§ 2. Роль задач в процессе обучения математике

Каждая конкретная учебная математическая задача предназна­чается для достижения чаще всего не одной, а нескольких педагоги­ческих, дидактических, учебных целей. И эти цели характеризуются как содержанием задачи, так и назначением, которое придает задаче учитель. Дидактические цели, которые ставит перед той или иной задачей учитель, определяют роль задач в обучении математике. В зависимости от содержания задачи и дидактических целей ее при­менения из всех ролей, которые отводятся конкретной задаче, можно выделить ее ведущую роль.

2.1. Обучающая роль математических задач. Обучающую роль ма­тематические задачи выполняют при формировании у учащихся си­стемы знаний, умений и навыков по математике и ее конкретным дис­циплинам. Следует выделить несколько видов задач по их обучающей роли.

1) Задачи для усвоения математических понятий. Известно, что формирование математических понятий хорошо проходит при усло­вии тщательной и кропотливой работы над понятиями, их определе­ниями и свойствами. Чтобы овладеть понятием, недостаточно выучить его определение, необходимо разобраться в смысле каждого слова в определении, четко знать свойства изучаемого понятия. Такое зна­ние достигается прежде всего при решении задач и выполнении упраж­нений. Так, для усвоения понятий логарифма большую пользу при­несут упражнения в переходе от записей с показательными функция­ми и их значениями к записям в логарифмической форме, и наоборот, в решении простейших логарифмических уравнений, содержащих переменное как под знаком логарифма, так и в его основании, в фор­мировании определения логарифма для конкретного заданного числа при конкретном же заданном основании, в применении тождества

Весьма полезны и такие задачи:

1. Является ли корректным определение: «Показатель степени, удовлетворяющий равенствуназывается логарифмом числа b по основанию а»? Поясните свой ответ.

2. Проанализируйте следующую формулировку: «Логарифмом данного числа по данному основанию является показатель степени». Как уточнить эту формулировку, чтобы она явилась определением логарифма?

2) Задачи для овладения математической символикой. Одной из целей обучения математике является овладение математическим язы­ком и, следовательно, математической символикой. Простейшая сим­волика вводится еще в начальной школе и в IV—V классах (знаки действий, равенства и неравенства, скобки, знаки угла и его величины, параллельности и т. д.). Правильному употреблению изучаемых сим­волов надо обучать, раскрывая при решении задач их роль и назначение. Приведенные далее задачи способствуют пониманию роли скобок и учат их верному употреблению.

3. Прочитайте записанные выражения, вычислите их значения, укажите роль скобок. В каких из выражений скобки не изменяют по­рядка действий:

4. Вычислите, поясните порядок действий и роль скобок:

Существенное значение в овладении изучаемой символикой имеет правильное ее применение при записи решений задач. Учитель дол­жен внимательно следить за грамотным применением математических символов в записях. Нельзя признать правильными такие, например, записи: «р < 2 на 3», «Докажем-ность прямых а и Ь» и др. Следо­вало бы записать в первом случае: «р меньше, чем 2, на 3» или «2 — р —- 3», или «р + 3 = 2», или «2 — 3 = р», а во втором: «До­кажем, что

3) Задачи для обучения доказательствам. Обучение доказатель­ствам — одна из важнейших целей обучения математике.

Простейшими задачами, с решения которых практически начи­нается обучение доказательствам, являются задачи-вопросы и эле­ментарные задачи на исследование. Решение таких задач заключается в отыскании ответа на вопрос и доказательстве его истинности.

Задачи-вопросы обычно требуют для своего решения (доказатель­ства истинности ответа) установления одной импликации, единого логического шага от данных к доказываемому. Доказательстве же при решении более сложной задачи или доказательство теоремы пред­ставляет собой цепочку шагов-импликаций.

Целью решения задач- вопросов является и осознание, уточнение и конкретизация изучаемых понятий и связей между ними. Задачи-вопросы необходимы также для усвоения учащимися вводимой сим­волики и используемого языка. Примеры задач-вопросов:

5. х > у. Обязательно ли

6. Могут ли две биссектрисы треугольника быть перпендикуляр­ными? А две высоты?

