§ 2. Математические предложения

2.1. Каждая математическая теория представляет собой множе­ство предложений, описывающее какую-то структуру (если эта тео­рия излагается содержательно в определенной конкретной интер­претации, как это имеет место в школьном обучении) или какой-то аксиоматизируемый класс структур (если она излагается абстракт­но (полуформально или формально) вне всякой интерпретации).

Принадлежность предложения к некоторой математической теории определяется двумя признаками:

(а) предложение записано (или сформулировано) на языке дан ной теории, состоит из математических (принадлежащих языку тео­рии) и логических терминов или символов и не содержит никаких других терминов или символов;

(б) предложение истинно, т. е. является или исходным истинным предложением (аксиомой) данной теории, или его истинность устанав­ливается доказательством с помощью уже известных (исходных или ранее доказанных) истинных предложений.

Например, предложение «Сумма углов всякого треугольника равна 180°» является геометрическим предложением, принадлежит теории евклидовой геометрии, потому что:

(а) оно записано на языке геометрии (хотя одновременно на рус­ском языке), т. е. состоит из геометрических («сумма углов», «тре­угольник», «180°») и логических («всякого», «равна») терминов или символов;

(б) оно истинно, так как доказывается в рамках евклидовой гео­метрии, т. е. на основе ее аксиом или других уже доказанных предло­жений этой теории.

Аналогично предложение

принадлежит алгебраической теории, описывающей структуру (Q, +), потому что:

(а) оно записано на языке этой теории, состоит из символов, обо­значающих понятия этой теории: a, b — переменные для элементов из Q, «+» — знак операции сложения в Q, «» — знак принадлежно­сти элемента (или значения переменной) к множеству, «=» — логи­ческий символ, «для любых» — логический термин, и никаких дру­гих терминов или символов не содержит;

(б) оно истинно, обычно принимается за одну из аксиом, характе­ризующих групповую структуру (Q, +).

Такие же предложения, как

«Прямая имеет вид туго натянутой нити», (1)

«Сумма углов треугольника не равна 180°», (2)

«a+ Ь = b для любых a, b Q», (3)

не принадлежат соответствующим математическим теориям: (1) и (2) не принадлежат евклидовой геометрии, (3) не принадлежит теории структуры (Q,+).

Действительно, (1) не принадлежит никакой геометрической тео­рии, так как содержит такие термины, как «имеет вид», «туго натя­нутая нить», не обозначающие геометрические понятия, т. е. предло­жение (1) не сформулировано на языке геометрии. Это предложение, однако, выполняет некоторую дидактическую функцию, она указы­вает ту конкретную реальную интерпретацию, в которой строится школьная геометрия. В этой геометрии прямой действительно при­писывается вид туго натянутой нити, так изображается прямая на рисунках, хотя этот вид прямой никакого участия в дедуктивном раз­вертывании геометрической теории не принимает. Это чрезвычайно важно, и нужно подчеркивать в процессе обучения, что в доказательствах геометрических теорем мы имеем право пользоваться только геометрическими предложениями, причем такими, истинность кото­рых ранее уже установлена (или принята без доказательства).

Предложение (2) записано на геометрическом языке, но не при­надлежит теории евклидовой геометрии, так как оно противоречит предложению этой теории («Сумма углов треугольника равна 180°») и поэтому ложно (не выражает свойство структуры евклидовой пло­скости). Если предложение (2) включить в евклидову геометрию, на­пример, в качестве новой аксиомы, мы получили бы противоречивую теорию, ничего не описывающую, не имеющую никакой модели.

Предложение (3) записано на языке теории, описывающей струк­туру (Q, +), но оно ложно. Чтобы установить это, достаточен один контрпример, т. е. установить истинность отрицания предложения (3):

«Существуют а, Ь Q такие, что а + b b,

например 3 + 44.

(Установление ложности общего предложения с помощью контрпри­мера — весьма полезное упражнение на различных этапах обучения.)

2.2. С каждым математическим предложением связаны содержа­ние (выраженное в нем математическое содержание) и логическая форма (или структура).

Представление, что можно ограничиться в обучении математике лишь раскрытием содержания каждого математического предложе­ния, ошибочно. Содержание неразрывно связано с формой, и нельзя осмыслить первое без понимания второй.

