§ 3. Учебное оборудование по математике и методика использования его в учебной работе

В настоящее время для школы разработана система учебного обо­рудования по математике, нашедшая свою реализацию в «Типовых перечнях учебно-наглядных пособий и учебного оборудования для общеобразовательных школ»¹.

В соответствии с перечнем в состав учебного оборудования по ма­тематике для средней школы входят:

1. Приборы, модели, инструменты.

2. Печатные средства обучения.

3. Экранные средства обучения.

' Дадим краткую характеристику отдельных видов учебного обору­дования и рассмотрим некоторые вопросы методики использования их в обучении математике в школе.

3.1. Приборы, модели, инструменты. Для педагогического про­цесса приборы и модели имеют большое значение. В школьном препо­давании наряду со сравнительно новыми для нашей школы видами учебного оборудования находят достаточно широкое применение такие традиционные пособия, как набор подвижных моделей по геометрии

для б—8 классов, набор шарнирных моделей угла, треугольника и четырехугольника, демонстрационный прибор но стереометрии (автор Л- А. Стукапов), стереометрический набор (автор И. К. Середа), стерео­метрический прибор (автор А. И. Раев), стереометрический ящик и др. Опишем некоторые из перечисленных приборов.

Набор шарнирных моделей. Он состоит из шарнирно соединенных стержней и трубок. Позволяет собрать треугольники и четырехуголь­ники (рис. 51).

Комплект стереометрических тел для восьмилетней школы (автор Вейцман И. Б.). Комплект состоит из двух каркасных тел: куба и прямоугольного параллелепипеда — и из десяти полых пластмас­совых тел (пять из них показаны на рис. 52).

Полые тела (кроме полушара) снабжены съемными основаниями (крышками). Набор включает прямой параллелепипед с пря­моугольным основанием; прямой параллелепипед с квадратным основанием; прямую призму с треугольным основанием; пирамиду с квадратным основанием; пирамиду с прямоугольным основанием; пирамиду с треугольным основанием; цилиндр; конус, у которого ос­нование и высота равны основанию и высоте цилиндра; конус, диаметр основания которого равен диаметру большого круга палушара, а высота — радиусу полушара; полушар.

Основное назначение полых тел — приближенный вывод формул объемов геометрических тел путем непосредственного измерения объе­ма помещающейся в них воды.

Стереометрический набор, или комплект деталей для сборки моде­лей по стереометрии (автор Середа И. К.). Комплект состоит из набора деталей и предназначен для сборки моделей геометрических тел по всем разделам стереометрии, изучаемым в средней школе: 1) «Прямые и плоскости». 2) «Многогранники». 3) «Круглые тела». Кроме того, можно демонстрировать комбинации геометрических тел: призмы, пирамиды, цилиндра, конуса, вписанных в шар; пирамиды и призмы, вписанных в цилиндр, и т. д.

Большинство моделей, собранных из деталей комплекта, допуска­ют изменение угловых и линейных элементов, т. е. являются подвиж­ными (динамичными).

За последние годы большое распространение в практике обучения математике приобрели приборы с магнитным креплением и резиновые штемпели (штампы).

Приборы с магнитным креплением дают возможность непрерыв­ного перемещения частей прибора в плоскости доски и закрепления их в любом положении. Осуществляется это следующим образом. Часть классной доски покрывается листом железа и окрашивается под цвет остальной части доски, или такая «магнитная доска» изготовляется от­дельно и делается переносной. Детали, которые должны перемещаться и фиксироваться на доске в разных положениях, изготавливаются из картона или пластика, на их оборотную сторону наклеиваются плос­кие магниты. Такая деталь, приложенная к «магнитной доске», прочно удерживается на ней и в то же время может легко перемещаться по доске. Этим создаются возможности для наглядной иллюстрации свойств математических понятий и методов. С успехом можно, например, при­менять магнитные пособия при изучении дробей, площадей плоских фигур, графиков функций, симметрии, параллельного переноса, по­ворота и многих других понятий школьного курса математики. Таким образом, использование магнитной доски может заменить многие плос­кие подвижные модели. В настоящее время нашей промышленностью выпускаются и через систему «Главснабпроса» распространяются сле­дующие магнитные приборы: магнитная доска с координатной сеткой, переносная магнитная доска, комплект кривых для магнитной доски, магнитный прибор «Измерение площадей», магнитный прибор «Доли и дроби».

Удобным видом учебного оборудования являются резиновые штем­пели (штампы) с изображением различных плоских и объемных фи­гур, графиков, таблиц и т. д. При использовании этого вида учебного оборудования достаточно приложить штемпель к штемпельной подушке и прижать его к листу бумаги, чтобы получить нужное изображение, например изображение куба или прямоугольного параллелепипеда. При решении задач, связанных с построением изображений куба или прямоугольного параллелепипеда, учащиеся, воспользовавшись штем­пелем, могут быстро получить в тетради правильный чертеж, что дает большую экономию времени. Естественно, применение штемпелей не должно привести к утрате учащимися навыков вычерчивания фигур. Поэтому учитель должен вначале научить учащихся изображать фи­гуры на плоскости, а затем применять штемпели на уроке. Штемпели могут использоваться учителем при подготовке многовариантных кон­трольных заданий. Можно, например, заготовить 35—40 чертежей с изображением прямоугольного параллелепипеда, чтобы затем, про­ставив размеры, получить набор индивидуальных заданий.

Кроме рассмотренного оборудования, в практике преподавания математики широкое применение находят разнообразные инструменты для выполнения измерительных и чертежных работ, а также наборы для проведения лабораторных работ. Приведем краткое описание не­которых из них.

Астролябия школьная (рис. 53). Астролябия как угломерный ин­струмент применяется для измерений на местности. Существенными ча­стями астролябии являются лимб (круг, разделенный на градусы), алидада (линейка, которая в астролябии вращается около вертикаль­ной оси в центре лимба), диоптры (металлические пластины с прорезя­ми). Диоптров два: один — с прорезом в виде узкой щели, другой — с широким прорезом, посередине которого натянут волосок. Для удоб­ства переноски и хранения прибора диоптры сделаны складывающимися. Для отсчета градусов на скошенных концах алидады имеются черточки — ука­затели градусов. В середине алидады к ней прикреплен компас. Для установки лимба в горизонтальное положение на нем укреплен уровень.