Существенную роль в обучении доказательствам играют упраж­нения в заполнении пропущенных слов, символов и их сочетаний в тексте готового доказательства. Аналогичные упражнения довольно часто применяются при изучении русского языка, на уроках же ма­тематики они встречаются редко, в учебниках и задачниках их нет вовсе. Начинать надо с достаточно простых задач. На­пример:

7. Докажите, что длина гипотенузы прямоуголь­ного треугольника больше длины его катета.

Рассмотрим прямоугольный у которого АС и ... —его катеты, ... — гипотенуза (рис. 26). Точка С является ... точки В на ...,так как ВС ... С А. По теореме о перпендикуляре и ... ВС ... ... АВ.

Аналогично, точка... является ... точкиА на пря­мую ВС, так как.......Поэтому......(на ос­новании теоремы ...). Задачи на доказательство должны предлагаться при изучении всех математических дисциплин и практически могут решаться во всех ее разделах.

В курсе математики IV—V классов доказательства практически не проводятся, но могут быть предложены простейшие задачи-вопросы, а для отдельных учащихся и задачи на доказательство. Примеры:

8. ПустьВерно ли, что

9. Исходя из правил умножения рациональных чисел и выпол­нимости переместительного закона умножения для положительных чисел, докажите, что переместительный закон умножения верен для произведения любых двух рациональных чисел.

В курсе алгебры VI—VIII классов часто применяются задачи на доказательство тождеств и неравенств, на доказательство некоторых свойств функций и т. д. Примеры:

Ю. Докажите, что если истинно равенство

то является истинным и равенство Сформулируйте и

докажите обратное предложение.

В курсе геометрии VI—VIII классов практикуются задачи на до­казательство по готовым чертежам, которые тоже служат обучению доказательствам. Например:

11.1) Да но: Доказать: AD = DC (рис. 27).

2) Д а н о: AD = DC. Доказать: АВ = ВС.

Предлагаются задачи на доказательство геометрических тождеств и неравенств и, конечно, задачи на доказательство — внепрограмм­ные теоремы. Немало задач на доказательство решают учащиеся

при изучении стереометрии.

В курсе математики IX—X классов за­дачи на доказательство следовало бы решать при изучении всех его разделов. Примеры:

12. Докажите, что среди рациональных чисел не существует такого, квадрат кото­рого равен: 1) 3; 2) 5; 3) 6; 4) 7; 5) 101.

13.Докажите, что и являются первообразными функции f(х)=sin 2х и что Ф (х)= F (х)+ + 1.

4) Задачи для формирования математических умений и навыков (см. далее, § 3.4).

5) Обучающую роль играют и задачи, предваряющие изучение новых математических фактов, концентрирующие внимание учащихся на вновь изучаемых идеях, понятиях и методах математики, задачи, с помощью которых вводятся новые понятия и методы, задачи, создаю­щие проблемную ситуацию с целью приобретения учащимися новых знаний. Здесь же следует рассмотреть и задачи, с помощью которых подготавливается сложное для учащихся доказательство теоремы.

Созданию проблемной ситуации для введения и изучения способов решения квадратных уравнений послужит задача, приводящая к та­кому уравнению. Например:

14. Теплоход прошел по течению реки 48 км и вернулся обратно, затратив на весь путь 5 ч. Скорость течения реки 4 км/ч. Вычислите собственную скорость теплохода.

Если обозначить собственную скорость теплохода v км/ч, то для решения задачи можно составить уравнение которое сводится к квадратному уравнению

Так возникает проблема изучения способов решения квадратных уравнений.

К изучению показательной функции можно подойти при решении следующей задачи:

15. Вычислите стоимость оборудования по истечении 4-летней эксплуатации, если первоначальная стоимость 10 000 р., а ежегодное уменьшение стоимости (амортизация) составляет 5%.

Решение задачи приводит к формуле

(1)

и при заданном значении

Формула (1) задает показательную функцию. Решение задачи служит хорошей мотивировкой к детальному изучению показательной функции.

Полезно вспомнить, что решение конкретных задач (например, о мгновенной скорости, о касательной, о плотности стержня) при­водит к понятию производной, а задачи о площади криволинейной трапеции, о работе переменной силы, действующей вдоль прямой, — к понятию интеграла.

