Математическая логика

В XIX в. появляется математическая логика. Немецкий фило­соф Г. В. Лейбниц (1646-1716) - величайший математик и круп­нейший философ XVII в. - по праву считается ее основопо­ложником, Лейбниц пытался создать универсальный язык, с помощью которого споры между людьми можно было бы разре­шать посредством вычисления. При построении такого исчисления Лейбниц исходил из своего “Основного принципа разу­ма”, который гласил, что во всех истинных предложениях, общих или частных, с необходимостью или случайно предикат содер­жится в субъекте. Он хотел всякому понятию дать числовую ха­рактеристику и установить такие правила оперирования с эти­ми числами, которые позволили бы не только доказывать вообще

_________________________

'См.: Васильев Н. А. Воображаемая логика. М., 1989; Бажанов В. А. Ни­колай Александрович Васильев. М., 1988. (Эта книга- первая научная био­графия Н. А. Васильева, написанная на основе ранее неизвестных и непубли­ковавшихся материалов).

391

все истины, доступные логическому доказательству, но и открывать новые. В последнем обстоятельстве он видел особую слугу своей всеобщей характеристики. Лейбниц говорит о как о чудесном общем языке, имеющем свой словарь (т. е. характеристические числа, отнесенные к понятиям) и свою грамматику (правила оперирования с этими числами). Лейбниц хотел построить арифметизированное логическое исчисление в некоторой вычисляющей машины (алгоритма). Однако этого ему сделать не удалось.

В этой концепции Лейбница неприемлемо прежде всего что все содержание наших понятий якобы может быть выражено их характеристическими числами. Несостоятельным было и представление Лейбница о том, что человеческое мышление может быть полностью заменено вычисляющей машиной. ..

Лейбниц полагал, что математику можно свести к логике, а логику считал априорной наукой. Сторонников такого обоснования математики называют логицистами — представителями субъективно-идеалистического направления (считающего пер­вичным сознание человека) в обосновании математики.

Лейбниц является предшественником логицизма в том смысле, что он предложил сведение математики к логике и математи­зацию логики: построение самой логики как некоторой арифме­тики или буквенной алгебры. Но Лейбниц был предшественникам логицизма и в том, что пытался создать арифметизированное логическое исчисление, о котором мы говорили.

Покажем, как это делал Лейбниц. Возьмем такой категорический силлогизм:

+70, -30 +10, -3

Всякий мудрый есть благочестивый.

+70, -33 +8, -11

Некоторые мудрые богаты.

+8, -11 +10, -3

Некоторые богатые благочестивы.

392

Сверху над понятием написан выбранный наудачу правиль­ный (по Лейбницу) набор характеристических чисел для терми­нов посылок. Истинность общеутвердительного суждения “Все S суть Р” (первая посылка) выражается тем, что обе характери­стики субъекта делятся на соответствующие характеристики предиката, т. е. 70 (точно, без остатка) делится на 10, а - 33 де­лится на - 3, и числа, стоящие на диагоналях, - взаимно про­стые, т. е. + 70 и - 3 так же, как

-33 и + 10, взаимно простые числа. Истинность частноутвердительного суждения, по Лейбницу, должна выражаться таким правилом: числа, стоящие на диагоналях, должны быть взаимно простыми, т. е. не иметь об­щих делителей, кроме единицы.

+70,-33 +8,-11

Посылка “Некоторые мудрые богаты” имеет такие числа:

т. е. на обеих диагоналях стоят взаимно простые числа.

И заключение этому правилу также удовлетворяет, ибо на диа­гоналях стоят взаимно простые числа:

Истинность общеотрицательного суждения “Ни одно S не есть Р” у Лейбница выражалась тем, что по крайней мере на одной диагонали стоят не взаимно простые числа. Истинность частноотрицательного суждения выражалась тем, что по край­ней мере одна из характеристик субъекта не делится на соот­ветствующую характеристику предиката.