Так как одна из центральных задач обучения математике состоит в обучении установлению истинности математических предложений (чаще всего с помощью доказательства), а истинностные значения этих предложений зависят от их логической структуры, то естественно считать одной из задач методики преподавания математики раскры­тие логической структуры математических предложений.

Раскрыть логическую структуру сложного (составного) предложе­ния — значит показать, из каких элементарных пред­ложений сконструировано данное сложное предложение и как оно составлено из них, т. е. с помощью каких и в каком порядке при­меняемых логических связок (слов или сочетаний слов) «не» , «и», «или» , «если...,то» , «тогда и только тогда» , «для всякого» , «сущест­вует» (и некоторых синонимических выражений), обозначающих логи­ческие операции, с помощью которых из одних предложений образу­ются другие.

Всякое математическое (и не только математическое) предложение либо элементарное, т. е. не расчленяется на части, каждая из кото­рых в свою очередь есть предложение, либо построено из элементар­ных, определенным образом соединенных между собой логическими связками.

Совокупность и порядок логических связок, с помощью которых сложное предложение образовано из элементарных, составляет ло­гическую структуру (или логическую форму) этого сложного предло­жения.

Раскрытие логической структуры математи­ческих предложений было бы бесполезным без разъяснения точного смысла используемых логи­ческих связок. Такое разъяснение необходимо потому, что, как показывают многочисленные исследования, применение, даже многократное, перечисленных выше слов само по себе еще не обеспечивает правильного понимания их смысла. Не только школьники, но и некоторые взрослые, много тысяч раз применявшие в своих рассуж­дениях союз «или», отвечают отрицательно, на­пример, на вопрос:

«Истинно ли предложение «35» («3 < 5» или «3 = 5»)?» Без понимания точного смысла логических связок не может быть достигнуто и правильное понимание точного смысла всей логико-мате­матической конструкции, т. е. математического предложения, обра­зованного с их участием, а следовательно, и выраженного в нем мате­матического содержания.

Приведем пример. Пусть даны треугольник ABC и точка D на стороне АС (рис. 10).

Предложения элементарные, они не расчленяются на части, каждая из которых — пред­ложение.

Из этих элементарных предложений могут быть составлены личные сложные предложения. Рассмотрим некоторые из них:

Нетрудно заметить, исходя из известных геометрических соотно­шений и правильного понимания точного смысла слов «не», «и», «или», «если..., то» (возможное разъяснение которого будет показано даль­ше), что предложение (1) истинно, (2) и (3) ложны, (4) истинно. Предложения (1) и (2) составлены из одних и тех же элементарных предложений с помощью одних и тех же логических связок и отличаются только порядком этих операторов: поменяли в (1) ме­стами «и» и «то», в результате чего получили новое предложение (2), при этом изменилось истинностное значение: (1) истинно, (2) ложно.

Предложение (3) отличается от (1) тем, что союз «и» заменен сою­зом «или», и от этого также изменилось истинностное значение: (1) истинно, (3) ложно.

Как видно, истинностное значение сложного предложения су­щественно зависит от совокупности и порядка логических связок, с помощью которых оно образовано из элементарных предложений, т. е. от логической структуры (формы).

Структуры предложений (1) и (4) различны, но они так связаны между собой, что оба эти предложения имеют одно и то же истинностное значение. Таким образом, если мы доказали истинность предло­жения (1), то предложение (4) уже не нуждается в специальном до­казательстве. Предложения (1) и (4) равносильны или эквивалентны, они выражают одну и ту же мысль в разной форме, причем равносильность предложений — свойство их логической структуры, оно не зависит от содержания предложений.

Возьмем два предложения другого содержания, но той же струк­туры, что и (1) и (4):

«Если число целое и положительное, то оно натуральное». (1') «Если число целое и не натуральное, то оно не положительное». (4') Что общего в предложениях (1) и (1'), (4) и (4'), столь различных по содержанию? У них одна и та же логическая структура. Чтобы выразить общую логическую структуру различных по содержанию сложных предложений, достаточно отвлечься от конкретного содер­жания составляющих их элементарных предложений, обозначив их какими-нибудьбуквами, например:

Тогда логические структуры пар предложений (1) и (Г), (4) и (4') запишутся так:

(1) — (1'). «Если X и Y, то Z».

(4) — (4'). «Если X и не Z, то не Y».