Для подготовки к изучению более или менее сложных теорем, играющих серьезную роль в курсе математики, могут быть предло­жены задачи, приводящие к формулировке теоремы, задачи на дока­зательство одного из промежуточных фактов в доказательстве теоре­мы и т. д. Так, перед доказательством теоремы Фалеса иногда полезно решить задачу:

16. Д а н о: АВ = ВС, Доказать:

(рис. 28).

Решение этой задачи облегчит семиклассникам доказательство Довольно сложной для них теоремы Фалеса.

2.2. Развитие мышления учащих­ся при решении математических задач.

1). Мыслительные умения, вос­приятие и память при решении задач. Решение математических задач требует применения многочисленных мыслительных умений: анали­зировать заданную ситуацию, сопо­ставлять данные и искомые, решае­мую задачу с решенными ранее, вы­являя скрытые свойства заданной ситуации; конструировать простейшие математические модели, осу­ществляя мысленный эксперимент; синтезировать, отбирая полезную для решения задачи информацию, систематизируя ее; кратко и чет­ко, в виде текста, символически, графически и т. д. оформлять свои мысли; объективно оценивать полученные при решении за­дачи результаты, обобщать или специализировать результаты ре­шения задачи, исследовать особые проявления заданной ситуации. Сказанное говорит о необходимости учитывать при обучении решению математических задач современные достижения психологической науки.

Исследованиями советских психологов установлено, что уже вос­приятие задачи различно у различных учащихся данного класса. Способный к математике ученик воспринимает и единичные элементы задачи, и комплексы ее взаимосвязанных элементов, и роль каждого элемента в комплексе. Средний ученик воспринимает лишь отдельные элементы задачи. Поэтому при обучении решению задач необходимо специально анализировать с учащимися связь и отношения элементов задачи. Так облегчится выбор приемов переработки условия задачи. При решении задач часто приходится обращаться к памяти. Инди­видуальная память способного к математике ученика сохраняет не всю информацию, а преимущественно «обобщенные и свернутые структуры». Сохранение такой информации не загружает мозг избыточной информацией, а запоминаемую позволяет дольше хранить и легче использовать. Обучение обобщениям при решении задач раз­вивает, таким образом, не только мышление, но и память, формирует «обобщенные ассоциации». При непосредственном решении математи­ческих задач и обучении их решению необходимо все это учитывать. 2) Обучение мышлению. Эффективность математических задач и упражнений в значительной мере зависит от степени творческой активности учеников при их решении.

Собственно, одно из основных назначений задач и упражнений и заключается в том, чтобы активизировать мыслительную деятель­ность учеников на уроке.

Математические задачи должны прежде всего будить мысль уче­ников, заставлять ее работать, развиваться, совершенствоваться. Говоря об активизации мышления учеников, нельзя забывать, что при решении математических задач учащиеся не только выполняют

построения, преобразования и запоминают формулировки, но и обу­чаются четкому мышлению, умению рассуждать, сопоставлять и противопоставлять факты, находить в них общее и различное, делать правильные умозаключения.

Правильно организованное обучение решению задач приучает к полноценной аргументации со ссылкой в соответствующих случаях на аксиомы, введенные определения и ранее доказанные теоремы. С целью приучения к достаточно полной и точной аргументации по­лезно время от времени предлагать учащимся записывать решение задач в два столбца: слева — утверждения, выкладки, вычисления, справа — аргументы, т. е. предложения, подтверждающие правиль­ность высказанных утверждений, выполняемых выкладок и вычис­лений.

Пример 1. Решите уравнение

Пример 2. Докажите, что в равно­бедренной трапеции углы при основании равны.

Дано: и АВ =CD. Доказать:

Разумеется, нет необходимости так записывать решение каждой задачи, допустима и устная аргументация.

Взрослому человеку как в повседневной жизни, так и в профес­сиональном труде для принятия правильных решений исключительно важно уметь рассматривать все возможные случаи создавшейся ситуации. Это надо разъяснять и школьникам. Важно такое умение и при изучении математики, в противном случае неизбежны ошибки. Умение же предусмотреть все возможные варианты некоторой ситуа­ции свидетельствует о развитости мышления рассматривающего эту ситуацию.

Пример 3. Постройте квадрат: а) по двум данным вершинам; б) по серединам двух противоположных сторон; в) по серединам двух прилежащих сторон; г) по центру и точке на одной из сторон.

