§ 8. Методы проблемного обучения

8.1. Под проблемным обучением обычно понимают обучение, про­текающее в виде снятия (разрешения) последовательно создаваемых в учебных целях проблемных ситуаций.

Что же такое проблемная ситуация?

С психологической точки зрения проблемная ситуация представ­ляет собой более или менее явно осознанное затруднение, порождае­мое несоответствием, несогласованностью между имеющимися знания­ми и теми, которые необходимы для решения возникшей или предло­женной задачи.

Задача, создающая проблемную ситуацию, и называется проблем­ной задачей, или просто проблемой.

Сказанное относится и к науке, и к обучению, названному проб­лемным и имитирующему в какой-то мере процесс развития научных знаний путем разрешения проблемных ситуаций. Нередко задача, кото­рая является проблемной при изучении школьного курса математи­ки (учебной проблемой), когда-то возникала как научная проблема-

В качестве психологической основы проблемного обучения обычно называют сформулированный С. Л. Рубинштейном тезис: «Мышле­ние начинается с проблемной ситуации».

Осознание характера затруднения, недостаточности имеющихся знаний раскрывает пути его преодоления, состоящие в поиске новых знаний, новых способов действий, а поиск — компонент процесса творческого мышления. Без такого осознания не возникает потреб­ности в поиске, а следовательно, нет и творческого мышления.

Таким образом, не всякое затруднение вызывает проблемную си­туацию. Оно должно порождаться недостаточностью имеющихся знаний, и эта недостаточность должна быть осознана учащимися.

Однако и не всякая проблемная ситуация порождает процесс мышления. Он не возникает, в частности, когда поиск путей разрешения проблемной ситуации непосилен для учащихся на данном эта­пе обучения в связи с их неподготовленностью к необходимой деятель­ности.

Это чрезвычайно важно учесть, чтобы не включать в учебный процесс непосильных задач, способствующих не развитию самостоя­тельного мышления, а отвращению от него и ослаблению веры в свои силы.

Какую же задачу можно считать проблемной для учащихся опре­деленного класса, каковы признаки проблемы?

Признаками проблемы являются:

1) порождение проблемной ситуации (в науке или в процессе обучения),

2) определенная готовность и определенный интерес решающего к поиску решения и

3) возможность неоднозначного пути решения, обусловливающая наличие различных направлений поиска.

Совершенно очевидно, что эти признаки носят прагматический характер, т. е. они отражают отношение между задачей и теми, кому она предложена. Не имеет смысла ставить вопрос, например: «Яв­ляется ли задача «Решить уравнениепроблемной?»— безотносительно к тому, кому она предложена. Вопрос неопределен­ный, так как на него нельзя однозначно ответить. Если эта задача предложена учащимся до того, как они изучили теорию квадратных уравнений и знают формулу корней, она для них несомненно пробле­ма, создает у них проблемную ситуацию, так как имеющиеся у них знания недостаточны для ее решения. Если же эта задача предложе­на учащимся, уже владеющим соответствующим алгоритмом, то, ес­тественно, для них она не является проблемой.

В связи с проблемным обучением употребляют обычно два термина: «проблема» и «проблемная задача». Иногда они понимаются как си­нонимы, чаще же объекты, обозначаемые этими терминами, отличают по объему. Проблема распадается на последовательность (или раз­ветвленную совокупность) проблемных задач. Таким образом, проб­лемную задачу можно рассматривать как простейший, частный слу­чай проблемы, состоящей из одной задачи.

Например, можно поставить проблему изучения трапеции. Одна из проблемных задач, входящих в эту учебную проблему, состоит в открытии (а точнее, переоткрытии) свойства средней линии трапе­ции. Можно поставить проблему изучения некоторой новой функции. Одна из проблемных задач, входящих в состав этой проблемы, со­стоит в определении промежутков возрастания, убывания этой функ­ции. Другая задача — выяснение наличия экстремумов и т. д.