Мензула школьная с визирной линей­кой (рис. 54). Мензула применяется при съемке планов местности и представляет собой переносной чертежный столик, на который накладываются визирная линейка и компас.

Тренога. Предназначена для устано­вки измерительных инструментов (астро­лябии, мензулы и др.) при выполнении измерений на местности.

Чертежные инструменты (демонстра­ционные):

1) линейка классная с ручкой;

2) линейка метровая с цветной шка­лой;

3) пантограф;

4) транспортир;

5) циркуль пропорциональный;

6) угольники с углами 30°, 60°, 90° и 45°, 45°, 90°;

7) циркуль чертежный.

Набор геометрических тел. Состоит из 12 тел: двух параллелепи­педов, трех призм (трех-, шести-, восьмиугольной), четырех пи­рамид (трех-, четырех-, шести-, восьмиугольной), цилиндра, конуса, шара. Включенные в этот набор геометрические тела могут исполь­зоваться при проведении различных измерительных и вычислитель­ных работ.

Набор моделей для проведения лабораторных работ по измерению длин, площадей и объемов тел. Содержит 20 палеток, 40 кубиков размером 10 х 10 х 10 мм, 40 кубиков размером 20 х 20 х 20 мм, а также различные плоские фигуры и ступенчатые тела. Ученик, при­нимая по указанию учителя один из кубиков за единичный и рассмат­ривая выданное ему ступенчатое тело, определяет объем, площадь по­верхности тела, размеры наименьшей прямоугольной коробки, вме­щающей это ступенчатое тело, и т. п. Аналогичная работа проводится с плоскими фигурами и палеткой.

Выпускаемые промышленностью модели, приборы и инструменты не всегда могут удовлетворить потребности, возникающие при обуче­нии школьников математике. Поэтому учителя часто прибегают к из­готовлению моделей своими силами с привлечением учащихся. Это делается не только в тех случаях, когда в школе отсутствуют не­обходимая модель, прибор или инструмент, но и когда учитель считает, что имеющаяся модель, прибор не в полной мере способствуют ясному и четкому восприятию изучаемого материала. Внося в модель усовершенствования, учитель привлекает учащихся к изготовлению нового ва­рианта модели. Это содействует по­лучению учащимися более глубоких и прочных знаний, умений применять теоретический материал на практике. Модели, приборы как фабричного, так и самодельного изготовления мо­гут быть использованы при введении новых понятий и доказательстве тео­рем, при решении задач, при выпол­нении практических и лабораторных работ.

Приведем примеры.

1. Рассмотрим применение пособий при введении понятия прямой, перпендикулярной к плоскости, и изучении признака перпендикуляр­ности прямой и плоскости. Будем при этом исходить из следующего определения: «Прямая и плоскость называются взаимно перпендику­лярными, если прямая перпендикулярна каждой прямой, лежащей в плоскости».

При введении этого определения важную роль играет применение моделей. Особенно здесь важна демонстрация контрпримеров. Это де­лается с помощью модели прямой а, которая не перпендикулярна хотя бы одной прямой(рис. 55). Эта модель не вызывает у учащихся

наглядных представлений о перпендикулярности прямой а и плоско­сти а, что существенно для формирования верного понимания опреде­ления. В ходе демонстрации указанной модели должно быть четко про­ведено различие между смыслом слов «каждой прямой плоскости» и «какой-либо прямой плоскости», так как здесь у учащихся нередко наблюдается путаница.

Подход к введению формулировки признака перпендикулярности прямой и плоскости может быть выполнен в проблемном плане с при­влечением моделей. Рассмотрение начинается с наиболее простого случая: известно, что данная прямая а перпендикулярна одной пря­мой Ь, лежащей в плоскости а. Демонстрируется модель (рис. 56), рассматривая которую учащиеся замечают, что утверждение вообще говоря, неверно. С помощью этой же модели, добавив прямую с, параллельную b (рис. 57), убеждаем учащихся в ложности утверждения, что из перпендикулярности прямой а к каждой из двух прямых b и с, лежащих в плоскости а, следует перпендикулярность а и а.

Далее демонстрируется с помощью модели (рис. 58) случай, когда прямая а перпендикулярна пересекающимся прямым b и с плоскости а.

С помощью новой модели (рис. 59) делается попытка придать пря­мой а такое положение, чтобы она, будучи перпендикулярной к двум прямым (Ь и с), была наклонной относительно третьей прямой d. Уча­щиеся убеждаются, что это невозможно. Затем учащиеся самостоятель­но формулируют признак перпендикулярности прямой и плоскости.

После введения понятия перпендикуляра к плоскости и доказа­тельства рассмотренного признака следует обратиться к техническим приложениям. При ремонте сверлильного станка слесарю приходится выверять перпендикулярность оси шпинделя (сверла) к плоскости сто­ла, на котором крепится деталь. Для этой цели слесарь обычно поль­зуется угольниками, которые он устанавливает в нескольких пози­циях, применяя при этом определение перпендикуляра к плоскости. Этот пример следует проиллюстрировать специальным плакатом, на котором наглядно показан практический процесс выверки перпендику­лярности оси сверла к плоскости стола (рис. 60).

2. Чтобы подвести учащихся к формулировке теоремы об объеме наклонной призмы, можно использовать следующую модель. Из стек­ла изготовлена наклонная призма без верх­ней грани. В нее вставлена такая же призма,

изготовленная из картона и рассеченная на две части перпендикулярным сечением.

Демонстрируя модель, извлекают кар­тонную призму из стеклянного футляра и переставляют местами части, составляющие ее. Получается прямая призма, у которой основанием является перпендикулярное сече­ние, а высотой — боковое ребро наклонной призмы. Наблюдая это, учащиеся легко формулируют сами соответствующую тео­рему.

3. Рассмотрим один из возможных вари­антов применения наглядных пособий при решении задач. Для примера возьмем зада­чу: «В кубе проведена плос­кость через середины ребер Определить истинную форму сечения и взаим­ное расположение секущей плоскости и от­резка ВК, если точка К, — середина ребра (рис.61).

