27. Организация заключительного повторения в 11 классе темы «Уравнения и неравентсва». Урок-лекция «общие методы решения уравнений»

5-8 класс. Основные учебные задачи темы.

Известно, что уравнения и неравенства пронизывают весь школьный курс математики, начиная с начальной школы. Это объясняется тем, что:

Уравнение и неравенство – математический аппарат, который позволяет изучать реальную действительность, математическую модель, описывающую явления реальной действительности, поэтому изучение уравнений и неравенств позволяет познавать сущность предмета математики, ее связь с действительностью и на доступных учащимся задачах обосновать метод математического моделирования. В этом проявляется роль уравнений и неравенств как гуманитарного аспекта математического содержания.

Уравнения и неравенства широко используются в других разделах математики, в частности при изучении свойств функций. Возможности использования уравнений и неравенств широки, значит учащимся необходимо хорошо владеть ими, а значит владеть основными понятиями, которые связаны с их изучением: уравнения (неравенства), корень уравнения (решение неравенства), решить уравнение (неравенство), в чем состоит процесс решения уравнения (неравенства), равносильные уравнения (неравенства)

Существует несколько подходов к определению понятия уравнения

Функциональный. Уравнение – аналитическая запись задачи значений аргументов, при которых равны значения двух данных функций. Аргументы, от которых зависят эти функции, называются неизвестными, а значения неизвестных, при которых значения функций равны называются корнями уравнения.

С точки зрения высшей алгебры уравнением называется математическое соотношение, выражающее равенство двух алгебраических функций. Алгебраическое уравнение с одним неизвестным имеет вид a₀xⁿ+…+a_n=0 a₀≠0, a_i – комплексные числа i=1,nn – степень алгебраического уравнения

Логико-математический. Пусть на множестве М зафиксирован набор алгебраических операций, х – переменная на М. Тогда уравнение на множестве М относительно х называется предикат вида а(х)=b(x), где а(х) и b(х) – термы относительно заданных операций, в записи которых входит символ х.

В школе 2 подхода:

Теоретико-множественный. Равенство, содержащее переменную, называется уравнением. Значение переменной, при котором равенство с переменной обращается в верное числовое равенство называется корнем уравнения. Решить уравнение – найти множество корней.

Теоретико-числовой (Ш.А. Алимов и др.). Равенство, содержащее неизвестное число, обозначаемое буквой, называется уравнением. Корень уравнения – то значение неизвестной, при котором это уравнение обращается в верное равенство. Решить уравнение – найти все его корни или установить что их нет

Процесс решения уравнения состоит в замене одного уравнения другим, более простым. Он продолжается до тех пор, пока не получено простейшее уравнение, решение которого известно. Замена одного уравнения другим называется преобразованием, а это связано с теорией равносильности уравнений.

Вопрос о равносильности решается в школе в 3 этапа:

Индуктивный путь (5-6 класс).х+4=6 х+4-4=6-4 х=2

В к 6 класса когда изучаются рациональные числа, появляется возможность решать уравнение, когда неизвестное содержится и в левой и в правой части уравнения. Перенос членов уравнения основывается на основе свойств, которые устанавливаются опытным путем

Дедуктивный путь (7-9 класс)

В 7 классе вводится понятие уравнения и устанавливаются свойства уравнений. На основе этих свойств решаются уравнения различных видов: линейные, квадратные. Пока не возникает потребность говорить о равносильности преобразований

Использование понятия равносильности (10-11 класс).

Схема изучения уравнений и неравенств:

Актуализация знаний

Задача-мотив (с историческим или практическим содержанием)

Уравнения и неравенства нового вида (вводится термин, цель урока, тема)

Определение

«открытие» способа решения, то есть конструируется алгоритм

Система упражнений на осознание осмысления способа решения

Решение текстовых задач

Решение разных задач по теме (с параметром)

Основные УЗ тем, посвященных уравнениям:

Формирование у школьников представления о предмете математики, ее связи с действительностью, о математических моделях и моделировании

Формирование математической логической культуры школьников, связанной с осознанием ими понятий уравнения, корень уравнения, что значит решить уравнения, свойства уравнений.