В осуществлении проблемного обучения естественно начинать с проблемных задач, подготавливая этим самым почву и для постанов­ки учебных проблем.

8.2. Проблемное обучение ориентировано на формирование и Развитие способности к творческой деятельности и потребности в ней, т. е. оно более интенсивно, чем непроблемное обучение, влияет На развитие творческого мышления учащихся. Но чтобы эта функция проблемного обучения наилучшим образом была реализована, недостаточно включить в процесс обучения случайную совокупность проблем.

Система проблем должна охватывать основные ти­пы проблем, свойственных данной области знаний, хотя может и не ограничиваться ими.

Какие же типы проблем свойственны математике и могут быть включены (разумеется, на соответствующем уровне) в проблемное обучение математике?

Исследования в математике охватывают большое разнообразие типов проблем. Одни проблемы возникают внутри математики и свя­заны с дальнейшим развитием или внутренним строением математи­ческих теорий, другие же возникают вне математики и связаны с ее приложениями в различных областях знаний. Часто именно предъ­являемые математике извне новые задачи обусловливают дальней­шее развитие математических теорий или создание новых теорий. Это обстоятельство является важнейшим при отборе основных типов проблем для обучения математике. Мы должны исходить из реальных ситуаций и задач, возникающих как в самой математике, так и вне математики, чтобы ими мотивировать необходимость дальнейшего развития математических знаний. В последнем случае подобные ис­следования часто начинаются с поиска математического языка для описания рассматриваемой ситуации, изучаемого объекта, построе­ния его математической модели. Построенная модель подлежит затем исследованию с помощью соответствующей теории (если она уже по­строена). Или для этой цели необходимо дальнейшее развитие теоре­тических знаний, построение теории изучаемого объекта. И наконец, построенная теория с помощью различных интерпретаций применяет­ся к новым объектам.

Таким образом, можно указать по .крайней мере три основных типа учебных проблем, приближающих, уподобляющих процесс обу­чения математике процессу исследования в математике.

Это, во-первых, проблема математизации, математического опи­сания, перевода на язык математики ситуаций и задач, возникаю­щих вне математики (в различных областях знаний, техники, произ­водства) или внутри математики (например, перевод геометрической ситуации на язык алгебры или обратно). В самом общем виде ее можно назвать проблемой построения математических моделей.

Второй основной тип проблем состоит в исследовании результата решения проблем первого типа, это проблема исследования раз­личных классов моделей. Результатом решения проблем этого типа является дальнейшее развитие системы теоретических знаний путем включения в нее новых «маленьких теорий».

Третий основной тип проблем связан с применением новых тео­ретических знаний, полученных в результате решения проблем вто­рого типа, в новых ситуациях, существенно отличающихся от тех, в которых приобретены эти знания. Результатом решения проблем этого типа является перенос математических знаний на изучение новых объектов.

Таким образом, три основных типа проблем выполняют различ­ные функции: решение проблем первого типа дает новые знания; решение проблем второго типа приводит эти знания в систему; реше­ние проблем третьего типа раскрывает новые возможности примене­ния этой системы знаний.

8.3. Несмотря на совершенно явные достоинства проблемного обучения перед непроблемным, ни на каком этапе школьное обучение не может строиться целиком как проблемное. Для этого потребовалось бы много времени, намного больше, чем возможно выделить на обу­чение математике. Более того, переоткрытие всего программного со­держания в процессе обучения привело бы к обеднению этого процес­са (например, в выработке навыков самостоятельной работы с книгой, усвоения лекций и др.).

Поэтому возникает педагогическая проблема отбора фрагментов школьного курса математики (отдельных разделов, тем, пунктов) для осуществления проблемного обучения. Этот отбор требует про­ведения логико-дидактического анализа учебного материала, выяс­нения возможности постановки основных или других типов проблем, их эффективности в достижении целей обучения. Во многом это за­висит и от конкретных условий работы в том или ином классе.