Чтобы определить форму сечения, надо построить изображение искомого сечения. Большая часть учащихся допускает такую ошибку: соединяют точки М, N и L и зани­маются определением формы треугольника. Такое представление о форме сечения приводит к ошибке и при решении второй части задания. Такая ошибка является резуль­татом неверного понимания плоскости как ограниченного куска. Чтобы избежать указанной ошибки, можно показать на стеклянной модели куба (без одной грани) положение секущей плоскости, вложив в мо­дель прямоугольник из картона. Но можно применить другое пособие. Изготовляется развертка куба (из плотного картона или фанеры), ко­торая окрашивается в темный цвет, а контурные линии выделены белым цветом. Подвесив развертку на классной доске, предлагается ученику показать на развертке следы секущей плоскости. Если ученик пред­ставлял сечение в форме треугольника, то он сможет нанести только один след на грани. Сразу же обнаруживается ошибка. При пересечении куба плоскостью должны получиться по крайней мере три следа. Далее проводится анализ построения сечения куба данной плоскостью.

Остановимся на некоторых наиболее существенных недостатках использования моделей в обучении математике. Нередко наглядные средства рассматривают лишь как временную опору при начальном усвоении знаний. Сторонники такой оценки роли наглядных средств полагают, что модели в этом случае приучают учащихся к очевидности и поэтому не способствуют развитию логического мышления. Выдви­гается даже дидактическое правило: чем старше учащиеся, тем меньше моделей должно применяться в преподавании математики. Принять такую точку зрения и вытекающие из нее дидактическое правило нель­зя, так как они несостоятельны. Правильно понимаемое применение наглядных средств не только уместно, но и необходимо на всех ступе­нях обучения.

Второй существенный недостаток в применении средств наглядно­сти — использование их лишь в иллюстративных целях. Конечно, использование моделей в иллюстративных целях правомерно. Если представления помогают мышлению, то в еще большей степени помо­гает ему зрительное восприятие. В познавательных процессах образ­ная и логическая стороны находятся в единстве и образные компонен­ты в мышлении необходимы. Но, являясь источником познания, «жи­вое созерцание» может вести к абстрактному мышлению только в процессе оперирования с познаваемым объектом (и его моделями), в процессе изменения его, действий с ним. Следовательно, показ готовых моделей — это лишь одна сторона дела. Вторая, более важная сторона дела — подход к построению моделей и оперированию с ними. При­ведем пример.

При изучении темы «Параллелограмм» учитель обычно показывает учащимся различные параллелограммы, вырезанные из картона или другого материала. При этом в редких случаях он предлагает учени­кам какую-нибудь дополнительную работу (например, провести диаго­нали, найти сумму углов, прилежащих к одной стороне, и т. п.). Меж­ду тем «жесткий» параллелограмм можно использовать не только в иллюстративных целях. С помощью его можно решить с учащимися ряд интересных задач на построение параллельных прямых и перпен­дикуляров, на отыскание биссектрисы угла и т. д. Больше того, по­скольку «жесткий» параллелограмм является одновременно и дву­сторонней линейкой, то с его помощью может быть решена любая зада­ча на построение, разрешимая циркулем и линейкой. Но учитель обыч­но не учитывает указанные достоинства наглядного пособия и огра­ничивается лишь простой иллюстрацией его.

Недостатки в применении средств наглядности могут вызываться и нередко действительно вызываются неудачной конструкцией модели или неумелым обращением с ней. Приведем пример.

Известно пособие для иллюстрации понятия равновеликое фигур (рис. 62).

На щитке из плотного материала сделана прорезь параллельно основанию треугольника ABC (основание на щитке начерчено). Боко­вые стороны треугольника сделаны из круглой резинки. При работе с моделью вершина В перемещается по прорези. Казалось бы, примене­ние этого пособия дает вполне наглядное представление о том, какие треугольники называются равновеликими: учащимся видно, что хотя получаемые треугольники отличаются по своей форме и по размерам сторон и углов, но все они имеют одинаковые площади в силу равен­ства оснований и высот. Все как будто бы правильно. Однако на во­прос учителя: «Какие треугольники называются равновеликими?» — возможен следующий ответ ученика: «Треугольники, у которых осно­вания и высоты одинаковы». Винить ученика (да и учителя) здесь не приходится: само наглядное пособие подводит учащихся к ложному выводу. Дело в том, что признак равновеликости треугольников, вы­текающий из рассмотрения этого наглядного пособия, является толь­ко достаточным, но не необходимым призна­ком. Но это не было учтено ни при разработ­ке конструкции прибора, ни учителем при демонстрации прибора на уроке.

Как быть учителю в такой ситуации: не применять вовсе наглядное пособие или при­менять его с некоторыми оговорками? Учи­тель, вообще говоря, может отказаться от применения наглядного пособия, если оно его не удовлетворяет по каким-либо сообра­жениям, но в таком случае с целью выработ­ки у учащихся необходимых образных представлений он должен использовать другие виды наглядности: можно, например, иметь наборы равновеликих фигур. Рассматриваемое по­собие может быть продемонстрировано на уроке, однако с тем усло­вием, что преподаватель подчеркнет: здесь представлен лишь частный случай равновеликих треугольников, когда основания равны и высо­ты равны.

Отметим также, что в ряде случаев наблюдается чрезмерное увле­чение наглядными средствами ради иллюстрации выведенных правил, законов, теорем. Зачастую такой иллюстрацией стремятся подтвер­дить правильность хорошо понятых учащимися логических выводов, принижая тем самым значение дедуктивных умозаключений. Иногда можно наблюдать игру в «наглядность», когда наглядные средства де­монстрируются ради их самих. Очень редко средства наглядности ис­пользуются для решения разнообразных практических задач, почти совсем не находят применения на уроках математики разнообразные устройства, приспособления и приборы с ярко выраженными математи­ческими принципами их действия.

3.2. Печатные средства обучения. Печатные средства обучения — это таблицы, карточки-задания, тетради с печатной основой. Рассмот­рим более подробно настенные таблицы, которые являются традици­онным видом учебного оборудования. До недавнего времени в распоряжения учителя был в основном только один тип таблиц по математи­ке — иллюстративные таблицы. В настоящее время дидактические функции таблиц значительно расширены. Кроме иллюстративных таб­лиц, в практике преподавания математики широко используются так называемые рабочие и справочные таблицы.

Рабочие таблицы — это такие таблицы, по материалу которых можно организовать активную мыслительную деятельность учащихся как по усвоению нового теоретического материала, так и по его за­креплению. С помощью рабочих таблиц возможно осуществить вы­полнение большого числа упражнений, способствующих выработке и закреплению у учащихся определенных навыков, можно проводить опрос учащихся или создать проблемную ситуацию перед всем клас­сом.

