§ 6. Дедукция

6.1. Дедукция (от лат. deductio — выведение) в широком смысле представляет собой форму мышления, состоящую в том, что новое предложение (а точнее, выраженная в нем мысль) выводится чисто логическим путем, т. е. по определенным правилам логического вывода (следования) из некоторых известных предложений (мыслей).

Впервые теория дедукции (логического вывода) была разработа­на Аристотелем. Эта теория развивалась, совершенствовалась с раз­витием науки логики. Особое развитие с учетом потребностей ма­тематики она получила в виде теории доказательства в математичес­кой логике.

Дедуктивное рассуждение (умозаключение) отличается от индук­тивного или рассуждения по аналогии достоверностью заключения, т. е. в дедуктивном рассуждении заключение истинно, по крайней мере когда истинны все посылки. В отличие от индукции (неполной) и аналогии в дедуктивном рассуждении нельзя получить ложное за­ключение из истинных посылок. Именно поэтому дедуктивные рас­суждения используются в математических доказательствах (доказа­тельствах математических предложений).

Широкое применение дедукции в математике обусловлено аксио­матическим методом построения математических теорий.

Аксиоматический метод по существу представляет собой свое­образный метод установления истинности предложений математичес­кой теории, состоящий в следующем: некоторые предложения, выра­жающие основные свойства первоначальных понятий или отношения между ними, принимаются за истинные. Это исходные предложения, или аксиомы теории. Истинность же остальных предложений, теорем этой теории, устанавливается с помощью дедуктивных доказательств, т. е. все остальные предложения теории логически выводятся (деду­цируются) из предшествующих им предложений, т. е. из аксиом, опре­делений и ранее доказанных теорем. Вот почему математику и назы­вают «дедуктивной» наукой (в ней все выводится, «дедуцируется» из некоторых исходных фактов, выраженных в аксиомах).

6.2. Дедукция как метод обучения математике включает:

1) обучение дедуктивным доказательствам и

2) обучение расширению дедуктивной системы включением в нее новых предложений, т. е. преобразованию совокупности предложений, полученных опытным путем, или с помощью индукции, аналогии или других эвристических методов, в систему предложений, упорядочен­ных отношением следования, расширяющую уже изученный фрагмент теории.

Рассмотрим эти два аспекта дедукции как метода обучения.

1) Под обучением доказательству мы понимаем обучение мысли­тельным процессам поиска и построения доказательства, а не воспро­изведению и заучиванию готовых доказательств. В таком понимании это педагогическая задача первостепенного общеобразовательного и воспитательного значения, выходящего за рамки математического образования. Учить доказывать означает прежде всего учить рас­суждать, а это одна из основных задач обучения вообще. Что же ка­сается значимости этой задачи для усвоения математических знаний, то она соразмерна значимости доказательства в самой математике.

Поиск доказательств осуществляется средствами, отличными от Дедуктивных, и вопрос об обучении поиску доказательства будет предметом следующего параграфа.

Обучение поиску и построению доказательств направляется тремя основными вопросами: «Что?», «Откуда?»-, «Как?»

а) Что? — что доказывается? Каково «доказываемое» предложе­ние, для которого мы ищем доказательство? Как оно формулируется? Все ли понятно в этой формулировке? Нельзя ли иначе формулиро­вать доказываемое предложение? Что «дано»? Что «требуется дока­зать»?

Это далеко не полный перечень вопросов, которые мы объединяем в одном вопросе «Что?». Они связаны с изучением доказываемого предложения, с возможным приведением его к более удобному для выяснения условий и заключения виду. Например, представление доказываемых предложений в виде импликаций с использованием связки «если..., то...» облегчает учащимся выявление того, что «дано» (предложение, записанное между словами «если» и «то») и что «тре­буется доказать» (предложение, записанное после слова «то»). На­пример, расчленение теоремы «Вертикальные углы равны» на условие и заключение обычно вызывает затруднения у учащихся, но эти за­труднения сразу же устраняются, если сформулировать теорему в виде импликации: «Если углы вертикальные, то они равны». Анало­гично теорема «Диагонали ромба взаимно перпендикулярны» пред­ставляется в форме «Если параллелограмм — ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны», в которой легко определить условие и заключение.

Необходимо выяснять все условия теоремы. Так, мы не сможем доказать, что среднее арифметическое двух чисел больше их среднего геометрического, если не учтем, что это верно лишь для двух поло­жительных и неравных между собой чисел. Это подчеркивается в следующей записи этой теоремы в виде импликации:

б) Откуда? — откуда, из каких посылок следует (может сле­довать) доказываемое предложение? Из каких уже известных истинных предложений данной области (аксиом, определений, ранее доказан­ных теорем) можно было бы «вывести» это предложение?