Изложение учебного материала в школьных учебниках редко при­способлено для проблемного обучения. Но учебные тексты могут быть легко переработаны для осуществления такого обучения.

К методам проблемного обучения относятся: исследовательский метод, эвристический метод и метод проблемного изложения.

8.4. Центральное место в проблемном обучении занимает исследо­вательский метод. Этот метод предполагает построение процесса обу­чения наподобие процесса научного исследования, осуществление основных этапов исследовательского процесса, разумеется, в упро­щенной, доступной учащимся форме: выявление неизвестных (неяс­ных) фактов, подлежащих исследованию (ядро проблемы); уточнение и формулировка проблемы; выдвижение гипотез; составление плана исследования; осуществление исследовательского плана, исследова­ние неизвестных фактов и их связей с другими, проверка выдвинутых гипотез; формулировка результата; оценка значимости полученного нового знания, возможностей его применения.

Важная особенность исследовательского метода состоит в том, что в процессе решения одних проблем постоянно возникают новые.

Исследовательский метод в обучении, однако, лишь в какой-то мере имитирует процесс научного исследования. Учебное исследова­ние отличается от научного некоторыми существенными особен­ностями.

Во-первых, как уже упомянулось выше, учебная проблема, т. е. то, что исследуется в процессе проблемного обучения, и та истина, которую учащиеся открывают, для науки не являются новыми. Но они новы для учащихся, а открывая для себя то, что в науке давно открыто, учащиеся на этом этапе своей учебной деятельности мыслят как первооткрыватели. Поэтому применение исследовательского мето­да в обучении относят к дидактике «переоткрытия» (учащиеся приводятся к самостоятельному «переоткрытию» того, что в науке уже давно открыто).

Во-вторых, стимулы учащихся к проведению исследования отлич­ны от стимулов, побуждающих ученого к исследованию. Учебное исследование ведется учащимися под руководством, с личным учас­тием и с помощью учителя. Эта помощь должна быть такой, чтобы учащиеся считали, что они самостоятельно достигли цели.

Д. Пойа различает внутренние и внешние подсказки. Первые таковы, что они как будто извлекают у учащихся их собствен­ные мысли, вторые (более грубые) подсказки оставляют учащимся лишь выполнение технической работы, снимая потребность поиска. Естественно, что руководство поиском учащихся требует хорошей методической подготовки, разработки для каждого планируемого учебного исследования соответствующей системы вопросов и указаний (подсказок), «подталкивающих» учащихся по направлению поиска.

В-третьих, как и всякий другой метод обучения, исследователь­ский метод не является универсальным методом обучения. В младших и средних классах школы в деятельность учащихся могут включаться лишь отдельные элементы исследований. Это является подготовкой для применения в старших классах исследовательского метода в более развитой и сложной форме. Но и на этом этапе обучения этот метод может применяться лишь для изучения отдельных тем, вопросов.

Для того чтобы знания учащихся были результатом их собствен­ных поисков, управляемых учителем, их самостоятельной познава­тельной деятельности, необходимо организовать эти поиски, разви­вать познавательную деятельность учащихся, что, несомненно, более сложно и требует методической подготовки более высокого уровня, чем объяснение изложенного в школьном учебнике материала и тре­бование его заучивания учащимися.

Для того чтобы учитель мог организовать процесс обучения школь­ников, подобно процессу исследования, создавать педагогические ситуации, стимулирующие их открытия, управлять творческим по­иском учащихся, он должен иметь некоторый собственный опыт ис­следовательской работы, хотя бы на уровне учебных исследований, иметь на своем собственном счету немало «открытий» (пусть и малень­ких открытий для себя). Выражаясь словами Д. Пойа, учитель дол­жен сам почувствовать «напряженность поиска и радость открытия», чтобы он мог вызвать их у своих учеников. Нельзя пренебречь в обу­чении этими эмоциональными факторами. Учащийся, испытавший радость открытия, смело идет на поиск решения новых задач. Он уже знает, что его ожидает, что напряженность поиска сменяется ра­достью открытия.