393

Чтобы воспользоваться исчислением Лейбница, нужно рассуждение облечь в форму силлогизма и посмотреть, правильный он или неправильный. Однако построенная Лейбницем система удовлетворяла этому требованию только в применении к правильным, по Аристотелю, построенным силлогизмам. Автором в стоящего учебника доказано, что все 19 правильных, по Аристотелю, модусов силлогизма окажутся правильными и по критерию Лейбница. Но в отношении неправильных модусов категоричес­кого силлогизма Аристотеля дело обстоит по-иному. Всегда можно построить такой пример, когда при разных правильных набоpax числовых характеристик для посылок получаются разные оценки заключения: в одних случаях оно оказывается истинным, в других - ложным.

Исчисление Лейбница, таким образом, не выдержало провер­ки, что, конечно, заметил и сам Лейбниц, перешедший в дальнейшем к построению буквенного исчисления по образцу алгебры. Но тоже неудачно.

Однако в этих замыслах Лейбница не все было неверно. Сам по себе метод арифметизации в математической логике играет весьма существенную роль как вспомогательный прием. В нем состоит, например, сущность метода, с помощью которого известный австрийский математик и логик К. Гёдель доказал неосуществимость лейбницевой мечты о создании такой всеобщей характеристики, которая позволит заменить все человеческое мышление вычислениями.

Ложной была именно метафизическая идея Лейбница о сведении всего человеческого мышления к некоторому матема­тическому исчислению. Поэтому были ложны и вытекающие из нее следствия.

Интенсивное развитие математическая логика получила в ра­ботах Д. Буля, Э. Шрёдера, С. Джевонса, П. С. Порецкого и дру­гих логиков.

Английский логик Джордж Буль (1815-1864) разрабатывал алгебру логики - один из разделов математической логики. Пред­метом его изучения были классы (как объемы понятий), соотно­шения между ними и связанные с этим операции. Буль перено­сит на логику законы и правила алгебраических действий.

394

В работе “Исследование законов мысли”', которая оказала боль­шое влияние на развитие логики. Буль ввел в логику классов в качестве основных операций сложение (“+”), умножение (“ * ” или пропуск знака) и вычитание (“-”). В исчислении классов сло­жение соответствует объединению классов, исключая их общую часть, а умножение - пересечению. Вычитание Буль рассматри­вал как действие, противоположное (opposite) сложению, - отде­ление части от целого, то, что в естественном языке выражается словом “кроме” (except).

Будь ввел в свою систему логические равенства, которые он записывал посредством знака “ = ”, соответствующего связке “есть”. Суждение “Светила суть солнца и планеты” в виде равенства им записывается так: х = у + z, откуда следует, что х - z =у. Согласно Булю, в логике, как и в алгебре, можно пере­носить члены из одной части равенства в другую с обратным знаком. Будь открыл закон коммутативности для вычитания: х-у = -у+х и закон дистрибутивности умножения относи­тельно вычитания: z(x - у} = zx - zy. Он сформулировал общее правило для вычитания: “Если от равных вычесть равные, то остатки будут равными. Из этого следует, что мы можем скла­дывать или вычитать равенства и употреблять правило транспозиции точно так же, как в общей алгебре”².

Предметом исследования ученого были также высказывания (в традиционной логике их называют суждениями). В исчислении вы­сказываний, по Булю, сложение (“ + ”) соответствует строгой дизъ­юнкции, а умножение (“ * ” или пропуск знака) - конъюнкции.

Чтобы высказывание записать в символической форме, Буль составляет логическое равенство. Если какой-либо из терминов высказывания не распределен он вводит термин V для обозна­чения класса, неопределенного в некотором отношении. Для того чтобы выразить частноотрицательное суждение, например: “Не­которые люди не являются благоразумными”, Буль сначала пред­ставляет его в форме: “Некоторые люди являются неблагоразум­ными”, а затем выражает в символах обычным способом.

______________________

'См.: Boole George. An Investigation of the Laws of Thought, on Which are Founded the Mathematical Theories of Logik and Probabilities. London, 1854.

²Boole George. An Investigation of the Laws of Thought, on Which are Founded the Mathematical Theories of Logik and Probabilities. London, 1854. P. 36.

395

По Булю, существует три типа символического выражения суждений: Х=VY(только предикат не распределен):

Х= Y (оба термина - субъект и предикат - распределены);

VX = VY (оба термина не распределены).