При решении этих задач ученики обязаны проводить рассужде­ния, рассматривая различные варианты расположения заданных точек. Так, построение квадрата по двум его вершинам зависит от того, смежные или противоположные это вершины. По заданным же центру и точке на одной из сторон квадрата (если это не вершина квадрата) построить конкретный квадрат можно бесконечно многими способами. Решая такие задачи, ученики и учатся рассматри­вать все возможные варианты заданной в задаче ситуации, т. е. приучаются к «полноте дизъюнкции».

При решении задач нередко приходится классифицировать те или иные объекты. Неполная классификация часто приводит к тому, что при решении задачи какой-либо вариант заданной ситуации оста­ется за пределами внимания решающего задачу. Избежать неполной классификации помогают задачи в отыскании таких ошибок.

Пример 4. Укажите ошибку в следующем «доказательстве» и устраните ее. Если— иррациональное число.

Пусть— несократимая дробь (в противном случае ее можно сократить и получить несократимую дробь), значит,

И пусть Тогда что невозможно, так как левая часть равенства есть натуральное число, а правая — несократимая дробь (как квадрат несократимой дроби). Значит,—

число иррациональное.

Ошибка в данном случае — следствие неполноты классификации и дизъюнкции: не рассмотрен вариантУже при п = 4 имеем Доказано фактически предложение

«Если— иррациональное число».

Умение рассуждать включает в себя и умение оценивать истин­ность или ложность высказываний, правильно составлять сложные высказывания и суждения, т. е. логически правильно употреблять союзы «и», «или», отрицание «не». Обучение вер­ному применению этих связок помогает воспитанию у учащихся мате­матически грамотной речи, а мышление, как известно, связано с язы­ком, речью человека.

Пример 5. Верны или неверны следующие формулировки:

1) Число 4 удовлетворяет неравенству х < 8 и неравенству х > 2,5. 2) Не все простые числа нечетные. 3) Число 0,5 удовлетво­ряет неравенству: а) х < 0,5; б) х < 0,5; в) л;>0,5; г) х >0,5?

Полезно научить школьников верно формулировать отрицания тех или иных предложений. Такое умение особенно важно при ре­шении задач сведением к противоречию.

Существенно для развития математического мышления учащихся формирование умений правильно выделять посылки и заключения. Такие умения формируются обычно при решении задач на доказатель­ство. На первых же порах необходимы упражнения в расчленении некоторых предложений на посылки и заключения.

Пример 6. Выделите в следующих предложениях условие и заключение: 1) «Сумма двух четных чисел — четное число»; 2) «Вер­тикальные углы равны»; 3) «Произведение любых трех последователь­ных натуральных чисел делится на 6»; 4) «Расстояние между центра­ми двух касающихся окружностей равно сумме длин радиусов этих окружностей».

Отсюда прямой путь к верному построению импликаций и эквиваленций, т. е. к правильным, четким формулировкам математических предложений.

3) Задачи, активизирующие мыслительную деятельность уча­щихся. Эффективность учебной деятельности по развитию мышления во многом зависит от степени творческой активности учащихся при решении математических задач. Следовательно, необходимы матема­тические задачи и упражнения, которые бы активизировали мысли­тельную деятельность школьников. А. Ф. Эсаулов [26] подразделяет задачи на следующие виды: задачи, рассчитанные на воспроизведение (при их решении опираются на память и внимание); задачи, ре­шение которых приводит к новой, неизвестной до этого мысли, идее; творческие задачи. Активизирует и развивает мышление учащихся решение задач двух последних видов. Рассмотрим некоторые из них.

а) Задачи и упражнения, включающие эле­менты исследования. Простейшие исследования при ре­шении задач следует предлагать уже с первых уроков алгебры и гео­метрии и даже на уроках математики в IV—V классах. Например:

1. Существуют ли числа, обратные самим себе? Сколько таких чисел? Назовите их.

2.При каких значениях а и b верны: а) равенства б) неравенства

3. Установите вид треугольника (классифицируя по углам), если один из его внутренних углов: 1) равен сумме двух других; 2) боль­ше ее; 3) меньше ее.