В отличие от рабочих таблиц справочные таблицы, т. е. таблицы для запоминания, предназначены для длительного воздействия на зри­тельный аппарат учащегося. Такие таблицы могут быть вывешены в кабинете математики на длительное время. Таким образом, основным свойством справочных таблиц является (помимо наглядности, которая в ряде случаев играет важную роль) их дидактическая направлен­ность. Таблицы эти предназначены для принудительного воздействия на память учащегося с целью запоминания основных фактов, формул, графиков и др.

Приведем примеры рабочей и справочной таблиц. В комплекте таблиц по курсу математики для IV класса¹ есть таблица «Углы» (рис. 63). Это рабочая таблица, которую учитель использует много-

кратно и при объяснении, и при опросе, и при закреплении.

Приведем некоторые типы заданий, которые могут быть выпол­нены с помощью этой таблицы.

1) Найдите на таблице угол, помеченный цифрой 2. Как его можно обозначить тремя буквами?

2) Найдите на таблице угол BCD. Можно ли его обозначить KCD? CBD?

3) Пересекаются ли стороны угла 3 с прямыми КР и FD?

4) Найдите на таблице острые (прямые, тупые, развернутые) углы.

5) Углы 1, 2 и 3 равны (проверьте!). Для каких из построенных на таблице углов проведены биссектрисы? Докажите, что луч ОА действительно является биссектрисой угла EOQ.

6) Найдите на таблице взаимно перпендикулярные прямые. (Важ­но, чтобы учащиеся увидели не только взаимную перпендикуляр­ность прямых АЕ и ОЕ, ОВ и ВС, но и 0Q и CD: эти прямые пересе­каются в точке С, образуя прямой угол.)

7) Покажите на таблице смежные углы, вертикальные углы.

8) Укажите расстояние от точки А до прямой ОТ и до прямой КР; от точки С до прямой OV, до прямой 0Q и до прямой ИМ.

Таблица содержит справочный материал, позволяющий напомнить (в случае, если это потребуется), каким образом с помощью чертежного угольника установить, является ли угол прямым, тупым и т. д.

В качестве второго примера возьмем таблицу 9 «Соотношения меж­ду сторонами и углами прямоугольного треугольника» из комплекта таблиц по геометрии для VIII класса².

На таблице дается чертеж треугольника, необходимый для вывода зависимостей между сторонами и углами прямоугольного треуголь­ника. Для большей наглядности угол и противолежащая сторона от­мечены одним цветом. Этим же цветом написаны буквы, обозначающие вершину угла и длину стороны. Соотношения между сторонами и угла­ми записаны формулами в виде схем, позволяющих запомнить эти формулы. Таблица должна висеть в классе длительное время: приме­няя формулы для решения задач, учащиеся постепенно запомнят их. Это пример справочной таблицы.

Итак, мы рассмотрели классификацию настенных таблиц по их дидактическим функциям, т. е. по тому назначению, которое они име­ют в преподавании математики. В заключение отметим, что издатель­ство «Просвещение», выпускающее комплекты таблиц по школьному курсу математики, снабжает каждую выпускаемую серию таблиц под­робными методическими указаниями, с которыми необходимо внима­тельно знакомиться при подготовке к уроку. Здесь учитель найдет типы заданий, которые можно выполнить с помощью таблицы, педаго­гические ситуации, в которых таблицу целесообразно использовать.

Пособием, содействующим повышению активности и сознательно­сти обучения математике, являются также карточки с заданиями, ко­торые привлекают учителей прежде всего тем, что с их помощью эко­номится время урока. Карточки с заданиями позволяют быстро пода­вать готовый материал на стол ученика. Текст, чертеж, схема, рису­нок — вообще любое плоское изображение — можно нанести на кар­точку и предъявить ученику для обработки. С помощью карточек учитель может не только провести самостоятельную или контрольную работу по недавно пройденному материалу, но и проверить знания по материалу, уже пройденному давно, но необходимому для начинаю­щейся темы.

Карточки с заданиями помогают учителю внести элемент индиви­дуального обучения в ходе коллективной работы в классе. В них привлекает возможность дать каждому ученику задание по силам, диф­ференцировать обучение.

Карточки с заданиями целесообразно создавать по всем темам курса математики. Публикация «Дидактических материалов» для каждого класса по школьной программе позволяет ускорить изготов­ление карточек. Купив несколько комплектов этих материалов, учи­тель расклеивает их на плотной бумаге и вырезает карточки. Естест­венно, возникает проблема организации удобной картотеки, из которой учитель мог бы легко извлечь нужную карточку. Для этого можно использовать библиотечные методы: хранить карточки в каталожных ящиках с разделе­ниями по классам и темам программы.

Большие возможности воспитания само­стоятельности и активности открываются при использовании тетрадей с печатной ос­новой. Однако в настоящий момент они еще не находятся на вооружении каждого учите­ля математики. Тетради с печатной основой предназначаются для организации самостоя­тельной работы на этапе закрепления и пов­торения пройденного материала. Основная отличительная особенность тетради в том, что она позволяет более рационально исполь­зовать учебное время, так как ученики освобождаются при работе с тетрадью от механического переписывания текста зада­ний и основное внимание сосредоточивают на выполнении заданий, включенных в тетрадь. Приведем в качестве примера фраг­менты тетради с печатной основой по теме «Прямоугольный параллелепипед» и рассмот­рим применение тетради в учебной деятель­ности ученика.

Прямоугольный параллелепипед — это такой многогранник, у которого 6 граней и каждая грань является прямоугольником.

Задание 1. Заполнить пропуски в следующих предложениях.

Чтобы узнать, является ли многогранник прямоугольным паралле­лепипедом, нужно:

1) сосчитать, сколько у него граней; у прямоугольного параллеле­пипеда . . . граней;

2) просмотреть, являются ли все грани многогранника прямо­угольниками. У прямоугольного параллелепипеда все грани ...

Задание 2. Определить, является ли это тело (рис. 64) прямо­угольным параллелепипедом.

Решение. 1) Сосчитаем, сколько граней у этого многогранника. Их ... . У прямоугольного параллелепипеда должно быть . . . граней.

Проверять второе условие не нужно.

Ответ. Этот многогранник не является ...

Задание 3. Определить, является ли этот многогранник (рис. 65) прямоугольным параллелепипедом.