Диалектика соотношения утверждения и отрицания в поня­тиях и суждениях у Буля такова: без отрицания не существует утверждения и, наоборот, во всяком утверждении содержится отрицание. Утверждения и отрицания связаны с универсальным классом: “Сознание допускает существование универсума не априори, как факт, не зависящий от опыта, но либо апостерио­ри, как дедукцию из опыта, либо гипотетически, как основание возможности утвердительного рассуждения”'.

Различая живой разговорный язык и “язык” символический, Буль подчеркивал, что язык символов - лишь вспомогательное средство для изучения человеческого мышления и его законов.

Немецкий математик Эрнст Шредер (1841-1902) собрал и обобщил результаты Буля и его ближайших последователей. Он ввел в употребление термин “Logikkalkul” (логическое исчисле­ние), новые по сравнению с Булем символы. В основу исчисле­ния классов он положил не отношение равенства, как это было у Буля, а отношение включения класса в класс, которое обозначал как а b. Знак “ + ” Буль использовал для обозначения объеди­нения классов, исключая их общую часть, т. е. симметрическую разность (см. рис. 26), а у Шредера знак “+” о бозначает объеди­нение классов без исключения их общей части.

Рис. 26

____________________

'Boole George. An Investigation of the Laws of Thought, on Which are Founded the Mathematical Theories of Logik and Probabilities. London, 1854. P. 85.

396

Пропуском знака Шрёдер обозначает операцию пересечения классов, например, ab.

Во взглядах Э. Шрёдера на отрицание можно отметить много интересного и нового по сравнению со взглядами Буля. Под отри­цанием а₁, класса а Шрёдер понимает его дополнение до 1¹.

Если классов больше двух, то Шрёдер оперировал с ними по сфор­мулированным им правилам. Правило 1: если среди сомножителей некоторого произведения находятся такие, из которых один являет­ся отрицанием другого, то произведение “исчезает”, т. е. равно 0. Например, abc • ab₁ cd₁ = 0, так как имеется b и b₁,.

Правило 2: если среди членов некоторой суммы находится хотя бы один, который оказывается отрицанием другого, то вся сумма равна 1:

a+b+c₁ +a+c+d₁ =1.

Значительное внимание Шрёдер уделил анализу структуры отрицательных суждений. Отрицательную частичку он прила­гает к предикату, т. е. вместо “А не есть В” он берет “А есть не-В”, Так, суждение “Ни один лев не является травоядным”, если следовать идеям Шрёдера, надо заменить на суждение “Все львы являются нетравоядными”.

Класс а₁, как отрицание класса а Шрёдер считает очень не­определенным. И в доказательство этой мысли приводит такой пример. Понятие “несражающийся” (в армии) охватывает: са­перов, полковых ремесленников, служащих лазарета, врачей, которые относятся к армии, но не сражаются.

Опираясь на законы де Моргана, Шрёдер проводит анализ язы­ка разговорной речи. Выражение с а₁,b₁, в речи означает, что “ка­ждое с есть не- а и (одновременно) не-b”. Для него можно выбрать другое выражение: “Каждое с не есть ни a, ни b”. Это конъюнктив­ное суждение, примером которого может быть: “Каждая рыба - не птица и не млекопитающее”. Другое суждение: “Никакая рыба не есть птица и млекопитающее” - означает в символическом виде с (аb)₁,, что эквивалентно, на основании правила де Моргана,

___________________

¹См.: Schroder E. Vorlesungenuber die Algebra der Logic. Bd. 1. Leipzig, 1890. S. 302.

397

с a₁, +b₁. Так называемое отрицательное по связке суждение “ни а, ни b не есть с” представляется в виде а + b c₁) .

Шрёдер формулирует правила (или требования) научной клас­сификации:

1. Между родом и суммой его видов должно быть тождество.

2. Все виды должны быть дизъюнктивными, т. е. должны ис­ключать друг друга и попарно в произведении давать 0.

3. Для расчленения рода на виды должно быть одно основание. Используя отрицание. Шредер показал, как классифициру­емый род делится на виды и подвиды.