В последующих классах следует предлагать не только задачи с элементами исследований, но и задачи, включающие исследование в качестве обязательной составной части. Такие исследования необ­ходимо включаются в решение многих геометрических задач на по­строение (как в планиметрии, так и в стереометрии), уравнений и неравенств (особенно тригонометрических, показательных и логариф­мических с параметрами) и др. Задачи и упражнения с выполнением некоторых исследований могут найти свое место во всех разделах школьного курса математики, например при изучении действительных чисел в IX классе.

4. Все десятичные приближения по недостатку к действительному числуначиная с некоторого, совпадают. Рациональным или ирра­циональным является число

И конечно же, исследования находят широкое применение при изучении функций и их свойств в курсе алгебры и начал анализа.

б) Задачи на доказательство (см. 3).) доказывают существенное влияние на развитие мышления учащихся. Именно при выполнении доказательств оттачивается логическое мышление уче­ников, разрабатываются логические схемы решения задач, возникает потребность учащихся в обосновании математических фактов.

в) Задачи и упражнения в отыскании оши­бок также играют значительную роль в развитии математического мышления учащихся. Такие задачи приучают обращать внимание на особо тонкие места в логических рассуждениях, помогают различать во многом сходные понятия, приучают к точности суждений и матема­тической строгости и т. д. Первые упражнения в отысканий ошибок должны быть несложными, например:

5. Ученик выполнил сокращение дроби так: перечеркнул в числителеа в знаменателе _у, написав надбукву у затем перечеркнул — 4 и 2, записав над — 4 число — 2.

Правильно ли выполнено сокра­щение? Объясните.

Задачи в отыскании ошибок сле­дует постепенно усложнять. К чис­лу таких задач относится и отыс­кание ошибок, допущенных в изве­стных математических софизмах. Разбор софизмов прививает навы­ки правильного мышления. Обна­ружить ошибку в софизме —зна­чит осознать ее, а осознание ошиб­ки предупреждает от ее повторения в других рассуждениях. Разбор софизмов развивает наблюдательность, вдумчивое и критическое отношение к изучаемому, воспитывает у учащихся критичность мышления. Математические софизмы приучают тщательно следить за точностью формулировок, правильностью за­писей и чертежей при решении задач, за допустимостью обобщений и т. д. К тому же разбор софизмов увлекателен. Примеры софизмов:

6.Имеем верное числовое равенство 16 — 36 = 25 — 45, отсюда

или

. В чем заключается ошибка?

7. На сторонах АВ и ВС треугольника ABC как на диаметрах по­строим полуокружности (рис. 30), пересекающиеся со стороной АС в точках Е и D., т. е.

Через точку В проходят два перпендикуляра к прямой АС.

В чем заключается ошибка?

Другие софизмы можно найти в литературе для учащихся, на­пример в [15].

г) Занимательные задачи. Интерес к математике должен быть следствием прежде всего увлекательности самой мате­матики, ее логического построения, практических применений. Но на уроках математики нужны хотя и несложные, но занимательные, требующие смекалки и сообразительности задачи и упражнения, ко­торые оживили бы уроки. Особенно полезны занимательные задачи на уроках математики в восьмилетней школе.

8. Как с помощью одного знака неравенства записать, что число а больше —2, но меньше 2?

9. Даны точки А и В. Как с помощью циркуля и линейки прове­сти через эти точки прямую, если линейка короче расстояния между ними?

Много занимательных задач в уже указанной книге Ф. Ф. Наги­бина и Е. С. Канина [15], в книге Б. А. Кордемского [12].

д) Отыскание различных вариантов реше­ния и выбор лучшего из них.

Психологи установили, что решение одной задачи несколькими способами приносит больше пользы, чем решение подряд нескольких стереотипных задач. Рассмотрение учеником различных вариантов решения, умение выбрать из них наи­более рациональные, простые, изящ­ные свидетельствуют об умении уче­ника мыслить, рассуждать, проводить правильные умозаключения. Различ­ные варианты решения одной задачи дают возможность ученику применять весь арсенал его математических зна­ний. Таким образом, рассмотрение различных вариантов решения зада­чи воспитывает у учащихся гибкость мышления. Поиск рационального ва­рианта решения лишь на первых порах требует дополнительных за­трат времени на решение задачи. В дальнейшем эти затраты с лих­вой окупаются.

10. Задачу, рассмотренную в примере 2 (с. 155), можно решать различными способами. Так, можно доказать, что диагонали равно­бедренной трапеции равны, а затем рассматривать(по трем сторонам) (рис. 31). Можно опустить на AD перпендикуляры BF и СЕ, доказать, что BF = СЕ иНо приведенное в примере 2 решение более просто, рационально.