Нетрудно заметить в этом большое воспитательное и развивающее значение исследовательского метода.

1) Рассмотрим конкретный пример применения исследователь­ского метода в обучении математике, приближения процесса обучения к процессу исследования.

В качестве примера рассмотрим изучение свойств средней линии трапеции.

Учащиеся уже знакомы со свойствами средней линии треу­гольника. Представляется целе­сообразным привлечь эти знания для изучения средней линии тра­пеции. Но делать это можно по-разному. Опишем один из воз­можных вариантов построения процесса исследования, связан­ного с изучением свойств сред­ней линии трапеции. Этот процесс включает создание проблемной ситуации, стимулирующей открытие учащимися свойств средней ли­нии трапеции, поиск, открытие и построение доказательства этих свойств.

1. Вспоминаем свойства средней линии треугольника:

2. Пусть в трапеции ABCD М и N — середины непараллельных сторон, т. е. — средняя линия трапеции ABCD (рис. 46).

Можно поставить вопрос: «Как можно сформулировать определе­ние средней линии трапеции?»

Этот вопрос не вызовет затруднений у учащихся.

3. Естественно возникает проблема, какими свойствами обла­дает средняя линия трапеции. Для учащихся этот вопрос — пробле­ма, так же как он был проблемой для того, кто когда-то, очень давно, впервые открыл и доказал эти свойства.

Весьма вероятно, что многие учащиеся сразу же усмотрят из рисунка параллельность средней линии основаниям трапеции. Если же учащиеся затрудняются выдвинуть гипотезу, то их внимание надо обратить на свойства средней линии треугольника (специально изображенного рядом с трапецией на рис. 23).

После того как будет выдвинута гипотеза о параллельности сред­ней линии трапеции ее основаниям, можно выяснить, какое предло­жение достаточно доказать для подтверждения этой гипотезы. Если некоторые учащиеся укажут предложение

то можно задать им такой вопрос: «Необходимо ли доказывать парал­лельность средней линии обоим основаниям трапеции?»

Вероятно, некоторые учащиеся догадаются, что достаточно до­казать параллельность средней линии одному из оснований, т. е. Для подтверждения выдвинутой гипотезы достаточно доказать пред­ложение

Второе свойство средней линии трапеции не подсказывается ри­сунком. Можно обратить внимание учащихся на то, что мы выдвину­ли гипотезу о наличии у средней линии трапеции свойства, сходного с первым свойством средней линии треугольника. Естественно возникает вопрос, нет ли у средней линии тра­пеции свойства, аналогичного второму свой­ству средней линии треугольника, т.е. воп­рос о связи длины средней линии трапе­ции с длинами ее оснований.

Вряд ли эта связь будет угадана уча­щимися. Поэтому можно задать им воп­рос: «Нельзя ли образовать в трапеции какие-нибудь треугольники, чтобы свя­зать среднюю линию трапеции со сред­ней линией треугольника?»

Некоторые учащиеся предложат провести какую-нибудь из диаго­налей трапеции (на уроке, на котором применялся описанный метод, было и предложение провести через вершину В параллель к стороне CD, которое также рассматривалось).

Проведя, допустим, диагональ BD (рис. 24) и обозначив через Р ее точку пересечения со средней линиейнекоторые учащиеся будут утверждать, что— средняя линия треугольника ABD, а— средняя линия треугольника BCD, и сразу же «докажут» параллельность средней линии трапеции ее основаниям, обнаружат ее второе свойство: так как то

Возможно, некоторые учащиеся заметят существенный пробел в этих рассуждениях и скажут, что все это верно, если мы докажем, что Р — середина диагоналиЕсли же учащиеся этого не заметят, то можно поставить такие вопросы:

«На каком основании вы утверждаете, что— средняя линия треугольника ABD, а— средняя линия треугольника BCD?»