В логическом исчислении, доведенном до наибольшей просто­ты, Шредер признает три основных действия: сложение (трактуя его как нестрогую дизъюнкцию), умножение и отрицание. Однако вычитание он считает небезусловно выполнимой операцией.

Автор данного учебника признает вполне приемлемой в логике классов операцию вычитания классов. Но понимает ее принципи­ально иначе, чем Буль и Шредер. Буль и Шредер считали, что в разности а - b b должно полностью входить в а, если же b > а или а и b - несовместимы, то операция вычитания невыполнима. В от­личие от Буля и Шредера мы допускаем возможной (т. е. выполни­мой) разность всяких двух классов а и b, из которых b может и не быть частью а; в качестве следствий мы учитываем случаи вычи­тания, когда классы а и b являются пустыми или универсальными.

Наиболее известные работы английского логика Стенли Джевонса (1835-1882) - “Principles of Science, a Treatise on Logic and Scientific Method” (London, 1874) и “Elementary Lessons in Logic, Deductive and Inductive” (London, 1870).

В качестве логических операций Джевонс признавал конъюнк­цию, нестрогую дизъюнкцию и отрицание и не признавал обрат­ных логических операций - вычитания и деления. Классы он обозначал буквами А, В, С..., а их дополнения до универсального класса, обозначаемого 1, или их отрицания -соответственно кур­сивными буквами а, b, с... 0 обозначает у него нулевой (пустой) класс; связка в суждении заменяется знаком равенства.

Большое значение Джевонс придавал принципу замещения (или подстановки), который формулируется им так: если только существует одинаковость, тождество или сходство, то все, что

398

верно об одной вещи, будет верно и о другой. Этот принцип игра­ет важную роль в умозаключении. Для обозначения отношения одинаковости (или тождества) Джевонс употребляет знак “ = ”.

Обозначив положительные и отрицательные термины соответ­ственно через А и а, В и b, Джевонс записывает закон непротиворечия как Аа = 0. Критерием ложности заключения, по Джевонсу, является наличие в нем противоречия, т. е. утверждения и отрицания одного и того же положения, что записывается, напри­мер, как наличие Аа, Вb, АВСа.

Джевонс считал, что утвердительные суждения можно пред­ставлять в отрицательной форме. Но он напрасно категорически заявлял, что имеются сильные основания в пользу того, чтобы употреблять все предложения в их утвердительной форме, а раз­личие (т. е. отрицательные суждения) неспособно быть основа­нием умозаключения. Джевонс не отрицал, что утверждение и от­рицание, сходство и различие, равенство и неравенство представ­ляют пары одинаково основных отношений; но утверждал, что умозаключение возможно только там, где прямо находится или подразумевается утверждение, сходство или равенство, словом, какой-нибудь вид тождества.

Согласно законам диалектики, тождество и различие являют­ся двумя сторонами единого предмета или процесса. Отражение отношений тождества и различия, имеющихся в самих предме­тах действительного мира, находит свое выражение и в мышле­нии в формах умозаключений. Поэтому отбросить различие, выражающееся в отрицательных суждениях, и все свести только к тождеству, выражающемуся в утвердительных суждениях, нель­зя, да и нет в этом необходимости. Единство противоположно­стей - тождества и различия - неразрывно.

Интересны и оригинальны взгляды Джевонса на категориче­ский силлогизм с двумя отрицательными посылками. Джевонс утверждает, что его принцип умозаключения ясно отличает слу­чаи, когда оно оказывается правильным, от тех случаев, когда оно неправильно. Он приводит пример умозаключения:

Все, что не металлично, не способно к сильному магнитному влиянию.

Уголь не металличен.

Уголь не способен к сильному магнитному влиянию.

399

Здесь из двух отрицательных посылок получается истинное отрицательное заключение. Джевонс считает; что там, где возможно подставлять тождественное вместо тождественного, допустим вывод заключения из двух отрицательных посылок.

Джевонс внес значительный вклад в алгебру логики, особенно в проблему отрицания классов и отрицательных суждений.