Как видно, заменяя элементарные предложения, входящие в со­став сложных, буквами, мы опускаем в записях этих сложных пред­ложений то, чем они отличаются (конкретное содержание), и сохра­няем лишь то, что у них общее (логическую структуру, форму). То, что мы здесь сделали, можно назвать логическим анализом предло­жений. Для чего он нужен? Вместо того чтобы установить отдельно для предложений (1) и (4), затем (Г) и (4'), что истинность каждого из них определяется истинностью другого, целесообразно установить это один раз для предложений такой логической структуры.

(Такой метод свойствен для математики. Мы ведь не устанавливаем отдельно для (1 + З)², (2 + 5)², (3 + 8)² и т. д. чему равен квадрат суммы этих чисел, а заменяем конкретные числа переменными, вместо которых можно подставить любые числа, и доказываем один раз для любых двух чисел х, у, что (х + у)² = х² + 2ху + у².

В записях (1) — (1') и (4) — (4') буквы X, Y, Z можно рассмат­ривать как переменные для предложений (пропозициональные пере­менные). Вместо них можно подставить не только те элементарные предложения из наших примеров, которые они заменили, но и любые Другие, разумеется, связанные по содержанию, чтобы получились осмысленные сложные предложения.

Например, если вместо X подставить предложение «Четырехуголь­ник — параллелограмм», вместо Y — предложение «Его диагонали взаимно перпендикулярны», а вместо Z — предложение «Четырех­угольник — ромб», получим:

«Если четырехугольник — параллелограмм и его диагонали вза­имно перпендикулярны, то четырехугольник — ромб». (1")

«Если четырехугольник — параллелограмм и не ромб, то его диа­гонали не взаимно перпендикулярны». (4")

Эти два предложения обладают таким же свойством, как (1) и (4), т. е. они равносильны, или каждое из них следует из другого.

Отношения равносильности и следования между предложениями находят широкие применения в математике и в обучении математике. Первое из этих отношений сводится ко второму, а отношение следова­ния является основой всяких доказательств. Не может быть сомнений в том, что эти отношения должны разъясняться в процессе обучения математике примерно на таком же уровне, на каком мы иллюстрирова­ли выше разъяснение и раскрытие логической структуры предложений.

2.3. Существенное значение при усвоении математических знаний имеет умение различать математические предложения, содержащие свободные вхождения переменных от таких, которые не содержат подобных вхождений.

Приведем несколько примеров:

(1) 3 < 5; (2) 7 < 5; (3) х < 5.

(4) Существует натуральное число х такое, что х < 5.

(5) Для всякого натурального числа х х < 5.

(6) 3 + 4 = 7; (7) 5 + 3 = 7; (8) х + у = 7.

(9) Существуют натуральные числа х, у такие, что х + y = 7

(10) Для всяких двух натуральных чисел х, у х + у = 7

(11) x+y=y+x

(12) Существуют натуральные числа х, у такие, что х + у = у + х.

(13) Для всяких двух натуральных чисел х, у х + у =у + х.

Что выражают эти предложения с логической точки зрения?

Предложения (1), (4), (6), (9), (12), (13) выражают истинные вы­сказывания, предложения (2), (5), (7), (10) — ложные высказывания, а предложения (3), (8), (И) не выражают высказывания, так как к ним не применим (не имеет смысла) вопрос: «Истинно ли предложение...?»

Если же вместо переменной (всех переменных) подставить какое-нибудь ее значение (какие-нибудь их значения), то эти предложения преобразуются в высказывания (точнее, в предложения, выражающие высказывания), истинные или ложные в зависимости от подставляемых значений. Эти предложения являются лишь формами для высказыва­ний (или высказывательными формами), порождающими высказыва­ния одной формы, хотя имеющими, возможно, и различные истинно­стные значения.

Предложение (11) при любых значениях переменных х, у обраща­ется в истинное высказывание. Именно поэтому предложение (13) выражает истинное высказывание (закон коммутативности сложения в множестве N).

Как видно, хотя предложения (4), (5), (9), (10), (12), (13) тоже содержат переменные, они в отличие от предложений (3), (8), (11) вы­ражают высказывания. Это объясняется тем, что они не содержат свободных вхождений переменных, все входящие в них переменные связаны кванторами существования или общности, выраженными соответственно словами «существует» и «для всякого» (выражение «Су­ществуют натуральные числа х, у» — сокращенная запись двух кванторов существования: «Существует натуральное число х, существует натуральное число у»; аналогично выражение «Для всяких двух...» — сокращенная запись двух кванторов общности).

