Исчисление высказываний

I. Символы исчисления высказываний состоят из знаков трех категорий:

1. а, b, с,d, е,f... и те же буквы с индексами а₁ ,а₂ ,... Эти символы называются переменными высказываниями, или про­позициональными переменными. С помощью этих символов записываются повествовательные предложения, выражающие суждения (высказывания).

2. Символы, обозначающие логические термины:—, ^, , ύ,  . Эти символы выражают следующие логические операции (логические связки): отрицание (“не”), конъюнкция (“и”), нестрогая дизъюнкция (нестрогое “или”), строгая дизъюнкция (строгое “или”), импликация (“если..., то”) эквиваленция (“если и только если, то...”). Подробнее об этих логических терминах см. на с. 26-27 этого учебника.

3. Скобки: ( ).

Иных символов, кроме указанных, исчисление высказываний не имеет.

II. Определение формулы (или правильно построенной формулы - ППФ).

1. Переменное высказывание есть формула (а, b, с ...).

2. Если А и В есть ППФ, то , (А^В), (АВ), (A ύ В), (АB) и (АВ) есть ППФ. (Здесь буквы А, В, С... не явля­ются символами исчисления высказываний. Они представляют собой только условные сокращенные обозначения формул).

Ничто иное не является формулой (ППФ).

Так, не являются формулами: (а ^ b ; а-b; ^ а; аb; а ^ b ; а b . Первое из этих слов содержит незакрытую скобку. Второе и третье слова никак не могут быть построены на осно­вании пункта 2. Четвертое слово не является формулой потому, что хотя а и b - формулы, но соединение формул связкой  всегда сопровождается заключением в скобки; то же са­мое можно сказать и о двух последних словах.

84

Существуют правила опускания скобок. При этом исходят из того, что связка связывает сильнее, чем все остальные; связка ^ сильнее, чем . В силу этих правил формулу (а ^ b) c будем писать в виде а ^ b v с. Формулу (а b)  (с ^ d ) будем писать в виде а v bс ^ d.

Однако не всякая формула может быть записана без упот­ребления скобок. Например, в формулах а  (b  с), а ^ (bс) исключение скобок невозможно.

Для моделирования с помощью ЭВМ текстов естественного языка, включающих отрицание, возможно записать некоторые выражения на языке алгебры логики (А, В, С, D - высказывания, “+” - знак нестрогой дизъюнкции, “•” - знак конъюнкции, “-” -знак отрицания.

____________________________________________

'См.: Новиков П. С. Элементы математической логики. М., 1973. С. 68-71.

²См.: Ледли Р. Программирование и использование цифровых вычислитель­ных машин.//Пер. с англ. М., 1966. С. 55. Ледли Р. пользуется иной символикой,

чем в нашей книге.

85