Следующий этап в развитии математической логики связан с именем русского логика, математика и астронома Платона Сергеевича Порецкого (1846-1907). Его работы' существенно обобщают и развивают достижения Буля, Джевонса и Шредера.

Анализируя понятия, Порецкий различает две формы: форму, обладающую данным признаком, обозначаемую буквами а, b, с..., и форму, им не обладающую, обозначаемую а, b,с…, и т. д.² Фор­мы совместного обладания или необладания несколькими при­знаками записывает так: a,a₁ ,b,b₁ (без особого знака между бу­квами). Современное пересечение классов Порецкий называет операцией реализирования (умножения), обозначая ее “ • ”, а опе­рацию объединения классов - абстрагированием (сложением), обозначая ее “ ? ”, т. е. знаком вопроса; 0 и 1 обозначают пустой класс и универсальный. Порецкий вводит операцию отрицания классов (отрицание а обозначается через а₁,) - это дополнение к классу а. Для каждого данного а его отрицание, т. е. о,, может быть различно. Это определяется избранным универсальным клас­сом. Так, если за 1, т. е. универсум, принять англичан, а за а класс артистов, то а₁, означает англичан-не-артистов, но если 1 обозна­чает класс людей, то a₁, обозначает людей-не-артистов и т. д.

Заслуга Порецкого в том, что он рассматривал логические опе­рации не только над отдельными логическими классами, но и над логическими равенствами. Порецкий считает, что если два класса состоят из одних и тех же предметов, т.е. имеют равные объемы и могут отличаться только формой, то они равны между собой. Со­единяя равные классы знаком “ = ”, мы получаем логическое

_______________________

'См.: Порецкий П. С. Решение общей задачи теории вероятностей при по­мощи математической логики. Казань, 1887, и др.

²Порецкий П. С. О способах решения логических равенств и об обратном способе математической логики. Казань, 1884. С. III.

400

равенство. Равенством логических классов русский логик назы­вает полную их тождественность, т. е. одинаковость их логичес­кого содержания, считая, что все их различие может состоять только в способе их происхождения. Примером такого равенст­ва является закон де Моргана: (m + n), = т₁ • n₁. Если классы а и b равны, то и их отрицания, т. е. классы а и b, также равны. По его мнению, отрицание всякого равенства приводит к новому равенству, тождественному первоначальному.

По мнению Порецкого, операция отрицания неприменима к системам равенств. К соединению двух и более равенств в одно новое равенство применимы лишь две логические операции: сло­жение и умножение отдельных частей равенств, причем предварительно каждое отдельное равенство может быть в слу­чае надобности заменено его отрицанием.

В созданной им теории логики Порецкий подчеркивал взаи­мосвязь двух проблем: выведения следствия из заданной систе­мы посылок и нахождения тех посылок, из которых данное логическое равенство может быть получено в качестве следствия. Несколько подробнее остановимся на методе нахождения всех простых следствий из данных посылок, который в теории логи­ки получил название метода Порецкого - Блэйка (его предложил американский математик Блэйк' на основе работы Порецкого).

Простым следствием из данных посылок называется дизъюнк­ция каких-либо букв или их отрицаний, являющаяся логическим следствием из этих посылок, и притом таким, которое не погло­щается никаким более сильным следствием такого же вида. (Мы говорим, что а сильнее b, если из а следует b, но из b не следует а). Все простые следствия из данных посылок можно получить, выполнив преобразования следующих пяти типов:

1) привести конъюнкцию посылок к конъюнктивной нормаль­ной форме (КНФ). КНФ есть конъюнкция из дизъюнкции элемен­тарных высказываний или их отрицаний, эквивалентная данно­му выражению, т. е. если есть импликация, то ее надо заменить на дизъюнкцию по формуле (а → b= b);

_______________________

'См.: Blake A. Canonical Expressions in Boolean Algebra. Chicago, 1938.

401

2) произвести все операции “отбрасывания”, т. е. члены вида a x (или а • х • ) можно исключить, так как этот член тождественно истинен;

3) использовать законы выявления, т. е. формулы

ах ^ b = ах ^ b ^ аb; или ax b = ax b ab;

4) произвести все “поглощения” на основании законов поглощения:

а ^ (a b) = а и а (а ^ b)= а;

5) из всех повторяющихся членов оставить только один (на основании законов идемпотентности).