Решение. 1) Сосчитаем, сколько граней у этого многогранни­ка. У этого многогранника . . . граней. У прямоугольного паралле­лепипеда тоже . . . граней;

2) посмотрим, все ли грани — прямоугольники. Грань ABCD — прямоугольник. Грань AEHD — ....

Грань BCGF — . .

Грань FGHE — . .

Грань ... — ...

Грань ... — ...

У прямоугольного параллелепипеда все грани — прямоугольники.

У тела ABCDEFGH ....

Ответ. Это тело ... .

Задание 4. Определить, какие из тел на рисунке 66 являются прямоугольными параллелепипедами.

Решение. Первое условие (число граней 6) выполняется у тел ....

Второе условие (все грани — прямоугольники) выполняется у тел ...

Ответ. Прямоугольными параллелепипедами являются тела ... . Тела ... не являются прямоугольными параллелепипедами.

Задание 5. Заполните пропуски в следующих предложениях.

Прямоугольным . . . называется многогранник, у которого:-1) . . . граней и 2) каждая грань ....

У прямоугольного параллелепипеда 6 . . ., ... ребер и ... вер­шин.

... — это такой прямоугольный параллелепипед, у которого все грани — равные квадраты.

Как видим из приведенного фрагмента, тетради с печатной основой включают большое число заданий. Цель заданий различна. Так, зада­ния 1—4 включены в тетрадь с целью дать ученику образец способа рассуждений при установлении принадлежности к соответствующим понятиям. Задание 5 как бы завершает работу над определением по­нятия «прямоугольный параллелепипед». Решения, данные в тетради, содержат пропуски в тексте, которые ученики должны заполнить при работе с тетрадью. Причем пропущены не случайные слова, а такие, которые заставляют ученика лишний раз обратиться к определениям, задуматься над последовательностью операций и т. п.

Приведем еще два задания из той же тетради. Они включены в тет­радь с печатной основой потому, что содержат образцы решения ти­пичных задач.

Задание 21. Сколько сантиметров проволоки пошло на изго­товление каркаса этого прямоугольного параллелепипеда (рис. 67)? Решите задачу разными способами.

Первый способ.

1) На ребра нижнего основания пошло . . . см.

2) На ребра верхнего основания пошло . . . см.

3) На вертикальные ребра пошло . . . см.

4) Всего на каркас пошло ... см. Второй способ.

1) На три неравных ребра пошло ... см.

2) Всего на каркас пошло . . см. Третий способ.

У прямоугольного параллелепипеда есть четверки равных ребер.

1) На ребра, равные 2 см, пошло . . . см.

2) На ребра, равные 5 см, пошло . . . см.

3) На ребра, равные 4 см, пошло ... см.

4) Всего на каркас пошло . . . см.

. Эти вычисления можно записать в строчку: 2-4+6-4 + 4Х X 4 = (. .. + ... + ...) -4=....

Задание 22. Найдите сумму длин ребер данного прямоуголь­ного параллелепипеда (рис. 68).

Первый способ.

1) Ребер по а см здесь 4. Сумма их длин равна 4а см.

2) Ребер по Ь см здесь .... Сумма их длин равна . . . см.

3) Ребер по ... см здесь .... Сумма их длин равна . . . см.

4) Сумма длин всех ребер равна . . . см. Второй способ.

1) Сумма длин трех измерений равна (а + ... + •••) см.

2) Сумма длин всех ребер равна 4 (... + ••• + •••) см. Объясни, почему ответы, полученные в первом и во втором случае, равны между собой.

Итак, тетрадь с печатной основой дает возможность отрабатывать понятия и прививать учащимся навыки решения типовых задач.

Кроме того, тетрадь может подсказать пути решения нестандарт­ных задач и может быть успешно использована тогда, когда формули­ровка задачи, связанная, например, с чертежом, отнимает непропор­ционально много труда и времени по сравнению с процессом решения.

Вот примеры.

Задание 13. Дорисуй изображение куба (рис. 69).

Задание 58. Объем первого куба (рис. 70) равен сумме объемов трех остальных. Чему равно ребро первого куба?

Решение. По таблице кубов находим, что:

объем куба с ребром 3 равен .. .;

объем куба с ребром 4 равен. . . ;

объем куба с ребром 5 равен ....

Значит, сумма объемов всех трех кубов равна 27+ ... + ...— = . . . , а это и есть объем первого куба. По таблице кубов находим, что его ребро равно ...

Ответ. Ребро первого куба равно ... .

3.3. Экранные средства обуче­ния. В последние годы в практи­ке обучения математике все шире стали применяться экранные сред­ства, такие, как кинофильмы, диа­фильмы, диапозитивы, кодопозитивы. Практика использования их на уроках математики дает право утверждать, что экранные средст­ва повышают эффективность учеб­ной работы по математике, помо­гают добиваться более прочных, осознанных знаний, содействуют экономному расходованию учеб­ного времени.

Из имеющихся экранных средств в учебной работе по математике наибольшее распространение как в восьмилетней, так и в средней школе получили диафильмы. Это в большей степени объясняется теми богатыми дидактическими возможностями, которые открываются при использовании диафильмов в учебном процессе.

Рассмотрим лишь некоторые из этих возможностей.

1) Диафильм позволяет мгновенно подать на экран готовый учеб­ный материал (текст, рисунок, чертеж), что экономит учебное время на уроке.

2) Диафильм предоставляет возможность одновременно работать всему классу над кадрами, содержащимися в нем. При этом внимание всех учащихся привлекается к изображению на экране, которое под­вергается всестороннему обсуждению. По мере необходимости учи­тель ставит вопросы по изображению.

3) Кадры диафильма можно рассматривать на экране так долго, как это нужно для того, чтобы исчерпывающе разобрать изучаемый материал. Это позволяет учителю строить свое объяснение примени­тельно к уровню данного класса, учитывая индивидуальные особен­ности зрителей.

4) В отличие от серии диапозитивов диафильм состоит из кадров, расположенных в определенном порядке на едином носителе. Это позволяет автору излагать теоретический материал в диафильме последо­вательно, с позиций передовой методики. А так как порядок кадров в диафильме изменить нельзя, то учитель, работая с диафильмом, ведет

изложение программных вопросов методически правильно. Таким обра­зом, диафильм выступает в роли удобного методического помощника учителя. Кроме того, целостность, последовательность диалент дела­ет их весьма серьезным средством управления познавательной деятель­ностью учащихся.