Важно отметить, что операция подстановки значения применима лишь к свободным вхождениям переменных.

Так, имеет смысл подставлять различные значения вместо х в предложении (3). Получим истинные или ложные высказывания:

Таблица 1

Однако бессмысленно подставлять значения вместо х в предложе­нии (4) или (5).

Предложение «Для всякого х А (х)» («хА(х)») истинно, если высказывательная форма А(х) обращается в истинное высказывание при подстановке вместо х любого значения (из области значений этой переменной), и ложно, если найдется хотя бы одно значение х (из этой области), при подстановке которого А(х) обратится в ложное высказывание.

Предложение «Существует х такое, что А(х)» («хА (х)») истинно, если найдется хотя бы одно значение х (из области значений этой переменной), подстановка которого вместо х в А (х) обращает эту высказывательную форму в истинное высказывание, и ложно, если подстановка любого значения х (из этой области) обращает эту высказывательную форму в ложное высказывание.

Роль элементов логики в теории и практике обучения математике состоит в том, что, во-первых, усвоение общих логических приемов мышления (о которых пойдет речь в гл. IV) является необходимым условием формирования и развития познавательной деятельности учащихся и, во-вторых, разработанные в рамках математической ло­гики некоторые общие понятия (высказывание, предикат, логические операции, отношение следования и др.) способствуют раскрытию структуры и более глубокому пониманию математического содержа­ния. Речь идет лишь о разумном, дидактически целесообразном при­менении некоторых логических понятий и обозначений как важных вспомогательных средств обучения. Переоценка роли логики как одной из основ теории обучения математике так же вредна, как и недооценка этой роли.

В связи с уточнением роли логики в теории и практике обучения математике уместно привести высказывание академика А. Н. Колмо­горова: «Ответственность преподавателей математики здесь особенно велика, так как отдельного предмета «логика» в школе нет и знакомство с началами логики практически в значительной мере происходит на уроках математики»¹.

2.4. Приведенные выше истинностные таблицы и определения кванторов в общем хорошо согласуются со смыслом соответствую­щих выражений в обиходном языке. Исключение составляет имплика­ция, истинностная таблица которой не во всех строках согласуется со смыслами, в которых оборот речи «если..., то» применяется в оби­ходном языке.

Этот вопрос заслуживает специального рассмотрения, так как многие трудности в обучении возникают именно там, где точный смысл, в котором некоторые обороты речи используются в математи­ке, отличается от смысла этих оборотов в обиходном языке.

Словосочетания «если..., то», «из... следует», «из... вытекает», «... влечет...» и т. п. часто встречаются в математических текстах, в том числе и в школьных учебниках. Анализ показывает, что этими словосочетаниями обиходного языка выражаются различные формаль­но-логические понятия. Иными словами, попытка уточнения (или формализации) подобных формулировок приводит к одному из сле­дующих логических понятий: а) к сложному предложению (имплика­ции), образованному из двух предложений «А» и «В» с помощью ло­гической связки «если..., то» («Если А, то В»), обозначаемой в логи­ческой литературе одним из знаков «»,«», б) к отношению логического следования (из предложения «А» следует предложение «В») и в) к отношению формальной выводимости (из «А» выво­димо «В»).

Так как логика школьной математики неформализована, то по­следнее понятие (отношение формальной выводимости) не применимо. Анализ применения оборота «если..., то» в обиходном языке по­казывает, что применяется именно в случаях, когда истинностное значение предложения, стоящего между словами «если» и «то», не­известно («Если завтра будет хорошая погода, то осуществим прогул­ку в лес» и т. п.).

Такие слова, как «завтра», «сегодня», «здесь», «там», «дома», «мы» и т. п., имеют меняющееся от случая к случаю значение и могут играть в обыденном языке роль переменных математического языка. В математике же истинностное значение предложения, стоящего между словами «если» и «то», неизвестно чаще всего в случае высказывательной формы.

Например, в предложении «Если число n делится на 6, то оно де­лится на 3» переменная n может принимать различные значения и мы заранее не знаем истинностного значения предложения «Число n делится на 6», стоящего за словом «если», так как оно обозначает высказывательную форму. Часто, говоря «Если число n делится на 6, то оно делится на 3», подразумевают высказывание «Для всякого числа n: если n делится на 6, то n делится на 3» (квантор общности чаще всего явно не высказывается).