«Что называется средней линией треугольника?»

«Что же остается доказать, чтобы обосновать утверждение — средняя линия треугольника ABD и— средняя линия треугольника BCD».

С помощью таких вопросов выясняется, что для подтверждения высказанной гипотезы о свойствах средней линии трапеции достаточ­но доказать, что

Как видно, сформулированная вначале проблема нахождения свойства средней линии трапеции разбилась на ряд проблемных за­дач, одна из которых — доказать, что Р — середина диагонали Решение этой задачи обеспечивает решение остальных и всей проблемы.

Каков же дальнейший естественный ход мыслей? По-видимому, предположение о том, что Р не есть середина отрезка BD.

Мы имеем здесь наглядный пример, когда косвенное доказатель­ство (от противного) более естественно возникает в процессе исследо­вания, чем прямое доказательство, приведенное в учебнике,

Рассмотрим поиск косвенного доказательства.

«Что следует из предположения, что

Из этого предположения следует, что на отрезке BD существует точка отличная от и такая, что

т. е.— середина (рис. 25).

Из этого учащиеся получат ряд следствий: — средняя линия треугольника ABD, — средняя линия треугольника BCD, следовательно, и И так как то

Обращаем внимание учащихся на два полученных из нашего пред­положения следствия:

Некоторые учащиеся могут заметить, что через точку Рх прове­дены две различные прямыепараллельные одной прямой AD, что противоречит аксиоме параллельных.

Если же они этого не заметят, то можно поставить следующие вопросы: «Сколько прямых, параллельных AD, проведено через точку«Почему вы утверждаете, что прямыеразличны?».

Таким образом, наше предположение, что середина отрезка BD отлична от точки Р, приводит к противоречию (с аксиомой парал­лельных). Следовательно, это предположение ложно, а его отрица­ние истинно.

Теперь учащиеся сами сформулируют теорему, выражающую свой­ства средней линии трапеции, и построят ее доказательство, которое по существу уже открыто ими (с помощью учителя).

Целесообразно продолжить исследование, чтобы выяснить, не являются ли установленные свойства средней линии трапеции ха­рактеристическими для трапеции (выделяющими из множества выпук­лых четырехугольников подмножество трапеций). Можно попробовать выяснить это для каждого из двух свойств в отдельности.

Для первого свойства это очевидно: если отрезок, соединяющий середины двух противоположных непараллельных сторон четырех­угольника, параллелен двум другим его сторонам, то этот четырех­угольник — трапеция

Здесь возможны лишь затруднения в формулировке обращения пер­вого свойства. В таком случае целесообразно преобразовать формули­ровку первой части доказанной теоремы («Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям»), представив ее в виде импликации, ис­пользуя при этом определение средней линии: «Если четырехуголь­ник — трапеция, то отрезок, соединяющий середины двух непарал­лельных сторон, параллелен двум другим ее сторонам (основаниям)». В этом случае легче сформулировать обратное предложение: «Если в четырехугольнике отрезок, соединяющий середины двух непарал­лельных сторон, параллелен двум другим его сторонам, то этот четы­рехугольник — трапеция».

Истинность обращения второго свойства средней линии трапеции менее очевидна. Возникает проблема: если отрезок, соединяющий середины двух противоположных непараллельных сторон четырехугольника, равен полусумме двух других его сторон, будет ли этот четырехугольник трапецией?

Выдвигается гипотеза, что такой четырехугольник — трапеция, т. е. что предложение

(рис. 25) истинно (является теоремой). Как же это доказать?

Проведенное исследование свойств средней линии трапеции под­сказывает нам и путь доказательства этой обратной теоремы.