Рассмотрим некоторые вопросы использования диафильмов в учеб­ной работе. Напомним, что диафильм — это серия кадров, объединен­ных смысловой связью и размещенных последовательно на прозрачной ленте. Связь между кадрами диафильма определяется содержанием учебной темы и структурой ее изучения в школе. В диафильмах учи­тель ясно ощущает заложенную в них методическую последователь­ность, структуру построения уроков. Молодому учителю эта предопре­деленность методических позиций может помочь в овладении мастер­ством преподавания. Опытный же учитель при желании может отойти от заложенной в диафильме методики, приспособив изложение к осо­бенностям своего класса. Но в любом случае работа с диафильмом должна оптимизировать учебный процесс. Чтобы добиться этого, не­обходимо выполнять общие дидактические требования в использова­нии диафильмов. Эти требования состоят в следующем: 1) обязательно разъяснять ученикам познавательную задачу, проблему так, чтобы она стала их личной задачей, проблемой; возбуждать интерес к ним, мобилизуя познавательные усилия учеников, и прежде всего их вни­мание; 2) обсуждать с учащимися способы решения задачи, проблемы, разрабатывать гипотезы и пути их проверки; 3) восстановить в памяти учеников предшествующий познавательный опыт, необходимый для усвоения нового, передаваемого непосредственно с помощью диафиль­ма; 4) подготовив учеников к восприятию материала диафильма, не устраняться от управления познавательным процессом во время ис­пользования диафильма на уроке, обращать внимание учеников в нужных случаях на главные объекты, ставить дополнительные вопро­сы и, если необходимо, обсуждать их.

Большое значение для правильного применения диафильмов имеет и учет возрастных особенностей восприятия школьниками материала диафильма. Максимальная длительность работы с диафильмами для учащихся VI—VIII классов не должна превышать 20 мин. При этом количество кадров, демонстрируемых на одном уроке, должно быть не более 10—15. В противном случае наблюдается резкий спад усвое­ния информации.

Эффективность обучения с помощью диафильмов зависит от пра­вильного выбора приемов их использования. Часто при использовании диафильмов можно наблюдать, как учитель сводит свои комментарии лишь к чтению субтитров (надписей на кадре). Этот прием оправдан лишь в том случае, когда в качестве надписи дано определение но­вого понятия или задание к кадру. В других случаях субтитр должен входить составной частью в рассказ или беседу учителя по теме, ко­торой посвящен диафильм или отдельная часть его. Чтобы добиться этого, учитель должен хорошо знать содержание диафильмов.

Результативность работы с диафильмом зависит также и от того, в каких условиях происходит демонстрация диафильма. Нецелесообразно для работы с диафильмом затемнять помещение, так как, во-первых, в затемненном классе значительное время требуется для адап­тации учителя и учеников при переходе от света к темноте и обратно. Кроме того, учащимся нужно психологически переключиться к прие­му информации в разных условиях, что нарушает устойчивость вни­мания — качество, чрезвычайно важнее для успешного обучения. Во-вторых, применение диафильмов в затемненном помещении в сущ­ности значительно уменьшает и методы обычной учебной деятельности. Преподаватель не только не может предложить учащимся иные фор­мы работы, кроме «смотри», «слушай», «запоминай», но и сам не спо­собен управлять учебным процессом до окончания демонстрации диа­фильма.

Избежать указанных недостатков в работе с диафильмами можно тогда, когда демонстрация диафильма проводится в классах без затем­нения, что достигается применением соответствующих диапроекторов, например диапроектора «ЛЭТИ-60».

Работа с диафильмом в классе без затемнения дает возможность из­бежать смены световых режимов в процессе учебной работы, расши­ряет формы учебной деятельности учащихся (параллельная работа с тетрадью, учебником, таблицей и др.), создает возможность эффектив­но контролировать учебную деятельность учащихся, наблюдать за их реакцией и целенаправленно управлять их познавательной деятель­ностью, позволяет осуществлять проекции кадров диафильма непо­средственно на классную доску с последующим выполнением на по­лученном от проекции изображении дополнительных построений, на­несением необходимых обозначений и др.

Значительно лучших результатов при работе с диафильмом можно достичь, если он используется в комплексе с другими средствами обучения. Например, при рассмотрении параллельной проекции и ее свойств в IX классе можно использовать кадры 3—19 диафильма «Параллельная проекция» (автор В. Семаков, студия «Диафильм», 1965 г.) в комплексе с первой частью (фрагменты 1—7) кинофильма «Параллельная проекция» (автор сценария А. Громов, студия «Школ-фильм», 1959 г.). Демонстрация указанной части кинофильма позво­ляет учащимся в динамике показать, что параллельное проектирова­ние есть переход от данной фигуры к ей соответствующей фигуре. По окончании демонстрации кинофрагментов проводится изложение этого материала с помощью кадров диафильма в темпе, соответствую­щем уровню класса.

Рассмотрим еще один из вопросов методики применения диафиль­мов в учебной работе по математике, а именно вопрос о том, на каких этапах обучения может быть использован диафильм.

Выпускаемые студией «Диафильм» диафильмы предназначены глав­ным образом для использования их в процессе изложения нового ма­териала и на этапе первоначального закрепления изученных вопро­сов теории. Однако они могут быть использованы в процессе повторе­ния пройденного материала и для проверки знаний учащихся.

Демонстрируя диафильм в ходе изложения нового материала, учитель должен широко раскрыть необходимый для урока объем информации, заложенный в кадрах диафильма. Как уже указывалось, ограничиваться только демонстрацией кадров и чтением надписей без комментариев педагогически нецелесообразно.

Рассмотрим применение в V классе диафильма «Геометрические преобразования» (автор М. Волович, «Диафильм», 1976 г.).

Прежде всего отметим, что кадры указанного диафильма пред­назначены для обсуждения материала со всеми учащимися в классе. Например, кадр 1 (рис. 71) позволяет подготовить учащихся к знаком­ству с теми геометрическими преобразованиями, которые изучаются в курсе V класса. Учитель может поставить перед классом такую, на­пример, задачу: «Каким образом совместить лист, на котором «отпе­чаталась» верхняя левая фигура с правой нижней фигурой? С правой верхней фигурой?» В ходе обсуждения ученики, которые еще ничего не знают ни о центральной, ни об осевой симметрии, фактически полу­чают первое представление об этих преобразованиях. Кадр 4 (рис. 72) дает достаточный материал для подведения учащихся к определению центрально-симметричных точек. Основой кадра 5 служит рисунок 73. Над ним в кадре помещен текст: «Две точки А и В называются симметричными относительно точки О, если точка О — середина от­резка АВ». Под рисунком текст: «Назовите точки, симметричные от­носительно точки О».