В результате получится силлогистический многочлен, который будет содержать все простые следствия из данных посы­лок, и только простые следствия. Они интереснее, чем обычные логические следствия, так как зависят от меньшего числа пара метров (элементарных высказываний).

Покажем это на конкретном примере. Из данных трех посы­лок, имеющих соответственно, формы (1) q →, (2) p q и (3) r, требуется вывести все разные (неэквивалентные между собой) формы простых логических следствий. Для решения задачи выполним следующие операции:

1. Соединяем посылки знаками конъюнкции и приводим вы­ражение в КНФ:

(q →) ^ (p q) ^ r = () ^ (p q) ^ r

или в другой записи

pq ^ r.

2. В полученной КНФ к членам 1 и 3 применяем закон выяв­ления, получаем

^ pq ^ r = ^ pq ^

Затем ко второму и четвертому членам снова применяем этот же закон.

402

^ pq ^ r ^ = ^ pq ^ r ^ ^ p

3. Произведем операции “поглощения”. Первый член ( ) поглощается четвертым (), поэтому отбрасываем первый член, а второй член (pq) поглощается пятым членом (p). В результате этого получим

^ pq ^ r ^ ^ p =r ^ ^ p

Вывод: при данных посылках суждения r и р истинны, а суж­дение q ложно, т. е. если суждениями выражены некоторые собы­тия, то событие r и событие р наступят, а событие q не наступит.

Исследования Порецкого продолжают оказывать стимулирую­щее влияние на развитие алгебраических теорий и в наши дни.

В XX в. математическая логика развивалась в трудах Ч. С. Пир­са и Дж. Пеано.

Американский логик Чарльз Сандерс Пирс (1839-1914) внес существенный вклад в разработку алгебро-логических концеп­ций и явился основоположником новой науки - семиотики (об­щей теории знаков). В работах Пирса содержится тенденция к расчленению семиотики на прагматику (анализирует отношение знака к его исследователю), семантику (выясняет отношение знака к обозначаемому им объекту) и синтактику (исследует взаимоотношения между знаками).

Пирс пишет о том, что реальное можно определить как не­что, свойства которого независимы от того, что о них мыслят. Наиболее общим подразделением знаков он считал такие: изоб­ражения (icons), индексы (indices) и символы (symbols). Пирс предлагал классификацию знаков и по другим основаниям.

Пирс предложил строить исчисление высказываний лишь на од­ной операции, этим предвосхитив результаты М. X. Шеффера (Шеффер также строил исчисление высказываний на одной операции, которая вошла в историю логики под именем ее создателя - штрих Шеффера). Единственной логической операцией Пирс предлагал считать отрицание нестрогой дизъюнкции.

Пирсу принадлежат работа по логике “Studies in Logic” и другие.

403

Достижения Джузеппе Пеано (1858-1932), итальянского мате­матика, явились переходным звеном от алгебры логики, в том виде, какой ей придали Буль, Шредер, Порецкий и Пирс, к современ­ной форме математической логики. Основные результаты Пеано были опубликованы в пятитомном “Формуляре математики”'.

Пеано ввел следующие, употребляющиеся и ныне, символы:

а) “ ” - знак принадлежности элемента к классу;

б) “” - знак включения одного класса в другой класс;

в) “” - знак объединения классов;

г) “” - знак для обозначения операции пересечения классов.

Крупным вкладом Пеано в развитие аксиоматического мето­да явилась его система из пяти аксиом для арифметики нату­ральных чисел. На базе своей аксиоматики Пеано строит всю теорию натуральных чисел.

На заключительном этапе своей научной деятельности Пеа­но приступил к систематическому изложению логики как осо­бой. по его мнению, математической дисциплины.

Далее развитие математической логики осуществлялось по мно­гим направлениям, а также в проблемном плане. Это было обу­словлено необходимостью дальнейшего освоения как классиче­ской и неклассической логик, так и возникшими трудностями в обосновании математики.

Краткому освещению основных направлений в современной логике посвящены последующие разделы данной главы.