Ответ на этот вопрос требует концентрации внимания на содер­жании условий и заключения доказываемого предложения с целью выделения тех уже известных предложений, которые как-то связаны с этими условиями. Совокупность этих предложений составляет базу для поиска доказательства. Эти совокупности могут быть различны­ми, указывая на различные направления поиска, приводящие к раз­личным доказательствам одной и той же теоремы. Например, гото­вясь к доказательству теоремы о трех перпендикулярах, мы можем выделить (вспомнить) совокупность известных предложений, связан­ных с перпендикулярностью прямой и плоскости (определение, при­знак), но можем также думать о предложениях, связанных с перпен­дикулярностью векторов. В результате мы получаем два направления поиска и два различных доказательства теоремы о трех перпендику­лярах.

в) Как? — как доказываемое предложение получается (выводит­ся) из ранее известных предложений (аксиом, определений, теорем)?

Этот вопрос находит в массовой практике обучения простой ответ: «С помощью рассуждения». Так разъясняется понятие доказатель­ства в ныне действующих и пробных учебных пособиях по геометрии для VI—X классов школы. Этим разъяснением интуитивное понятие доказательства сводится к другому интуитивному же понятию рас­суждения, которое, по-видимому, считается более ясным. Однако вряд ли слово «рассуждение» говорит учащимся намного больше, чем слово «доказательство», не говоря уже о том, что не всякое рас­суждение может служить доказательством (имеет доказательную силу).

Можно предполагать (и некоторые эксперименты подтверждают), что по вопросу о том, как мы рассуждаем, можно поднять­ся в школьном обучении (по крайней мере в школах с углубленным изучением математики или на факультативных занятиях) на более вы­сокий уровень, можно достичь некоторого прогресса в понимании то­го, что такое доказательство, в уточнении этого понятия.

Выделим в обучении доказательству два основных уровня. На первом уровне (IV—VII классы) используемые в доказательствах (неявно) логические средства вывода не выявляются, не разъясняются, основное внимание уделяется выяснению того, «что доказывается» и «из чего это следует», но не «как это следует». На этом уровне доказа­тельство рассматривается вообще как рассуждение, с помощью кото­рого истинность одного (доказываемого) предложения устанавливает­ся на основе истинности других предложений.

На втором уровне (в старших классах, на факультативных заня­тиях или в школах с углубленным изучением математики) учащимся могут быть разъяснены простейшие правила вывода и на этой основе уточнено понятие доказательства. Это уточнение достигается с по­мощью представления доказательства в определенной, стандартной форме, поддающейся точному описанию. На этом уровне учащимся становится доступным анализ доказательства, выявление его логи­ческой структуры, используемых в нем правил вывода, запись со­держательного доказательства в полной логической форме, т. е. его формализация.

Методика обучения этому рассматривается в главе III («Матема­тические понятия, предложения и доказательства»).

Разумеется, в практике обучения всегда применялись и будут применяться содержательные доказательства, представленные в виде обычных рассуждений и уровень строгости которых адекватен воз­можностям учащихся. Этот уровень должен естественным образом повышаться от класса к следующему в соответствии с развитием этих возможностей (а не наоборот, как это наблюдается в некоторых учеб­ных пособиях, в которых уровень строгости доказательств в VI клас­се выше, чем в IX).

В практике обучения учитель, как правило, сам доказывает в классе каждую подлежащую изучению теорему (а то и дважды или Даже трижды повторяет ее). Такой метод ориентирован главным образом на запоминание учащимися доказательств определенных теорем, и вряд ли можно таким методом научить учащихся доказы­вать. Сочетая же этот метод с методом обучения поиску доказательст­ва, мы научим их доказывать. Сам же поиск доказательства, как и всякий поиск, требует творческого мышления и развивает его. По­этому метод обучения поиску доказательства усиливает влияние учения на умственное развитие учащихся, на развитие их творчес­кого мышления. 2) В процессе обучения (опытным путем или с помощью эври­стических методов) открываем, что при условии А имеет место не­которое свойство В. В таком случае предстоит доказать теорему, имеющую вид импликациигде А — условие, а В — заключение теоремы.

После доказательства теоремы изученный фрагмент теории, например геометрии, расширяется, включая и это предложе­ние, которое в дальнейшем уже может использоваться в качестве одной из посылок при доказательстве других, новых теорем.