11. При решении системы уравнений

можно привести уравнения к общему знаменателю, а затем решать систему уравнений второго порядка, т. е. следовать общему алгорит­му решения таких систем. Однако наблюдательный ученик заметит, что при вычитании первого уравнения из второгоисключаются, а из полученного уравнения легко (практически устно) нахо­дится значение v. Ясно, что второй способ изящней и короче первого.

Надо отметить, что рациональные приемы решения не появляются сами, по одному только желанию. Рациональным способам решений надо обучать. Один из путей обучения и есть решение задач несколь­кими способами, выбор лучшего из них.

Вообще же полезно хотя бы знакомить учащихся с различными подходами к решению наиболее распространенных задач. Приведем пример.

Один из заключительных уроков геометрии в VIII классе учитель начал с простейшей задачи: разделить данный отрезок пополам. К огорчению учителя и учеников, обнаружилось, что полный набор чертежных инструментов имеют только 6 человек, а у некоторых учеников вообще не оказалось никакого инструмента. Тогда учитель предложил каждому решить задачу, применяя тот инструмент, кото­рый у него имеется, а тем, у кого не было инструмента, использовать

прямой угол из плотной бумаги (тетрадный лист сложили по осям симметрии в 4 слоя) или его половину — угол в 45°.

В результате на уроке были рассмотрены 8 вариантов решения с помощью: а) циркуля и линейки; б) прямого угла; в) двусторонней линейки; г) чертежных угольников; д) угла величиной 45°; е) угла в 30°; ж) острого угла и односторонней линейки; з) транспортира и односторонней линейки. Польза такого обсуждения задачи несомненна, е) Составление задач учащимися. Сознательное изучение математики и развитие мышления учащихся стимулируется самостоятельным составлением (конструированием) математических задач. При этом, во-первых, воспитывается самостоятельность (школь­ники оперируют изученными и изучаемыми объектами и фактами ма­тематики, т. е. рассматривают и оценивают свойства, различия и ха­рактерные особенности этих объектов); во-вторых, развивается твор­ческая мыслительная активность учеников.

Конструирование задач учениками заставляет их использовать больший объем информации, применять рассуждения, обратные при­меняемым при обычном решении задач. Следовательно, при состав­лении задачи ученик применяет логические средства, отличные от тех, с помощью которых решаются обычные задачи, открывает новые связи между математическими объектами. Это развивает их мышле­ние. При изучении первых понятий алгебры (например, действий с рациональными числами) следует предлагать учащимся составлять вычислительные упражнения, в которых бы для упрощения вычисле­ний применялись законы действий, особенно дистрибутивный. Уча­щиеся должны свободно оперировать законами действий.

Очень полезны упражнения в составлении уравнений по задан­ным их корням, систем уравнений по данным решениям, задач по за­данным уравнениям или их системам.

Составление задач по заданным уравнениям полезно хотя бы потому, что задачи эти бывают разнообразны по фабуле, а это убеж­дает в общности математических методов.

Следует предостеречь учителя от чрезмерного увлечения конструи­рованием задач. Нет необходимости доводить конструирование задач до навыка, поэтому не нужно предлагать ученикам трафареты для составления математических объектов и задач. Всякий трафарет, шаб­лон в конструировании губит главное, ради чего эти упражнения вводятся: творческую мысль ученика.

2.3. Воспитательная роль математических задач. Процесс обуче­ния теснейшим образом связан с воспитанием учащихся. В советской школе обучение не мыслится в отрыве от воспитания. Обучая решению математических задач, учитель математики в то же время воспитыва­ет учащихся, формирует у них качества, присущие советскому об­щественному строю.

Но воспитательное воздействие на учащихся оказывают и сами математические задачи. В п. 1.4 говорилось о воспитательном воздей­ствии фабулы, сюжета задачи. Воспитанию советского патриотизма существенно помогает решение задач, составлен­ных по материалам наших пятилетних планов, сводок и сообщений ЦСУ СССР о выполнении планов развития народного хозяйства. Та­кие задачи может составлять и учитель математики.