Вероятно, некоторые учащиеся догадаются провести диагональ рассмотреть_ и заметят, что если Р — середина диагонали, то получаем доказательство параллельности Таким образом, остается доказать, что а для этого опять можно допустить, чтои что существует на точкатакая, что Если же ученики не догадаются, то направить их поиск можно с помощью тех же вопро­сов, которые были поставлены при поиске доказательства первого предложения. Дальнейший же ход доказательства (приведение к про­тиворечию) уже существенно отличается от предыдущего.

В случае затруднений можно обратить внимание учащихся на то, что при доказательстве предложения, обратного первой части теоре­мы о свойствах средней линии трапеции, мы ссылались на первое свойство средней линии треугольника. Можно предполагать, что при доказательстве предложения, обратного второй части, надо исполь­зовать второе свойство средней линии треугольника. Используя это свойство, учащиеся получат:

Мы получили противоречие:

доказывающее теорему: «Если отрезок, соединяющий середины двух противоположных непараллельных сторон четырехугольника, равен полусумме двух других его сторон, то этот четырехугольник — тра­пеция».

Здесь, естественно, возникают вопросы: «Останется ли это предло­жение теоремой, если в его формулировке опустить слово «непарал­лельных»?», «Нельзя ли построить четырехугольник, который не является трапецией, хотя в нем отрезок, соединяющий середины Двух противоположных сторон, параллелен двум другим его сторонам?»

Учащиеся найдут контрпример (параллелограмм).

2) Иногда текст учебника подсказывает возможность применения исследовательского метода. Рассмотрим в качестве примера изучение вопроса о числе точек, определяющих окружность.

Учебный текст часто прямо начинается с постановки проблемы: «Вы знаете, что прямая определяется двумя точками. Сколько точек нужно задать, чтобы они определили окружность?»

Здесь важно правильно использовать учебный текст, чтобы пре­доставить как можно больше возможности для самостоятельной ис­следовательской деятельности учащихся. Вместо того чтобы сооб­щить учащимся результат, сформулированный в учебнике сразу же после постановки проблемы («Через одну точку можно провести бес­конечное множество окружностей»), очевидно, целесообразно наме­тить путь исследования поставленной проблемы: «Выясним, сколько окружностей можно провести через одну точку, через две, через три и т. д.».

Решая задачу определения числа окружностей, проходящих через

Iданную точку А, предлагаем учащимся построить одну такую окружность, вторую, третью. В результате учащиеся обнаружат, что можно построить сколько угодно таких окружностей и что их центры можно выбрать на плоскости произвольно.

Рассматривая задачу определения числа окружностей, проходя­щих через две данные точки А и В, можно предложить учащимся построить такую окружность, затем, если можно, еще одну, потом выяснить, где расположены центры этих окружностей, построить еще одну такую окружность и, наконец, выяснить, сколько получится таких окружностей и что представляет собой множество их центров.

Исследование проблемы для трех точек также можно организовать в виде самостоятельного поиска решения задачи учащимися. Важно, чтобы они сами открыли и необходимость рассмотрения двух случаев

Ценное качество исследователя состоит именно в том, чтобы всегда искать исчерпывающее решение проблемы, т. е. рассматривать в про­цессе исследования все возможные и дающие различные решения случаи. Для этого нужно постепенно формировать умение определять, какие частные случаи проблемы необходимо выделить в исследова­нии.

Поэтому, вместо того чтобы сообщить учащимся то, что написано в учебнике: «Здесь могут встретиться два случая: 1) данные три точки лежат на одной прямой и 2) данные три точки не лежат на одной пря­мой», необходимо вести учащихся к самостоятельному открытию этих Двух случаев.

