Getmanova_A_D_-_Logika

Понятие логического следования

Выведение следствий из данных посылок - широко распространенная логическая операция. Как известно, условиями истинности заключения является истинность посылок и логическая правильность вывода. Иногда в ходе доказательства от противного допускаются в рассуждении заведомо ложные посылки (так называемый антитезис при косвенном доказательстве) или принимаются посылки недоказанные, однако эти посылки обязательно подлежат в дальнейшем исключению.

Человек, не изучивший логики, делает эти выводы, не применяя сознательно фигур и правил умозаключения. Формальная логика знакомит с правилами различных видов умозаключений. Математическая логика дает формальный аппарат, с помощью которого в определенных частях логики можно выводить следствия из данных посылок. Используя этот аппарат, мы можем, имея некоторые данные, получить из них новые сведения, непосредственно не очевидные, но заключенные в этой информации, можем выводить логические следствия, вытекающие из данной информации.

Логическое следствие из данных посылок есть высказывание, которое не может быть ложным, когда эти посылки истинны.

Иными словами, некоторое выражение В есть логическое следствие из формулы А (где А и В - метазнаки для различных по форме высказываний), если, заменив те конкретные элементарные высказывания, которые входят в А и В, переменными, мы получим тождественно-истинное выражение (А → В), или закон логики.

138

Возьмем такой пример. Нам даны три посылки: 1) “Если Иван -брат Марьи или Иван - сын Марьи, то Иван и Марья -родственники”; 2) “Иван и Марья - родственники”; 3) “Иван - не сын Марьи”. Можно ли из них вывести логическое следствие, что “Иван - брат Марьи”? Многим сначала кажется, что такое логическое заключение из данных трех посылок будет истинным. Чтобы проверить это, следует составить формулу этого умозаключения. Обозначим суждение “Иван - брат Марьи” буквой (переменной) а, суждение “Иван - сын Марьи” - буквой b и суждение “Иван и Марья - родственники” - буквой с.

Запишем нашу задачу символами (над чертой записаны три данные посылки, под чертой - предполагаемое заключение):

(a ύ 6)→ c, c,b

Объединив три посылки знаком конъюнкции (“^”) и присоединив к ним посредством знака “” предполагаемое заключение а, получим формулу:

(((а ύ b)→ c)^c^b)→ a

Нам нужно проверить, является ли данная формула, в которой а, b, с трактуются теперь как переменные, законом логики.

Составим для формулы таблицу:

а	b	с		a ύb	(aύb)→ с	((a ύ b)→ c)^c^	(((aύ b)→ с) ^ с ^)→ а
И	И	И	Л	Л	И	Л	И
И	И	Л	Л	Л	И	Л	И
И	Л	И	И	И	И	И	И
И	Л	Л	И	И	Л	Л	И
Л	И	И	Л	И	И	Л	И
Л	И	Л	Л	И	Л	Л	И
Л	Л	И	И	Л	И	И	И
Л	Л	Л	И	Л	И	Л	И

139

В последней колонке формула в одном случае принимает значение “ложь”, значит, она не является законом логики. Следовательно, из данных трех посылок не следует с необходимостью заключение, что “Иван - брат Марьи”. Иван может быть племянником Марьи, или отцом Марьи, или дядей Марьи, или каким-либо другим родственником Марьи.

Этот пример показывает, что эффективность средств математической логики видна тогда, когда средствами традиционной формальной логики трудно установить, вытекает ли какое-либо следствие из данных посылок или нет, особенно в случае, когда мы , имеем дело с большим числом посылок (но не имеем еще дела с формулами, содержащими кванторы).

Содержание