричной данной, а также способ распознавания симмет­ричных точек.

Построение симметричной точки

Пусть дана произвольная точка X (X р).

1) Опустить перпендикуляр ХО на прямую р.

2) Продолжить перпендикуляр за точку О.

3) На продолжении перпендикуляра отложить отрезок 0Х₁, рав­ный отрезку ХО.

Полученная точка X₁ искомая (X₁ = S_p (X)).

Иногда формулировку этого алгоритма принимают за определение симметричных точек. Такое определение, в котором указан способ по­строения определяемого объекта, называется конструктивным.

Так, конструктивное определение осевой симметрии фигур может быть сформулировано следующим образом: «Пусть F— данная фи­гура и р—фиксированная прямая. Возьмем произвольную точку X фигуры и опустим перпендикуляр ХО на прямую р. На продолжении перпендикуляра за точку О отложим отрезок ОХ₁, равный ОХ. Пре­образование фигуры F в F₁ при котором каждая точка X переходит в точку Х₁ построенную указанным образом, называется симметрией относительно прямой р» (П о г о р е л о в А. В. Геометрия, 6—10. — М.: Просвещение, 1981). Иногда отдается предпочтение конструк­тивному определению перед классическим и это мотивируется тем, что важнее уметь построить объект, чем знать его формальное опре­деление. Представляется, что и то, и другое важно. Поэтому наряду с алгоритмом построения необходимо дать и формальное определение объекта.

Распознавание симметричных точек

Даны две точки X и X₁ и прямая р. Алгоритм распознавания, симметричны ли точки X и X₁ относительно прямой р, исходя из структуры определения, можно представить в виде блок-схемы, изо­браженной на рисунке 1.

Эта блок-схема подсказывает нам все случаи, когда две точки X и Xi не симметричны относительно прямой р, т. е. различные контр­примеры (рис. 2).

Пример 2. В качестве вто­рого примера определения конъ­юнктивной структуры рассмотрим приведенное выше определение наи­большего общего делителя двух чисел. Соответствующий алгоритм распознавания (рис. 3) имеет такой же вид, что и алгоритм, представ­ленный блок-схемой на рисунке 1. Как видно на блок-схеме (рис. 3), сНОД(а,Ь), если

неверно, что ас,

или

неверно, что bс,

или

По существу мы здесь получи­ли точное отрицание определения наибольшего общего делителя, вер­нее, его правой части, т. е. точное выражение того, что означает за­пись НОД (а, Ь)с:

(Вопрос об обучении построению отрицаний предложений сложной логической структуры рассматри­вается в следующем параграфе.)

то необходимо подчеркнуть (в про­цессе обучения), что данный объект принадлежит классу А, если он об­ладает всеми свойствами Р₁ и Р₂, ..., Р_n, и не принадлежит этому классу если не обладает хотя бы одним из этих свойств. Таким образом,

(здесь неявно применяется один из известных законов де Моргана).

Алгоритм распознавания (принадлежности или непринадлежности некоторого объекта х классу А) может быть представлен блок-схе­мой, изображенной на рисунке 4.

Встречаются и определения дизъюнктивной структуры.

Определение множества Z целых чисел («Алгебра-7», § 11, п. 32) можно записать на языке свойств в виде

где N^-1 обозначает множество чисел, противоположных натуральным. Как видно, это определение имеет дизъюнктивную структуру.

Соответствующий алгоритм распознавания может быть представ­лен блок-схемой, изображенной на рисунке 5.

Дизъюнктивную структуру имеет также определение параллель­ности прямой и плоскости (если принадлежность прямой плоскости считать частным случаем параллельности):

Из этого определения следует, что прямая а не параллельна пло­скости а, если не выполняется ни одно из свойств а а= и

а а, т. е.

Но из и следует, что существует единственная точка А такая, что . В этом случае и говорят, что прямая пересекается с плоскостью .

Как видим, краткая запись определения и точное выражение его отрицания способствуют выявлению логических связей между поня­тиями: из того, что прямая и плоскость не параллельны, следует, что они пересекаются, и обратно.

Если определение некоторого класса А имеет дизъюнктивную струк­туру

то необходимо подчеркнуть (в процессе обучения), что данный объект принадлежит классу А, если он обладает хотя бы одним из свойств Р₁ и Р₂, ..., Р_n не принадлежит этому классу, если не обладает ни одним из этих свойств, т. е.

(Здесь опять применяется один из законов де Моргана. Разъяснение условий принадлежности и непринадлежности данного объекта классу объектов, определение которого имеет конъюнктивную или дизъюнктивную структуру, может служить и разъяснением этих логических законов.)

Алгоритм распознавания, соответствующий определению дизъюнк­тивной структуры, может быть представлен блок-схемой, изображен­ной на рисунке 6.

Встречаются определения и более сложной структуры. При­ведем несколько примеров.

Известны различные (неэквивалентные) определения параллельно­сти прямых.

Если совпадение прямых не считать частным случаем параллель­ности, то определение имеет конъюнктивную структуру:

При таком определении параллельности транзитивность имеет место, если различные буквы а, Ь, с обозначают различные прямые.

Если же совпадение прямых считать частным случаем параллель­ности, то определение имеет более сложную конъюнктивно-дизъюнктивную структуру:

В этом случае параллельность является отношением эквивалент­ности и разбивает плоскость (или пространство) на классы эквива­лентности — пучки (или связки) параллельных прямых.

Этому определению соответствует алгоритм распознавания, пред­ставленный блок-схемой, изображенной на рисунке 7.