Допустим, что учащиеся начали рассмотрение задачи для трех точек, не лежащих на одной прямой. Пусть исследуют этот случай До конца. При этом, очевидно, для управления поиском решения Учащимися целесообразно обратить их внимание на уже рассмотрен­ную задачу для двух точек. Через две точки А и В проходит бесконечное множествоокружностей, и их центры образуют серединный перпендикуляр к отрезку АВ. Через две точки В я С также проходит бесконечное множество окружностей, и их центры образуют серединный перпендикуляр к отрезку ВС. Естественно, возникают вопросы: имеют ли эти два множестваокружностей общие элементы? Каково пересечение Где должен лежать центр окружности, принадлежащейСуществует ли такая точка? Каким свойством она обладает? Сколько имеется таких точек? В том частном случае, который рассматривается учащимися они найдут единственную такую точку — пересечение двухсерединных перпендикуляров к отрезкам АВ и ВС. Здесь, по-видимому, возникнет у некоторых догадка, что не всегда такая точка существует. В противном случае нужно поставить перед учащимися этот вопрос. Если они не сразу найдут случай, когда такой точки нет, нужно предложить им рассмотреть другие тройки точек, отличаю­щиеся от рассмотренной своим расположением, пока не откроют слу­чай, когда три точки принадлежат одной прямой и два серединных перпендикуляра не имеют ни одной общей точки.

Таким образом, учащиеся получают ответ на исходную задачу: окружность определяется (однозначно) заданием трех точек, не ле­жащих на одной прямой. Этот ответ получен как результат проведен­ного ими под руководством учителя исследования.

Как видно из рассмотренного примера, важная задача, стоящая перед учителем при подготовке к каждому уроку, состоит в том, что­бы, исходя из текста учебника, определить, что необходимо сообщать учащимся, а что может стать результатом их собственного поиска и как управлять этим поиском, иными словами, стоит задача определе­ния адекватного метода обучения, обеспечивающего активную позна­вательную деятельность учащихся.

При подведении итога проведенного исследования у некоторых учащихся может возникнуть вопрос: сколько окружностей проходит через 4 точки? Эта задача может быть поставлена и учителем как естественное продолжение проведенного исследования.

Так как при решении задачи «трех точек» мы воспользовались ре­зультатом решения задачи «двух точек», учащиеся по аналогии по­пытаются (а если нет, учитель им подскажет) использовать при реше­нии задачи «четырех точек» результат решения задачи «трех точек». Поскольку при решении задачи «трех точек» возникла необходимость рассмотреть два случая, дающие различные результаты, некоторые учащиеся могут предложить рассмотреть и в новой задаче два случая: 1) четыре точки лежат на одной прямой и 2) четыре точки не лежат на одной прямой. Легко показать ошибочность этого предложения: случай 1) и случай, когда только три из четырех заданных точек ле­жат на одной прямой, а следовательно, четыре точки не лежат на одной прямой, т. е. случай 2), дают один и тот же результат — через такие четыре точки не проходит ни одна окружность, поэтому такие случаи неразличимы. Это опровержение и наводит на мысль о целесообразности рассмотрения двух случаев: а) какие-нибудь три из четырех заданных точек лежат на одной прямой и;

б) никакие три из заданных четырех точек не лежат на одной прямой.

При исследовании случая б), рассматривая произвольные четыре точки А В, С, D, никакие три из которых не лежат на одной прямой, проводя через каждые три из них по одной окружности, некоторые учащиеся приходят к ошибочному заключению, что через четыре точ­ки, никакие три из которых не лежат на одной прямой, не проходит ни одна окружность. Подобные ошибочные (поспешные) заключения нередко возникают в проблемных учебных ситуациях. Это ошибоч­ное заключение легко опровергнуть хотя бы решением задачи: «Мож­но ли провести окружность через четыре точки, которые являются вершинами прямоугольника?» Утвердительный ответ на этот воп­рос дает нам контрпример: существуют четыре точки, через которые проходит окружность.

Как же исправить приведенное выше заключение, чтобы оно было правильным?

С помощью учителя учащиеся приходят к новому заключению: не через всякие четыре точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой, проходит (можно провести) окружность.

Возникает новая проблема: при каких условиях через четыре точки можно провести окружность?