Однако расширение фрагмента теории только одним предложе­нием, характерное для установившейся методики обучения, не явля­ется наиболее рациональным способом продвижения в теорию, расши­рения знаний применением дедукции в качестве метода обучения. Во-первых, этот способ не отражает специфики метода дедукции в самой математике. При описании реальных ситуаций, как правило, получают не одно предложение, а совокупность предложений, кото­рая впоследствии исследуется с целью логического упорядочения, превращения в «маленькую» теорию, присоединяемую к уже изучен­ному (построенному) фрагменту «большой» теории. Во-вторых, обыч­ное использование дедукции в обучении нерационально, малоэффек­тивно и с дидактической точки зрения. Выдвигаемый в методической литературе тезис обучения «укрупненными блоками» применительно к дедуктивно построенному фрагменту учебного материала по суще­ству означает продвижение в теорию не единичными предложениями, а маленькими теориями, описывающими определенные ситуации, фигуры и т. п.

Получается следующая общая схема.

Пусть при описании некоторой реальной ситуации опытным пу­тем или другими эвристическими методами получено множество пред­ложений

Возникает проблема выяснения логических связей между предло­жениями из М, а точнее, из какого подмножествапредло­жений можно вывести все остальные, разумеется, с использованием уже имеющихся знаний (Г). Иными словами, исследование этой про­блемы должно иметь в качестве результата построение маленькой теории, присоединяемой к Г. Это означает выбор такой системы А предложений (посылок, локальных аксиом), чтобы следования

имели место для любых

Приведем конкретный пример применения этой схемы в обучении. Рассмотрим несколько геометрических ситуаций, изображенных на рисунке 16, а, б, в, и попытаемся описать их математически, т. е. описать с помощью математических предложений то, что мы видим на каждом из этих рисунков.

При этом будем пользоваться наблюдением, опытом (например можно скопировать рисунок на лист прозрачной бумаги, согнуть его определенным образом), измерениями.

а) То, что изображено на рисунке 16, а, можно описать следую­щим образом.

Мы видим, что точка О лежит на отрезке АВ, т. е.

что она — середина этого отрезка (можно подкрепить это предполо­жение измерением):

используя наши знания центральной симметрии, можно также утвер­ждать, что

И

Итак, мы получили множество из четырех предложений

Возникает вопрос: нужно ли запоминать все эти четыре предло­жения, чтобы знать все о фигуре, изображенной на рисунке 16, а?

Выясним, что из чего следует в множестве М.

Из p₁ не следует р₂, так как точка О может принадлежать отрезку АВ, но не быть его серединой.

Из р₂ не следует р₁ так как точка О может быть равноудаленной от концов отрезка АВ, но не принадлежать этому отрезку.

Из p₁ и р₂ следует р₃ (по определению центральной симметрии), а из p₃ следует р₄ (из того же определения).

Но можно в качестве исходного принять одно предложение р₃. з него следуют все остальные (рис. 17, б). Можно также принять в качестве исходного предложение p₄ (рис. 17, в). В этом простом случае (четырех предложений) легко найти все возможные способы логического упорядочения с помощью отношения следования (превращения множества М в маленькую теорию).

б) Для описания ситуации, изображенной на рисунке 16, б, мы дополним множество М следующими предложениями:

Мы получили новое, расширенное множество предложений

Здесь уже возможно намного большее число различных систем исходных предложений, каждая из которых имеет среди своих след­ствий все предложения из М₁

Например, достаточно в каждом из трех вариантов системы ис­ходных предложений для множества М присоединить к исходным пред­ложениям p₈, или р₉, или р₅ и р₇, или р₆ и p₇ и мы уже получим 12 различных систем.

Если, например, присоединить к варианту б (рис. 17) в качестве исходного предложения p₈, полу­чим дедуктивную структуру, изоб­раженную на рисунке 18.

в) Нетрудно заметить, что фигу­ра, изображенная на рисунке 16, в, включает в себя фигуру, изображен­ную на рисунке 16, б, но содержит и некоторые другие элементы: точку С, лежащую на прямой l:

отрезки СА и СВ, которые, очевид­но, равны:

они же симметричны относительно l

Возникает также предположение, что и углы CAB и СВА равны:

И что l — биссектриса угла С:

и сам треугольник ABCсимметричен относительноl, т. е.

Мы получили теперь множество предложений

Возникает задача, аналогичная той, которую решили для M₁ т. е. найти такую систему исходных предложений, среди следствий которых находились бы все предложения из М₂.

Возьмем, например, системуисходных предложений для M₁ и присоединим к ней предложение p₁₀. Иными словами, при­мем систему исходных предложений Так как из A₁ следуют все предложения из М₁ то остается доказать, что из А₂ следует каждое из предложений р₁₁-p₁₅. Легко заметить, что

так как всякие симметричные фи­гуры равны.

(Каждое из перечисленных следо­ваний представляет собой задачу на доказательство.)