Возбуждению и развитию интереса к изучению математики спо­собствует решение задач, предваряющих изучение новых математиче­ских сведений, создающих проблемную ситуацию (см. 2.1). Но ин­терес к математике поддерживается и с помощью решения увлекатель­ных и занимательных задач, старинных задач и т. д., так что и в про­явлении интереса учащихся к математике, в воспитании увлеченных математикой учеников не последнюю роль играют математические

задачи.

Правильно организованное решение задач воспитывает у уча­щихся трудолюбие, особенно при самостоятельном решении задач. При решении задач формируются некоторые навыки умственного труда учащихся: усидчивость, внимательность, сосредоточенность. Решение трудных задач требует от учащихся проявления настойчивости в преодолении трудностей, упорства в достижении целей. При этом воспитывается и развивается чувство долга и ответственности учащегося за приобретение математических знаний, умений и навыков. Решения задач учащиеся записывают в тетради, учитель показы­вает различные формы записей решения, воспитывая тем самым у ' учащихся аккуратность. Поиск рационального пути решения при­учает к аккуратности и лаконичности записей в тетрадях по матема­тике. Этому способствует и по возможности точное выполнение чер­тежей с помощью различных чертежных инструментов.

Решение математических задач у учащихся воспитывает особый математический стиль мышления. По А. Я- Хинчину [24], такой стиль характеризуется соблюдением формально-логической схемы рассуж­дений (построение импликаций при доказательстве с использованием правил вывода, соблюдение схемы «анализ—построение — доказа­тельство — исследование» при решении геометрических задач на по­строение и т. д.), лаконичным выражением мыслей как в словах, так и в записях (чему в немалой степени способствует применение мате­матической символики), четким расчленением хода мышления (уже начиная с решения арифметических задач «по действиям»), точностью применяемой символики. Такой стиль мышления также приучает к аккуратности.

Большую роль играют математические задачи в осуществлении политехнического воспитания. С помощью задач, решаемых на уро­ках математики, учащиеся знакомятся с ролью математики в других науках. Но нельзя забывать и значение других наук для математики. Задачи других наук, приводящие к новым математическим понятиям, приемам и методам решения, тоже имеют немаловажное значение для политехнического воспитания уча­щихся.

Политехническому воспитанию способствуют практические задачи, например, такие:

1. Арка моста имеет форму дуги параболы (рис. 32). Высота арки 2 м, а длина стягивающей ее хорды 24 м. Арка имеет 5 вертикальных стоек, укрепленных в точках хорды и делящих эту хорду на части равной длины. Вычислите длины стоек.

2. На прямолинейной железной дороге надо построить платформу для остановки поездов так, чтобы сумма расстояний от платформы до двух населенных пунктов А и В была наименьшей. Решите задачу с помощью циркуля и линейки.

Математические задачи имеют значение и в воспитании диалектико-материалистического мировоззрения учащихся. Ф. Энгельс в «Анти-Дюринге» писал: «...математика переменных величин, самый значительный отдел, который составляет исчисление бесконеч­но малых, есть по своей сущности не что иное, как применение диа­лектики к математическим отношениям». Таким образом, в воспита­нии диалектико-материалистического мировоззрения учащихся поло­жительную роль играют некоторые задачи начал анализа, приложе­ний начал анализа в геометрии, физике, астрономии. Задачи о радио­активном распаде вещества, о росте населения страны приводят к диф­ференциальному уравнению показательного роста или убывания у'= ky. Это уравнение, являющееся математической моделью явле­ния, схематизирует его. Поэтому модель дает правильные результа­ты лишь в некоторых пределах, в частности при решении задачи о ро­сте населения лишь при большой численности населения и не слишком малых промежутках времени. За этими пределами, пишет в [81 А. Н. Колмогоров, «...математическая модель теряет реальный смысл и при ее бездумном применении приводит к ошибочным или бессмыс­ленным результатам». В [8] рассматривается и более простой при­мер о движении подброшенного вверх мяча. В вопросах взаимоот­ношений «теории и действительности, математической модели и реаль­ного мира, — пишет А. Н. Колмогоров, — проявляется глубокая диалектическая взаимосвязь теории и практики». Учитель должен подчеркивать, что математические модели решаемых задач, модели действительности дают нам возможность получать вполне реаль­ное знание о самой действительности, если действовать в пределах применимости модели.