Аналогично, говоря: «Если ABCD— ромб, то AСВD», мы заранее не знаем, является ли четырехугольник ABCD ромбом. Здесь роль переменных играют буквы А,В,С,D (переменные для точек) или символ «ABCD» можно рассматривать как переменную для че­тырехугольника. Доказывая соответствующую теорему (о свойстве диагоналей ромба), подразумеваем, что в ее формулировке явно не высказан квантор общности. Если восстановить полную формули­ровку, получим: «Для любого четырехугольника ABCD: если ABCD — ромб, то AСВD».

Рассмотрим два предложения, образованные с помощью «если..., то»:

(1) «Если х = 3, то х² = 9»

и

(2) «Если х² = 9, то х = 3».

О предложении (1) обычно говорят, что оно верно (истинно), о предложении (2) — что оно неверно (ложно). В каком же смысле по­нимают в них словосочетание «если..., то»?

Если понимать его в смысле импликации, то обе импликации, (1) и (2), выражают высказывательные формы. При этом (1) обращается в истинное высказывание при любом значении х, т. е. высказывание

истинно, а (2) представляет собой высказывательную форму, обра­щающуюся при одних значениях переменной х (например, 0, 1, 2, 3) в истинное высказывание, при других («—3») — в ложное, т. е. вы­сказывание

ложно.

Таким образом, когда говорят, что (1) истинно, а (2) ложно, то словосочетание «если..., то» понимается не в смысле импликации, а как синоним для выражения «из... следует», т. е. как обозначение от­ношения следования: в (1) утверждается, что если предложение «х = 3» истинно, то и предложение «х²-9» истинно или «х²-9» истинно по крайней мере при всех тех значениях х, при которых ис­тинно «х = 3». Это и означает, что <а² = 9» следует из «х = 3».

Важнейшее отношение между предложениями, отношение следова­ния, очень часто встречающееся в школьном обучении, целесообразно обозначить соответствующим символом «». Итак, мы установили, что

так как высказывание «x (если х = 3, то х² — 9)» истинно.

Когда же говорят, что предложение (2) ложно, имеют в виду, что из «х2=9» не следует «х= 3», т. е. что высказывание «x (если х²= 9, то х = 3)» ложно.

Вообще, пусть А(х)» и «В(х)»— предложения, содержащие сво­бодную переменную х. Когда же мы говорим, что из «А(х)» следует «В(х)»?

обращается в истинное высказывание по крайней мере при всех тех значениях х, при которых «А(х)» обра­щается в истинное высказывание. Это означает, что высказывание .

Где «»-знак импликации истинно.

Определенное таким образом отношение следования распростра­няется на любые предложения: из предложения «А» следует предло­жение «В», если «В» истинно по крайней мере во всех случаях, когда истинно «А».

Если из «А» следует «В» и из «В» следует,то предложения «А» и «В» равносильны, что обозначается символом _. Например,, так как

и

Важно отметить, что записи «А(х)В(х)» и «А(х)В(х)» представляют собой высказывания (а не высказывательные формы), первое — высказывание о следовании одного предложения («А(х)») из другого («В (х)»), второе — высказывание о равносильности двух предложений («А(х)» и «В(х)»).

2.5. С отношениями следования и равносильности связаны приме­няющиеся в школьном обучении выражения: «необходимое усло­вие», «достаточное условие», «необходимое и достаточное условие».

Если из предложения «А» следует предложение «В» («АВ»), то «А» выражает достаточное условие для «В», а «В» — необходимое ус­ловие для «А» (если из «А» следует «В», то истинность «А» достаточна для истинности «В», а истинность «В» необходима для истинности «А»).

Таким образом, обороты речи: «Из А следует В», «А — достаточ­ное условие для В» и «В — необходимое условие для А» — по суще­ству применяются в качестве синонимов.

Если «АВ», т. е. предложения «А» и «В» равносильны («АВ», или «AВ и ВА»), то, исходя из приведенных выше синонимов для «следует», можно утверждать, что каждое из предложений «A» и «В» выражает необходимое и достаточное условие для другого. Та­ким образом, обороты речи: «A равносильно В», «A необходимо и до­статочно для В», «В необходимо и достаточно для A» — применяются в качестве синонимов.

Встречаются случаи, когда из «А» следует «В», но из «В» не сле­дует «А», т. е. предложения «А» и «В» неравносильны. В этом случае «А» — достаточное, но не необходимое условие для «В», а «В» — не­обходимое, но недостаточное условие для «А».