Итак, множество А₂ = {p₃,p₈,p₁₀) годится в качестве системы исходных предложений (посылок) Для доказательства всех осталь­ных предложений из М₂. Полу­ченная дедуктивная структура (по­рожденная выбором исходных пред­ложений А₂ и отношением следова­ния) изображена на рисунке 19.

Если проанализировать дока­зательства предложений р₁₁-p₁₅ (которые мы опустили), то легко обнаружить, что в них используются,

свойства изучаемого объекта, очень часто требует анализа того, что уже известно о нем.

В математике, чаще всего, под анализом понимают рассуждение в «обратном направлении», т. е. от неизвестного, от того, что необхо­димо найти, к известному, к тому, что уже найдено или дано, от того, что необходимо доказать, к тому, что уже доказано или принято за истинное.

В таком понимании, наиболее важном для обучения, анализ яв­ляется средством поиска решения, доказательства, хотя в большин­стве случаев сам по себе решением, доказательством еще не является.

Синтез, опираясь на данные, полученные в ходе анализа, дает решение задачи или доказательство теоремы.

Мы ограничимся этим пониманием анализа и синтеза.

7.2. Анализ лежит в основе весьма общего подхода к решению задач (имеется в виду нестандартных задач, для которых нет соот­ветствующего алгоритма), известного под названием сведения (ре­дукции) задачи к совокупности подзадач.

Идея такого подхода состоит именно в свойственном для анализа «размышлении в обратном направлении» от задачи, которую пред­стоит решить, к подзадачам, затем от этих подзадач к подподзадачам и т. д., пока исходная задача не будет сведена к набору элемен­тарных задач. Что же понимают под «элементарными задачами»? Это, во-первых, задачи, решаемые за один шаг поиска, во-вторых, более сложные задачи (т. е. не решаемые за один шаг поиска), реше­ние которых уже известно из имеющегося опыта решения задач.

Из такого понимания элементарной задачи следует, что чем боль­ший опыт решения задач, тем больше задач становятся для нас «эле­ментарными» в упомянутом выше смысле, а следовательно, тем мень­ше объем поиска при решении новых задач, их сведения к элемен­тарным, так как цель поиска состоит в получении элементарных задач, останавливающих процесс поиска.

Рассмотрим пример применения описанного подхода к решению задачи на доказательство: «Если через точку вне окружности прове­сти секущую и касательную, то произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной».

Обозначим для краткости через Р условие: — касательная, С — точка касания; — секущая,— ее внешняя часть; через Q — заключение: (рис. 20).

Во введенных обозначениях задача запишется так:

где Г — совокупность уже известных истинных предложений гео­метрии.

Доказываемое равенство непосредственно из ранее известного получить как будто нельзя. Нельзя ли это равенство несколько пре­образовать? Его можно представить в виде пропорции

кроме исходных предложений из А2, ранее уже изученные геометри­ческие факты, например определения и свойства осевой и центральной симметрии, равенства фигур.

Как видно, мы построили маленькую теорию, описывающую фигу­ру, изображенную на рисунке 16, в (равнобедренный треугольник), в рамках «большой» геометрической теории, кусок которой (некоторые аксиомы, определения и теоремы) мы уже знали и использовали.

Для множества предложений М₂ (так же как для М₁ или М) мож­но, разумеется, выбрать различные системы исходных предложений. Наряду с А₂ можно выбрать, например, А₃ = {р₃, р₅, р₁₂} или А₄ = {р₃, р₅, р₇, р₁₀}, А₅ = {р₃, р₅, р₁₁}, А₆ = {р₁₅} и др.

Важно заметить, что каждая система определяет вариант «теории равнобедренного треугольника» и соответствующий вариант опреде­ления: треугольник равнобедренный, если

(А₂) две вершины симметричны относительно прямой, проходящей через третью вершину, или

(А₃) две стороны симметричны относительно прямой, на которой лежит медиана, опущенная на третью сторону, или

(А₄) медиана и высота, опущенные из одной вершины, совпадают, или

(А₅) две стороны равны, или

(А₆) имеется ось симметрии и др.

Все эти определения с логической точки зрения равносильны, так как они определяют один и тот же класс фигур. Обычно в школь­ных учебниках выбирается определение, соответствующее А₅. Этот выбор уже связан не с логическими, а с дидактическими соображения­ми (равенство двух сторон — свойство наглядное, поэтому оно и при­нимается за определяющее, исходное для построения теории).

Иллюстрированная приведенным примером обобщенная схема (1) применения дедукции в обучении математике, как и любой другой метод обучения, не является универсальной.

Выбор темы, учебного материала, к изучению которого целесо­образно применить описанный, как и вообще тот или иной метод обу­чения, представляет собой сложную педагогическую проблему, для решения которой требуется глубокий анализ подлежащего изучению материала.