Статистические методы

Математическая статистика имеет два больших раздела

УЭ № 41

Среднее арифметическое (средний балл, среднеарифметическая оценка и т.д. и вообще средние величины) – это обобщающий показатель, в котором находит выражение действие общих условий, закономерность изучаемого явления. В статистике различают средние: арифметическая, геометрическая, гармоническая и квадратическая. Они являются частными случаями степенной средней (при = 1 – средняя арифметическая, = 0 – средняя геометрическая, =-1 – средняя гармоническая, =-2 – средняя квадратическая).

Воспользуемся фрагментом статьи (19), которая содержит достаточно полный и исчерпывающий ответ.

… Распространенным способом оценки успеваемости данной группы обучающихся стала так называемая средняя успеваемость, которая представляет среднеарифметическую оценку членов этой группы. Она вычисляется по формуле:

Х_i , (1)

где Х является среднеарифметической оценкой (так называемая средняя успеваемость); n – общее число оценок (число обучающихся); Х₁ является оценкой i-го ученика (Х₁=2,3,4,5) (Гласс Дж. Стенли Дж. Статистические методы в педагогике и психологии. – М., 1976. – С. 61).

Если некоторые оценки повторяются, то применяется формула:

m_j х_j , (2)

где m_j – абсолютная частота j – оценки; где х_j – оценка (Х₁=2, Х₂=3, Х₃=4, Х₄=5), а:

m_j

Если четверок 9, значит – Х₃=4, m₃ = 9 и т.д. Пусть в некоторой группе было получено: 2 двойки, 9 троек, 14 четверок и 10 пятерок. Тогда по формуле (2):

Если в формулу (2) ввести множитель 1/n под знак суммы, то в результате получим:

(3)

Величина m_j / n называется относительной частотой j-й оценки. Если заменим отношение m_j / n на p_j в формуле (3), получаем формулу:

P_j Х_j (4)

По данным нашего примера, относительные частоты Р_j равняются: Р₁ = 0,057, Р₂ = 0,257, Р₃ = 0,400 и Р₄ = 0,286.

Тогда для средней успеваемости той же группы по формуле (4) получаем:

= 3, 91

Формулы (3) и (4) более пригодны для работы с группами большой множественности.

Средняя успеваемость – статистическая величина, позволяющая только с помощью одного числа (Х) произвести оценку успеваемости группы обучающихся, легко и просто вычисляемую. Однако она содержит в себе вместе с преимуществами и некоторые недостатки. Часто некоторые существенные характеристики успеваемости в данной группе остаются невыявленными. Поэтому целесообразно ввести другой показатель успеваемости.

УЭ № 42

Медиана, мода, модальное значение– особые показатели, которые в статистике называют структурными средними и характеризуют структуру совокупности. Мода – это чаще всего встречающийся вариант (иногда «варианта выборки»), наиболее часто встречающееся или типичное значение.

Выражаясь языком статистики «мода – это в дискретном ряду та варианта, которая встречается с наибольшей частотой».

Медиана – это «срединное наблюдение в ряду распределения». Величина, которая делит численность упорядоченного вариационного ряда на две равные части: одна часть имеет значения варьирующего признака меньше, чем средний вариант, а другая – больше. Понятие медианы легко уяснить из следующего примера. Для ранжирования ряда (т.е. построенного в порядке возрастания или убывания индивидуальных величин) с нечетным числом членов медианой является варианта (индивидуальное значение признака), расположенная в центре ряда.

Воспользуемся выдержкой из указанной ранее статьи.

… На рисунке показаны гистограммы распределения оценок по четырем группам (1, 2, 3, 4). Средняя успеваемость в четырех группах одинакова. Но независимо от одинаковой средней успеваемости (Х₁=3,69; Х=3,69; Х₃=3,69; Х₄₌3,69) действительная картина успеваемости в четырех группах совершенно различна. В первой группе немного двоек (2) и много троек (16), во второй – наибольшее число (18) – четверки, а пятерок мало (5). В третьей группе больше всего пятерок (10), общее число пятерок и четверок 18. Число пятерок и четверок в четвертой группе 22, но много слабых оценок (10).