Математические предложения часто формулируются с помощью оборота «если..., то», т. е. в виде импликаций.

Если импликацией «Если Р, то Q» выражается некоторая теорема, то первый член импликации «Р», т. е. предложение, записанное меж­ду словами «если» и «то», называется условием, а второй член импли­кации «Q», т. е. предложение, записанное после слова «то», — заклю­чением теоремы.

Для импликации

«Если Р, то Q» (1)

определим еще три импликации следующим образом:

а) Если в (1) поменять местами «/>» и «Q», то получим предложение

«Если Q, то Р»(2)

называемое обратным по отношению к предложению (1).

б) Если в (1) заменить «Р» и «Q» их отрицаниями «Р» и «Q» соот­ветственно, получим предложение

«Если Р, то Q»(3)

называемое противоположным по отношению к предложению (1).

в) Если в (1) произвести одновременно преобразования, указан­ные в а) и б), получим предложение

«Если Q, то Р»(4)

называемое контрапозитивным (противоположно-обратным, или об­ратным противоположному) по отношению к предложению (1).

Легко установить (хотя бы с помощью истинностных таблиц или непосредственными рассуждениями), что предложения (1) и (4), (2) и (3) равносильны:

Таким образом, если предложение «Если Р, то Q» — теорема не­которой теории, то равносильное ему предложение «Если Q, то Р» тоже принадлежит этой теории (истинно), причем, если первое до­казано, второе уже не требует специального доказательства.

Так, предложение «Если многоугольник правильный, то около него можно описать окружность» — геометрическая теорема. Поэто­му и контрапозитивное предложение «Если около многоугольника нельзя описать окружность, то многоугольник неправильный» тоже геометрическая теорема, причем она уже не нуждается в дока­зательстве, если первое доказано.

Если предложение «Если Р, то Q» — теорема некоторой теории, то обратное предложение «Если Q, то Р» может и не быть теоремой этой теории. Это хорошо известно из школьной математики, где встре­чаются примеры, когда предложение, обратное некоторой теореме, также является теоремой (обратной теоремой), и много примеров, когда обратное предложение не является теоремой. В приведенном выше примере обратное предложение «Если около многоугольника можно описать окружность, то этот многоугольник правильный» не является теоремой (это легко установить с помощью контрприме­ра, т. е. неправильного многоугольника, например равнобедренной трапеции или прямоугольника).

2.6. В обучении математике часто приходится формулировать отрицания предложений сложной логической структуры. Обычно это Делается интуитивно, без явного применения каких-либо логических правил и при этом часто допускаются ошибки.

Правила построения и преобразования отрицаний предложений сложной логической структуры (сведение отрицаний к элементарным формулам) основаны на нескольких легко разъясняемых учащимся равносильностях, выражающих известные и широко применяемые за­коны логики:

(1) «Неверно, что не А» равносильно «А»

(закон двойного отрицания позволяет заменить предложение «Неверно, что не А» предложением «А»).

(2) «Неверно, что А и В» равносильно «Не А или не В»

(3) «Неверно, что А или В» равносильно «Не Л и не В»

(законы де Моргана позволяют заменить предложение «Неверно, что А и В» предложением «Не А или не В» и предложение «Неверно, что А или В» предложением «Не А и не В»).

(4) «Неверно, что если А, то В» равносильно «А и не В»

(закон отрицания импликации позволяет заменить предложение «Не­верно, что если А, то В» предложением «А и не В»).

(5)«Неверно, что для всякого х (имеет место) А» равносильно «Существует ли такое, что не (имеет место) А»

(6) «Неверно, что существует х такое, что (имеет место) А» равно­сильно «Для всякого х не (имеет место) А»

(законы (5) и (6) дают следующее правило преобразования предложе­ний, начинающихся с кванторов: квантор общности заменяется кван­тором существования, квантор существования — квантором общ­ности, а знак отрицания переносится на выражение, стоящее за кван­тором).

Перечисленные законы (1)—(6) и основанные на них правила преобразования предложений достаточно просты, и их легко разъяс­нить учащимся на конкретных примерах.

Покажем несколько примеров применения этих правил: 1) Обратимся еще раз к определению прямой, перпендикулярной к плоскости:

Возьмем теперь отрицания левой и правой частей определения, получим, что прямая не перпендикулярна плоскости: