§ 3. Содержание школьного курса математики

Школьным учебным планом на изучение математики с I по X класс отводится около 2000 учебных часов¹. Кроме того, дополнительные часы на изучение математики предусматриваются в системе факуль­тативных курсов (VII—X классы)².

Нормативным, обязательным для выполнения документом, опреде­ляющим основное содержание школьного курса математики, объем подлежащих усвоению учащимися каждого класса знаний, приобре­таемых умений и навыков, является учебная программа по математи­ке.

Учебная программа советской школы основывается на принципах соответствия программы основным целям школы, обеспечивает пре­емственность получаемой учащимися подготовки в I—III классах (начальная школа), IV—VIII классах (восьмилетняя школа), IX—X классах (средняя школа).

Учащиеся, которые после окончания восьмилетней школы будут завершать среднее образование в системе профессионально-техничес­ких училищ, в средних специальных учебных заведениях, в вечерних (заочных) школах, должны получить математическую подготовку в том же объеме, что и учащиеся, оканчивающие среднюю общеобразо­вательную школу. Таким образом, все учащиеся, получившие среднее образование, приобретают равную возможность для продолжения образования.

Предусмотренное программой содержание школьного математиче­ского образования, несмотря на происходящие в нем изменения, в те­чение достаточно длительного времени сохраняет свое основное ядро. Такая устойчивость основного содержания программы объясняется тем, что математика, приобретая в своем развитии много нового, сохраняет и все ранее накопленные научные знания, не отбрасывая их как устаревшие и ставшие ненужными.

«Ядро» современной программы по математике составляют:

1. Числовые системы.

2. Величины.

3. Уравнения и неравенства.

4. Тождественные преобразования математических выражений.

5. Координаты.

6. Функции.

7. Геометрические фигуры и их свойства. Измерение геометри­ческих величин. Геометрические преобразования.

8. Векторы.

9. Начала математического анализа.

10. Основы информатики и вычислительной техники.

Каждый из вошедших в это «ядро» разделов имеет свою историю развития как предмет изучения в средней школе. На каком возраст­ном этапе, в каких классах, с какой глубиной и при каком числе часов изучаются эти разделы, определяет программа по математике для средней школы³. Вопросы их изучения будут подробно рассматри­ваться в специальной методике преподавания математики. Сейчас ограничимся отдельными краткими пояснениями.

Раздел «Числовые системы» изучается на протяжении всех лет обучения. В школьную программу вопросы числовых систем входили уже в далеком прошлом. Но с течением времени происходило значи­тельное снижение возраста, в котором учащиеся изучали включаемые в программу темы, возрастала глубина их изложения. В настоящее время изыскиваются возможности включения в программу заключи­тельной темы этого раздела - «Комплексные числа».

Изучение величин в программах и учебниках по математике не вы­делено в специальный раздел. Но на протяжении всех лет обучения учащиеся выполняют действия с различными величинами при реше­нии задач, особенно задач, отражающих связи курса математики с дисциплинами естественнонаучного, технического циклов.

Изучению уравнений и неравенств посвящается значительная часть всего учебного времени. Особая значимость этой темы состоит в широком применении уравнений и неравенств в самых различных областях приложений математики. До недавнего времени системати­ческое изучение уравнений начиналось лишь с VI класса. В течение последних десятилетий знакомство с уравнениями и применение урав­нений к решению задач вошло в курс математики начальной школы и IV—V классов.

Выполнение тождественных преобразований, овладение специфи­ческим языком математики требуют от учащихся не только понима­ния, но и отработки прочных практических навыков на достаточно большом числе тренировочных упражнений. Такие упражнения, со­держание которых в каждом разделе курса обладает своими особен­ностями, выполняются учащимися всех классов.

Координаты и функции вошли в курс математики средней школы только в первой четверти XX в. Характерной особенностью совре­менного школьного курса математики являются расширение этих разделов и возрастающая роль метода координат и функций в изуче­нии других тем школьной программы.

Наибольшую остроту в обсуждении вопросов его содержания при­обрел в последние десятилетия курс геометрии. Здесь в значительно больших размерах, чем в других разделах школьного курса математи­ки, возникли проблемы соотношения традиционного содержания с необходимыми новыми дополнениями. Однако при всех различиях в подходах к решению этой проблемы получило общее одобрение вклю­чение в курс геометрических преобразований.

Векторы впервые вошли в курс геометрии нашей школы только в середине 70-х годов. Большая общеобразовательная значимость этой темы, обширные практические применения обеспечили ей общее при­знание. Однако вопросы доходчивого для всех учащихся изложения этого раздела в школьных учебниках, применения векторов к решению содержательных задач находятся еще в стадии разработки и могут найти свое решение только на основе глубокого анализа и учета ре­зультатов школьного преподавания.