Более сложную структуру, не сводимую к конъюнктивно-дизъюнктивной, имеют определения некоторых понятий анализа. Сложность структуры этих определений обусловлена наличием кванторной при­ставки, содержащей разноименные кванторы. (Напомним, что кванто­рами называют выражения: «для всех» («для всякого», «для любого»...)— квантор общности — и «существует» («некоторые») — квантор су­ществования, — независимо от того, записываются ли они словами естественного языка или соответствующими символами ().)

Например, обычное определение предела функции в точке можно записать так:

Для того чтобы это определение (в словесной формулировке или символической записи) сделать доступным учащимся, нужна опре­деленная подготовительная работа, включающая:

а) формирование интуитивного понятия предела функции в точке;

б) разъяснение этого интуитивного понятия различными способа­ми (с помощью различных оборотов речи);

в) поэлементный перевод разъяснения интуитивного понятия в точное определение математического понятия предела (именно по­элементный перевод, а не скачок от интуитивного понятия к математи­ческому, который может оказаться недоступным).

Интуитивное понятие предела формируется на конкретных при­мерах функций с помощью таких оборотов речи, как «Функция стре­мится к числу Ь, когда х стремится к числу а». В этом предложении использовано слово «стремится», которое не является математическим термином (его значение ранее не определено математически). Исполь­зуется и такой оборот речи: «Значение функции сколь угодно близко подходит к числу Ь, когда значение х достаточно близко к а (доста­точно мало отличается от а)».

Эти синонимичные выражения уточняются постепенно с помощью геометрически наглядного понятия окрестности, позволяющего полу­чить аналитическое выражение того, что интуитивно понимаем под «стремится», «близко», а также связи между «как угодно близко» и «достаточно близко».

Чем сложнее структура определения математического понятия, тем больше потребности в тщательной отработке соответствующего интуитивного образа и его переводе в математическое.

В математике часто применяются так называемые индуктивные (рекурсивные) определения, которые постепенно внедряются и в школьном обучении.

В наиболее простых случаях, которые встречаются в школьном обучении, индуктивное определение функции натурального аргумента (последовательности) строится по следующей схеме:

т. е. задается значение определяемой функции для 0 (или для 1) и выражается известным способом ее значение для n+1 (- извест­ная функция) через n и ее значение для n. Например, последовательность

можно определить следующим образом (в предположении, что законо­мерность образования новых членов одна и та же):

(такое определение применяется, в частности, при программировании процесса вычисления суммы соответствующего ряда с заданной сте­пенью точности).

Пока индуктивные определения редко встречаются в школьном обучении, но, учитывая их широкое распространение и значение в математике (рекурсивные функции — одно из математических уточ­нений интуитивного понятия алгоритма), можно предполагать, что их применение в обучении математике будет постепенно раcширяться.

1.7. Мы уже говорили о том, что содержание понятия раскрывает­ся с помощью определения (явного или неявного), а объем — с по­мощью классификации.

Часто классификация состоит из многоступенчатого разбиения множества объектов на два класса с помощью некоторого свойства (двучленное деление, или «дихотомия», в терминах классической ло­гики).

В общем виде это выглядит так. Пусть имеем множество А и свойство Р₁, причем существуют элементы А, обладающие и не об­ладающие этим свойством. Допустим, что

Таким образом, получаем разбиение множества А на два класса:

Дальше выделяются в А₁ два класса с помощью свойства Р₂:

Т.е. определяется разбиение множества A₁ на два класса: А₂ и . Аналогично разбивается и А₂ на два класса: А₃ и — с помощью некоторого свойства Р₃ и т. д. Эта последовательность разбиений заканчивается на каком-то А_к, дальнейшее разбиение которого уже не рассматривается.

Примером такой последовательности разбиений является следую­щая классификация чисел, отражающая (если читать ее снизу вверх) схему развития понятия числа:

Методически полезными могут оказаться и схемы без слов, как, например, изображенная на рисунке 8 схема, изображающая зависи­мости изучаемых в курсе планиметрии классов четырехугольников (трапеции, параллелограммы, прямоугольники, ромбы и квадраты).

Для наглядного представления классификации можно воспользо­ваться и так называемыми диаграммами Эйлера — Венна, в которых различные классы объектов изображаются в виде множеств точек, ограниченных простыми замкнутыми линиями.

Если М обозначает множество треугольников, А — класс прямо­угольных треугольников и В — класс равнобедренных треугольни­ков, то диаграмма, изображенная на рисунке 9, а, представляет раз­биение множества треугольников на два класса: прямоугольных и непрямоугольных треугольников; диаграмма на рисунке 9, б — раз­биение множества треугольников на два класса: равнобедренных и неравнобедренных треугольников; диаграмма на рисунке 9, в — разбиение множества треугольников на четыре класса: (1) — прямо­угольных равнобедренных; (2) — прямоугольных неравнобедренных; (3) — равнобедренных непрямоугольных и (4) — непрямоугольных неравнобедренных треугольников.

С помощью диаграмм Эйлера — Венна можно выполнить широкое разнообразие упражнений, способствующих систематизации знаний учащихся, правильному пониманию отношений между различными понятиями. Они служат также аппаратом для анализа некоторых классов рассуждении (о которых пойдет речь дальше).

Значение деятельности по классификации (одного из важных ви­дов умственной деятельности) далеко выходит за рамки усвоения ма­тематических знаний. Необходимость классифицировать возникает в любой области человеческой деятельности. Этому нужно учить в школе.