Эти гистограммы дают наглядное и полное представление распределения оценок в каждой группе. Гистограммы детальнее и полнее отражают различия в успеваемости в четырех группах, чем показатель средней успеваемости.

Кроме средней оценки в качестве параметра, характеризующего распределение оценок, используетсяоценка, встречаемая чаще всего.

В теории вероятности и в математической статистике чаще всего встречающееся значение случайной величины (у нас оценка), самое вероятное значение, называется средненевероятным значением, модальным значением, или коротко – модой. В нашем случае модальная успеваемость (Х_в) для первой группы – три (Хв₁=3), для второй – четыре (Х_в2=4), для третьей – пять (Х_в2=5), четвертая группа имеет две моды (Х_в4=2 и Х_в4=5). Распределение в четвертой группе двумодальное.

Мода – статистическая величина, которая легко определяется без вычислений. Она дает возможность произвести глубокий качественный анализ состояния и изменений успеваемости в различных группах. Она является простым способом оценки и сравнения данных.

Анализируя среднюю успеваемость в группах (Х₁=3,69; Х₂=3,69; Х₃=3,69; Х₄=3,69), можно сделать вывод о том, что результаты в четырех группах одинаковы. Анализируя и модальную успеваемость (Хв) – (Х_В=3; Х_В2=4; Х_В3=5; Х_В4=2 и Х_В4=5), получаем новые данные для количественного и качественного анализа.

Однако мода, в качестве параметра, характеризующего данное распределение, обладает и недостатками. Неточность, с которой определяется средняя вероятная успеваемость (Х_В, больше, чем при определении средней успеваемости . Оценка успеваемости в различных группах затрудняется, когда распределение в одной из них – двумодальное (как в четвертой группе).

УЭ № 43

Дисперсия – характеризует вариацию признака, которая зависит от всех условий в данной совокупности, а на практике меру вариации объективно отражает показатель дисперсии (– средний квадрат отклонений), определяемый как средняя из отклонений, возведенных в квадрат :

;

- называется среднеквадратичным отклонением и является мерой вариации (т.е разброса, рассеяния) признака. Средняя величина отражает тенденцию развития, т.е. действие главных причин (факторов), а измеряет силу воздействия прочих факторов.

Дидактический смысл хорошо изложен в одной из статей академиком В.П. Беспалько:

… Начнем с оценки качества подготовленности школьников по отдельным предметам учебного плана. Для такой оценки может использоваться объективный контроль и полученный в итоге средний приведенный балл успеваемости по предмету, который определяется как разность среднего балла успеваемости в классе (школе) и разброса (среднего квадратического отклонения) оценок вокруг него. Приводим математическое выражение этой оценки: -,где – средний балл успеваемости в классе (школе);, гдеХi – оценки отдельных учащихся, n – общее число учеников в классе (школе); – среднее квадратическое отклонение оценок:

«Дидактический смысл среднего квадратичного отклонения () в приведенном балле успеваемости (Х) состоит в том, что им характеризуется степень индивидуализации обучения и однородности успеваемости в классе. Этим снимается иллюзорная информативность, а на самом деле дезиформативность средних субъективных оценок, из-за которых и появилась болезнь, называемая процентоманией. Наиболее информативным данный показатель становится при использовании двенадцатибалльной шкалы, построенной на основе четырех уровней усвоения» (см. тезисы по УЭ № 40).

УЭ № 44

Коэффициент вариации. Колеблемость отдельных значений признака внутри изучаемой совокупности характеризуют показателями вариации, одним из которых (и наиболее распространенным) и является коэффициент вариации.

Определяется как отношение среднеквадратичного отклонения к средней арифметической в процентах:

Коэффициент вариации оценивает типичность средних величин.

(Псевдотесты к вопросу - см.с.87-93 - № № 13-42).

Примечание. Для желающих разобраться с УЭ № 4, и №№ 13,14,38 - 44 рекомендуем Сидоренко Е.В. «Методы математической обработки в психологии».- СПб.: ООО «Речь», 2003. - 350с.