Элементы математического анализа вошли в программу советской общеобразовательной школы недавно. Включение в программу этих разделов вызвано их большой идейной и прикладной значимостью.

Последний из разделов — основы информатики и вычислительной техники — отражает требования, предъявляемые к современной ма­тематической подготовке молодежи в связи с широким внедрением в практику электронно-вычислительных машин.

Как отмечалось ранее, новые научные достижения, их развитие и внедрение в практику приводят к пересмотру школьного курса математики. Происходит идейное и прикладное обогащение курса. Кроме того, из содержания школьного образования исключаются менее важные разделы и на смену им приходят новые вопросы, приобретаю­щие более высокую как теоретическую, так и практическую ценность. С развитием математики и ее приложений возрастает число разделов, обоснованно ждущих своего включения в школьный курс математики. Но возможности общего среднего образования небеспредельны, они ограничены как сроком обучения, так и пределами разумной учебной нагрузки учащихся. Несмотря на то что уже сейчас стало ясным, что для всеобщего среднего образования важно иметь в курсе сред­ней школы элементы теории вероятности, статистики, что важно стро­ить школьный курс так, чтобы учащиеся были подготовлены к вос­приятию новых аспектов прикладной математики, эти назревшие вопросы оказались весьма сложными для их практической реализа­ции. Возможные формы включения ряда новых разделов в обяза­тельный курс математики средней школы пока не найдены. В связи с этим обсуждается вопрос о том, что именно из прикладных вопросов должно войти в школьное обучение в ближайшем будущем. В то же время высказывается и такое мнение, что в программу не надо вво­дить специальных разделов прикладной математики, а идти по пути включения в курс таких тщательно отобранных задач, решение кото­рых приводит к рассмотрению ситуаций, которые нужно математизи­ровать, чтобы прийти затем к математическим моделям. Таким образом, предполагается установить более тесную взаимосвязь теоретического содержания математического образования с практикой применения учащимися приобретаемых математических знаний.

Пока все эти и ряд других, важных в своем прикладном значении разделов математики изучаются в школьных факультативах, на вне­классных занятиях. Из сказанного видно, что с течением времени содержание школьного математического образования расширяется. Возникает вопрос: каким образом всевозрастающий объем школьного курса математики остается возможным изучать в примерно остающее­ся стабильным учебное время?

Как показывает история развития школьного математического образования, это становится выполнимым в результате:

1) происходящего в изучаемом предмете процесса обобщения (ге­нерализации) входящих в него понятий, рассматриваемых фактов;

2) все возрастающего применения математических знаний и их приложений в повседневной практике, что приводит к предваритель­ному ознакомлению детей в их жизненном опыте с понятиями, подле­жащими изучению;

3) совершенствования методов и средств обучения.

Включение в школьный курс основных разделов становится воз­можным, если каждый из перечисленных факторов учтен в должной для этого мере.

Выделенное ядро школьного курса математики составляет основу его базисной программы, в которой материал расположен не по классам, а по ступеням обучения (I—III, IV—V, VI—VIII, IX—X классы) и излагается согласно логике развития ведущих научно-методических линий.

Базисная программа обязательна для всех учебных заведений, да­ющих среднее образование, она является для них исходным докумен­том для разработки тематических программ. В тематической про­грамме для средней школы, кроме распределения учебного материала по классам, излагаются требования к знаниям, умениям и навыкам учащихся, раскрываются межпредметные связи, примерные нормы оценок. В программе подробно освещаются вопросы формирова­ния научного мировоззрения, воспитания учащихся в процессе обу­чения.

В содержании математического образования, в результатах, кото­рые должны быть получены в процессе обучения, можно выделить следующие аспекты:

I₁. Совокупность необходимой для усвоения и запоминания ин­формации.

I₂. Система выводимых одно из другого понятий.

II₁. Совокупность приобретаемых оперативных навыков.

II₂ . Система взаимосвязанных способностей.

В последние десятилетия предметом острых дискуссий стали во­просы о том, какова в современных условиях значимость каждого из этих аспектов. Не происходит ли постепенная утрата значимости ас­пектов I₁ и II₁ при возрастающей значимости для результатов процес­са обучения аспектов I₂ и II₂?

Но становится все более очевидной необходимость одинаково большого внимания к каждому из этих аспектов, причем каждый из них получает свое развитие, приобретает новые особенности.

Нарушение этого требования влечет за собой отрицательные по­следствия, и прежде всего возникновение формализма в математиче­ской подготовке учащихся: приобретаемые учащимися знания не становятся опорой для осознанного приобретения необходимых прак­тических навыков; получаемые практические навыки, не подкреплен­ные знаниями, быстро утрачиваются или применяются там, где это применение не является необходимым и даже не имеет смысла.