Рассмотрение конкретных четверок точек, через которые проходит окружность (вершины прямоугольника, квадрата, некоторой равно­бочной трапеции и др.), а также таких, через которые не проходит окружность, подводит учащихся к открытию необходимого и доста­точного условия прохождения окружности через четыре точки.

Как видно, в этом исследовании исходная проблема порождает новые, определенным образом связанные с нею проблемы и резуль­татом исследования является решение не одной, а многих связанных между собой проблемных задач. Задачи выступают в системе, опреде­ляемой общей идеей исследования.

Проблемное обучение, осуществляемое с помощью подобных си­стем задач, ориентированных на получение новых теоретических зна­ний, часто называют обучением через задачи.

3) Приведенные выше примеры построения процесса обучения, подобно исследованию, показывают, что такой подход наряду с не­сомненными достоинствами требует чрезмерно большого времени. Хотя это дополнительное время окупается эффективностью развития творческого мышления учащихся, когда этого времени нет, естествен­но ограничиться применением исследовательского метода к отдель­ным темам, наиболее подходящим для этой цели. При такой методике и в тех случаях, когда некоторые темы будут изучаться непосредст­венно по учебнику, без предварительного исследования, учащиеся будут смотреть и на этот изложенный в учебнике материал как на результат некоторых исследований (проведенных другими), что будет положительно влиять на уровень его усвоения.

Фактор времени часто вынуждает применять в обучении методы, являющиеся лишь частично исследовательскими.

8.5. Другим методом проблемного обучения является эвристи­ческий, сочетающий изложение учителем учебного материала и творческий поиск учащихся. Однако здесь этот поиск не относится, как при исследовательском методе, к процессу познания в целом, а лишь к одному или к некоторым его этапам. Поэтому можно эвристический метод считать частично исследовательским. При его применении учи­тель расчленяет исследовательские задания на элементы, облегчая тем самым процесс самостоятельной творческой деятельности уча­щихся, и сокращает время на решение проблемной задачи.

Приведенные выше примеры применения исследовательского ме­тода могут быть легко преобразованы для применения эвристичес­кого метода. В каждом из них отдельные этапы исследования изла­гаются учителем и с помощью вопросов и подсказок учащиеся про­должают исследование самостоятельно. Таким образом, изложение учителя и поиск учащихся определенным образом чередуются.

Известной формой, в которой проявляется внешне эвристический метод, является эвристическая беседа. Взаимодействие вопросов учителя и ответов учащихся образует процесс познания. Каждый ответ — решение частной задачи или выполнение отдельного шага решения — ведет к постановке нового вопроса. Своими вопросами учитель направляет мышление учащихся по определенному пути познания.

8.6. Если учитель не излагает готовые научные истины (формули­ровки теорем, их доказательства и т. п.), а в какой-то мере воспроиз­водит путь открытия этих знаний, то такой метод называют проблем­ным изложением. По существу учитель раскрывает перед учащимися путь исследования, поиска и открытия новых знаний, готовя их тем самым к самостоятельному поиску в дальнейшем.

Проблемное изложение, как и исследовательский метод, предъяв­ляет высокие требования к научной подготовке учителя. Он должен не только свободно владеть учебным материалом, но и знать, какими путями шла наука, открывая свои истины. (В этом плане большую помощь окажут учителю переведенные на русский язык книги Д. Пойа «Математика и правдоподобные рассуждения», «Математиче­ское открытие».)

Описанные выше два примера исследований, если все это (и по­становка проблем, и их расчленение, и поиск решения) будет осу­ществляться учителем, станут примерами проблемного изложения.

Как видно, проблемное изложение подготавливает базу для при­менения эвристического метода, а эвристический метод — для при­менения исследовательского метода.

Необходимо отметить особую значимость методов проблемного обучения в воспитательном отношении: они формируют и развивают творческую познавательную деятельность учащихся, способствуют правильному уяснению мировоззренческих проблем.