В ходе обсуждения текста, содержащегося в кадре, должно быть выяснено, что для установления симметричности двух точек А и В относительно точки О необходимо проверить наличие двух свойств: 1) точка О принадлежит отрезку, соединяющему две данные точки А и В; 2) точка О является серединой отрезка АВ. Наличие в кадре чертежа, на котором имеются пары точек, симметричных относительно точки О, помогает учителю организовать фронтальную работу уча­щихся по закреплению определения.

Методика использования диафильмов при повторении и закрепле­нии изученного материала менее сложна, чем в предыдущем рассмот­ренном случае. С помощью диафильма проводить повторение целесо­образно после того, как будет закончено изучение программной темы или целого раздела. Следует только при этом учитывать, что повторе­ние должно способствовать систематизации пройденного, установле­нию связи между отдельными положениями, сравнению с изученным ранее. Хороших результатов при повторении можно достичь и в слу­чае, если используется диафильм, раскрывающий практическое при­менение изученных вопросов теории. Например, при повторении темы «Четырехугольники» можно использовать первый фрагмент диафильма «Практическое применение геометрии» (автор В. Семаков, студия «Диа­фильм», 1963 г.). В кадрах этого фрагмента рассмотрено практическое применение свойств параллелограмма, ромба, прямоугольника.

Эффективным средством обучения являются и диапозитивы. Они позволяют организовать проведение самостоятельных и контрольных работ, опрос и т. д. Особенно полезно применять диапозитивы при обучении решению задач. В отличие от диафильмов серия диапозити­вов состоит из разрозненных кадров. Поэтому, готовясь к уроку, учитель может отобрать нужные ему диапозитивы (даже из разных серий) и расположить их в нужном порядке для демонстрации на уроке. При отборе диапозитивов и выборе порядка их следования учитыва­ются как возможности класса, так и особенности принятой учителем методики преподавания.

Перейдем к характеристике кинофильмов. В преподавании мате­матики находят применение как полнометражные фильмы (длитель­ность демонстрации свыше 10 мин), так и короткометражные (длитель­ность демонстрации до 10 мин). Большинство из выпущенных полно­метражных (целостных) фильмов по математике носят обзорный харак­тер. Это кинофильм-экскурсия, кинофильм по истории математики, кинофильм, посвященный материалу, являющемуся самостоятель­ным разделом курса математики, например «Тригонометрические функции» и др. Большая продолжительность демонстрации полноме­тражного фильма на длительное время выключает преподавателя из педагогического процесса. Он не может тут же объяснить учащимся трудное место, обсудить различные способы достижения того же явле­ния или решения. В свою очередь учащиеся вынуждены откладывать «на потом» свои вопросы к учителю. Поэтому наиболее эффективны пол­нометражные кинофильмы при повторении, закреплении, обобщении материала и т. д.

Короткометражные фильмы (кинофрагменты, кинокольцовки) обыч­но посвящаются рассмотрению одного-двух вопросов курса математи­ки и служат для использования на уроке при предварительном зна­комстве с новым материалом. Демонстрировать кинофильмы желатель­но при частичном затемнении помещения, чтобы учащиеся могли в слу­чае необходимости отметить что-либо в тетрадях. Тогда возрастает возможность обсудить кинофрагмент после его демонстрации.

В отличие от кинофрагмента кинокольцовка может быть показана подряд любое число раз. При многократном повторении кадров кино­кольцовки учитель получает возможность привлекать внимание уча­щихся, не обладающих хорошо развитыми навыками наблюдения, хо­рошими пространственными представлениями и воображением. Ис­пользование кинокольцовок не только позволяет объяснить ученикам последовательность доказательств теорем или последовательность решения задачи, но и дает возможность тренировать ученика. Можно, например, после просмотра материала в звуковом варианте снова по­казать его без звука с комментариями ученика. Таким образом, кино­кольцовка является весьма эффективным кинопособием и должна ис­пользоваться во всех случаях, когда позволяет материал.

Итак, наиболее типичным для урока математики является исполь­зование коротких кинофрагментов, которые органически включаются в состав урока. Однако эффективность использования кинофильмов на уроках математики зависит не только от характера кинопособия. Здесь большую роль играет и подготовка учащихся к восприятию кино­информации. Для этого учителю необходимо самому просмотреть кино­фильм, установить, на что обратить особое внимание при его просмотре, поставить перед классом вопросы по содержанию фильма, организо­вать обсуждение фильма после его просмотра. Только проведение тщательной подготовительной работы, организация целенаправленной деятельности учащихся во время и после просмотра кинофильма мо­гут дать желаемые результаты.

Наряду с проекторами для демонстрации кинофильмов, диафиль­мов и диапозитивов в практике обучения математике достаточно ши­роко применяется еще один вид проектора — это кодоскоп (или класс­ная оптическая доска). До недавнего времени в школе применялась устаревшая модель кодоскопа с размерами рабочего окна 104 х 140 мм. На смену ему пришел современный аппарат — графопроектор «Лек-тор-2000» с окном, соответствующим мировому стандарту (250 х X 250 мм).

С помощью графопроектора можно любой учебный материал (текст, чертеж, рисунок), нанесенный на прозрачную основу фотогра­фическим или графическим способом, спроектировать на экран или классную доску. Материалы на прозрачной основе для графопроекто­ра будем называть кодопозитивами или транспарантами.