Выявление новых типов уравнений (решение задач, конструирование нового типа на основе уже известных)

Нахождение способов решения новых типов уравнений. В школьном курсе математики можно выделить три этапа, связанных с рассмотрением этого вопроса. Первый этап охватывает начальный курс школьной математики и начало курса алгебры. Здесь происходит ознакомление с различными способами решения отдельных, наиболее простых классов уравнений. Используемые преобразования получают индуктивное обоснование. По мере накопления опыта индуктивные рассуждения чаще заменяются такими, где равносильность используется, но сам термин не вводится. На втором этапе происходит выделение понятия равносильности и сопоставление его теоретического содержания с правилами преобразований, которые вводятся на его основе. На третьем этапе на основе общего понятия равносильности происходит развёртывание и общей теории, и теории отдельных классов уравнений. Это характерно для старших классов при изучении курса «Алгебра и начала анализа». В процессе решения уравнений также используется понятие логического следования, которое изучается позже понятия равносильности и является дополнением к нему. Логическое следование в основном используется тогда, когда не удаётся найти вариант равносильного преобразования. Выделяются три основных типа преобразований.

Преобразование одной из частей уравнения. Основой преобразований данного типа являются тождественные преобразования (раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых и др.).Преобразование одной из частей уравнения используют раньше всех других преобразований уравнений, это происходит ещё в начальном курсе математики. Прочность владения навыком преобразований этого типа имеет большое значение для успешности изучения других видов преобразований, поскольку они применяются очень часто.

Согласованное изменение обеих частей уравнения. Преобразования данного типа сравнительно многочисленны. Они составляют ядро материала, изучаемого в линии уравнений. На основе основных свойств числовых равенств формулируются основные свойства равенств с одним неизвестным. (Прибавление к обеим частям уравнения одного и того же числа, умножение (деление) на одно и то же число и т.д.).

Преобразования, изменяющие логическую структуру преобразования, осуществляемые на основе свойств арифметических операций (переход от уравнения к совокупности уравнений, переход от уравнения к системе, почленное сложение, умножение, деление уравнений и тд.).преобразования, осуществляемые при помощи логических операций (выделение из системы одного из компонентов, замена переменных).

В итоге изучения материала линии уравнений учащиеся должны не только овладеть применением алгоритмических предписаний к решению конкретных задач, но и научиться использовать логические средства для обоснования решений в случаях, когда это необходимо.

Алгебра: Учеб.для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/ Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др.-11-е изд.-М.: Просвещение, 2003.-384с.

Тема урока: Общие методы решения уравнений и неравенств.

Тип урока: урок- лекция.

Учебная задача: обобщить и систематизировать знания учащихся по теме: « Общие методы решения уравнений и неравенств».

Диагностируемые цели:

В результате урока ученик

знает:

определение уравнения (неравенства);

определение корня уравнения (решения неравенства);

понятие области определения (ОДЗ) уравнения (неравенства);

что значит решить уравнение (неравенство);

виды преобразований, приводящих к потере корней уравнения (неравенства) и появлению посторонних корней;

основные методы решения уравнений и неравенств;

умеет:

находить ОДЗ уравнения (неравенства);

устанавливать, является ли данное число корнем уравнения (решением неравенства);

осуществлять проверку найденных корней на принадлежность множеству решений исходного уравнения;

применять общие методы к решению различных видов уравнений (неравенств);

понимает:

какие выделяются виды уравнений и неравенств;

суть основных методов решения уравнений и неравенств;

для каких видов уравнений (неравенств) применяется той или иной метод решения.

Методы обучения: частично-поисковые, репродуктивный.

Форма работы учащихся: фронтальная, парная

Средства обучения: мел, доска, учебник, презентация.

Структура урока

Мотивационно - ориентировочный этап (15 минут).

Содержательный этап (27 минут).

Рефлексивно- оценочный этап (3 минуты).

Весь класс был разбит на 4 группы и каждой группе было выдано домашнее задание: решить предложенные уравнения и неравенства, указать метод решения и подготовить презентацию.