Рассмотрим возможности, которые появляются при применении графопроектора на уроках математики. 1) Графопроектор дает доста­точно яркое и сравнительно больших размеров изображение, что поз­воляет проектировать кодопозитив непосредственно на доску, на ко­торой возможно мелом достраивать изображение, дополнять его и т. д. 2) Учитель может не только пользоваться заранее заготовленными ко­допозитивами, но показывать при помощи графопроектора записи, непосредственно выполненные на уроке. С этой целью можно исполь­зовать любой лист прозрачного материала (целлофана, целлулоида, полиэтилена и т. д.). На экране учащиеся сразу же увидят все записи, выполняемые учителем. Можно часть записей подготовить заранее, до урока, а в классе лишь дополнить их. 3) Существенно, что при работе с графопроектором учитель все время стоит лицом к классу и может наблюдать за учащимися и более эффективно руководить их работой. Это создает ряд преимуществ по сравнению с традиционным методом работы на доске. 4) При использовании графопроектора можно нало­жить несколько кодопозитивов друг на друга, чем достигается эффект присутствия при построении и создаются большие возможности для составления условий задач на комбинации геометрических тел, на графическое решение уравнений и их систем, на построение сечений и т. д. Представляет интерес и возможность смещения кодопозитивов друг относительно друга при их совмещенном показе, например при изучении геометрических преобразований. 5) Новые возможности до­стигаются при использовании графопроектора в ходе опроса учащих­ся. Учащимся предлагается на листах пленки написать доказатель­ство теоремы, вывод формулы, решение задачи и т. п. После этого записи учеников демонстрируются через графопроектор всему классу. Если при этом окажется, что требуется внести исправления, ученик возвращается с выполненными на пленке записями на свое место, где и устраняет допущенные недочеты. Графопроектор удобно использо­вать при объяснении и закреплении нового материала, при выполне­нии разнообразных математических упражнений и решении задач, при проведении самостоятельных и контрольных работ, для организации индивидуальной работы с учащимися на уроке, для записи домаш­него задания. Незаменим графопроектор и во внеклассной работе при решении занимательных и логических задач, разгадывании ребу­сов и др.

Рассмотрим более подробно применение кодопозитивов. Объясне­ние нового материала на уроке часто связано с доказательством различ­ных теорем. Для лучшего усвоения как условия, так и доказательства теоремы учитель может заранее заготовить набор кодопозитивов. Например, на первом кодопозитиве учитель сделает запись формулиров­ки теоремы, на втором — чертеж к теореме, на третьем — вспомога­тельные линии, на четвертом — запись начала доказательства и на пятом — запись заключительной части доказательства теоремы. Имея такой набор кодопозитивов, учитель вначале накладывает на конден-сорную линзу графопроектора первый из них и обсуждает с учащими­ся формулировку теоремы. Затем он накладывает сверху второй кодо­позитив и на экране рядом с записью теоремы появляется чертеж. Те­перь учитель имеет возможность обсудить различные способы дока­зательства теоремы. При этом, если изображение проецируется на доску, можно попросить учащихся наметить на доске (мелом) те вспо­могательные линии, которые потребуются для проведения доказатель­ства. Если линии проведены неверно, их можно стереть, а чертеж, соз­даваемый на доске графопроектором, останется. После обсуждения можно стереть все записи на доске и наложить третий кодопозитив с нанесенными на нем вспомогательными линиями. Когда учащиеся перенесут в свои тетради чертеж, учитель накладывает четвертый лист с записью начала доказательства. Наконец, после того как эта часть доказательства обсуждена и перенесена учащимися в тетради, учитель накладывает последний, пятый кодопозитив и обсуждает ко­нец доказательства. Для того чтобы «стереть» все написанное, доста­точно снять кодопозитивы с графопроектора. При необходимости учитель может бегло повторить все доказательство, накладывая еще раз один за другим кодопозитивы.

Для того чтобы совмещение кодопозитивов при их наложении друг на друга было более точным, их соединяют по краям при помощи лип­кой ленты. Таким образом можно соединить до пяти кодопозитивов (рис. 74).

Применение накладного кодопозитива дает возможность учителю в любой момент буквально за несколько секунд воспроизвести нужный этап решения задачи.

Еще одна форма работы с графопроектором — смещение двух или большего числа транспарантов относительно друг друга при их сов­местном показе. Для иллюстрации рассмот­рим следующий пример. Учитель имеет два транспаранта, на одном из которых изобра­жена координатная плоскость, а на дру­гом — график функции у = х2, но без осей координат. С помощью этих транспарантов учитель может: а) по-разному накладывая один на другой, задавать вопросы о знаке коэффициентов а, Ь и с получившегося графика трехчлена +о знаке дискриминанта, о характере корней, о координатах вершины и т. д.; б) иллюстрировать сдвиги графиков, т. е. пере­ход от графика у = f(х) к графику у = f (х + р) + q на примере функциив) задавать учащимся вопросы типа «Как выглядит график трехчлена у которого а < О, а оба корня отрицательны?» и предлагать им отвечать на эти вопросы, перемещая транспарант с параболой на графопроекторе; г) иллюстрировать ре­шение квадратных неравенств и т. д. Более того, имея, кроме транспа­рантов с изображением координатной сетки и параболы, еще один, на котором нанесена прямая линия, можно, по-разному накладывая тран­спаранты с прямой и параболой на координатную сетку, иллюстриро­вать графическое решение системы уравнений вида

При проведении самостоятельных и контрольных работ можно ис­пользовать заранее подготовленные кодопозитивы с текстами заданий. При проверке результатов выполнения самостоятельных работ можно поступить так: ученикам предлагается задание, которое некоторые уча­щиеся выполняют на пленке. С помощью графопроектора записи прое­цируются на доску. Работа ученика будет видна всем, ее можно обсудить. При анализе ошибок, допущенных в самостоятельных и контрольных работах, можно показать целые кодофильмы (ленты), где указаны типичные ошибки и фамилии учащихся, допустивших эти ошибки.

Подведем итоги. Существуют два основных способа использования графопроектора на уроках математики. Первый способ — изготовление самодельных кодопозитивов и показ их на уроке. При таком примене­нии графопроектор аналогичен диапроектору, хотя и имеет перед ним определенные преимущества: большая яркость изображения на экра­не и большее удобство при вычерчивании изображения (за счет вели­чины кадра). Именно так используется графопроектор при проведении опроса учащихся. Однако наиболее существенным для урока математи­ки является второй способ использования графопроектора — создание на экране (или на доске) изображений, части которых могут пере­мещаться относительно друг друга; могут дополняться вновь воз­никающими частями изображения, надписями, подчеркиваниями и т. д.

Разумеется, эта динамика изображений, создаваемых с помощью графопроектора, имеет свои рамки и ограничения: передвигающиеся фигуры не могут менять свои размеры и форму, нельзя показать по­добное растяжение фигур или поворот многогранника в пространстве и т. д. И тем не менее, несмотря на эти ограничения, графопроек­тор можно охарактеризовать как динамичное экранное средство обу­чения.