16. Методические основы введения и изучения элементов тригонометрии: числовая окружность, числовая окружность на координатной плоскости

1. Введение числовой окружности

Изучение тригонометрии вызывает у учащихся очень большие трудности по ряду причин:

1). В тригонометрии изучается новая геометрическая модель множества действительных чисел – числовая окружность.

2). Необычны обозначения действий: sin, cos, tg, ctg.

3). Очень много формул.

А.Г. Мордкович считает, что сначала необходимо внимательно изучить числовую окружность, - это снимает частично первую трудность. В изучении числовой окружности он выделяет 3 этапа.

Мотивация: рассматриваются примеры из реальной действительности, описывающиеся тригонометрическими функциями, например, движения Земли вокруг Солнца, вокруг своей оси, фазы Луны, приливы и отливы, качание маятника и др. процессы периодичности.

- Все такие процессы описываются функциями особого вида – тригонометрическими, но прежде чем изучить эти функции следует ознакомиться с некоторыми понятиями, на основе которых они получаются.

Этапы изучения числовой окружности:

1 этап. Понятие единичной окружности. Делается заголовок: «Некоторые вспомогательные геометрические примеры».

Пусть дана окружность (O,R). Длинна окружности измеряется по формуле l = 2πR.

- Если считать R = 1, то l = 2π и будем называть такую окружность единичной. Проведем два взаимно перпендикулярных диаметра: AC- горизонтальный, BD – вертикальный. Выясним, чему равна длина частей окружности: например, дуга AC= π, как половина длины окружности; дуга AB малая = π/2, как четверть; дуга AB большая = 3π/2, и т.д. Нумеруются четверти. Пусть М – середина дуги АВ малой. Точки Р и К делят дугу АВ на три равные части. Найдём длины других дуг: АМ малой (π/4), АК малой (π/6), АР = π/3 и т.д.

С концами А и В на окружности две дуги. Договоримся о том, как эти дуги различать: выберем направление движения по окружности против хода часовой

стрелки, тогда дуга АВ – малая, ВА –большая.

Далее рассматриваются примеры на нахождение длин других дуг (при этом точки берутся из других четвертей). В конце рассматриваются дуги длина, которых равна 1 единица, 2 ед ,…, 6 ед. (с помощью прикидки π/4<1< π/3). На окружности нет дуги равней 7 единиц, т.к. 7>2 π.

2 этап. Числовая окружность. Повторяется понятие числовой прямой, решаются две задачи: 1). по заданному числу построить точку на числовой прямой и 2) указать число, которое соответствует данной точке.

- Двигаться можно не только по прямой, но и, например, по замкнутой линии – окружности. На соревнованиях дорожка имеет форму близкую к окружности. Каждому расстоянию, т.е. каждому положительному числу на беговой дорожке, можно сопоставить определённую точку (рисунок).

Можно и каждому отрицательному числу сопоставить некоторую точку – точку, полученную движением в обратном направлении. Тогда беговую дорожку можно рассматривать как числовую окружность. Удобнее в качестве числовой окружности рассматривать единичную, т.к. при работе с ней длины дуг выражаются без использования радиуса. Дается определение (описание) понятия.

Определение. Дана единичная окр-ть, на кот. отмечено начало- точка А (правый конец горизонтального диаметра). Поставим в соответствие каждой точке t∈ℝ точку окружности по следующему правилу:

1). если t>0, то двигаясь из точки А в направлении против хода часовой стрелки (положительное направление обхода окружности) опишем по окружности путь АМ длины t. Точка М и будет искомой точкой М(t).

2). если t<0, то двигаясь от точки А в направлении по ходу часовой стрелки (отрицательное направление обхода окружности) опишем на окружности путь АМ длины t. Точка М – искомая точка М(t).

3). если t=0, то поставим в соответствие этому числу точку А. (А(0)).

Единичную окружность с указанным соответствием между действительными числами и точками окружности будем называть числовой окружностью.

- Как вы помните, на числовой прямой решаются две задачи – по заданному числу построить точку и обратная, аналогичные задачи нужно научиться решать и на числовой окружности.

Далее решаются задачи: 1). По заданному числу построить точку: .

Так как числа указанного вида будут в дальнейшем часто использоваться, то целесообразно постепенно получить 2 макета. Далее рассматриваются числа, не выражающиеся через π: +/- 1, +/-2 (с помощью прикидки).

Делается вывод: на числовой окружности, как и на числовой прямой, каждому числу соответствует единственная точка окружности.

2).Указать число соответствующее данной точке.

Вывод: одной и той же точке числовой окружности соответствует бесконечно много чисел (т.е. если точке М числовой окружности соответствует число t, то этой же точке соответствуют все числа вида t+2πk, k∈Ζ; M(t)+M(t+2πk), k∈Ζ). В этом отличие числовой окружности от числовой прямой.

В результате у одной и той же точки окружности бесконечно много «имен». Например, М(π/4)=М(-7π/4)=…, но имя π/4 будем называть «главным именем», т.к. оно принадлежит промежутку [0;2π).

Далее решаются упражнения: дано большое число 23π/4, постройте точку; дана точка укажите главное имя и все числа соответствующие этой точке.

Далее А.Г. Мордкович вводит форму аналитической записи дуги числовой окружности. Например, дуги АВ: - ядро дуги (границы – числа по модулю минимальные и взяты из промежутка [0; 2π).

Другая второстепенная запись той же дуги: .

В итоге, множество промежутков данного вида записывается следующим образом: – аналитическая запись дуги АВ. Рассматриваются и другие пример: дуга ВА: . C помощью таких упражнений идёт подготовка к решению простейших тригонометрических неравенств.

3 этап. Числовая окружность на координатной плоскости.

Поместим числовую окружность в прямоугольную систему координат следующим образом: центр окружности – начало координат; диаметр АС попадет на Ох, BD на Оу.

Угол МОН = 45⁰. Треугольник М₁ОН – прямоугольный и равнобедренный.

х² + у² = 1,

Тогда каждая точка числовой окружности будет меть как криволинейную координату по окружности, так и декартовы координаты на плоскости. M(t) = M(x;y).

З адача заключается в том, что бы установить связь между этими координатами. При этом должны учитываться следующие условия:

1). если точка М принадлежит 1 четверти, то х>0, y>0; 2 четверти: x<0,y>0;…

2). |x|≤1, |y|≤1

3). x²+y²=1 – уравнение числовой окр в декартовой системе координат.

Далее устанавливается зависимость между координатами основных точек: А, В, С, D, точек М(п/4), М₁(3п/4),…, N(п/6), N₁(5п/6), …, K(п/3), K₁(2п/3),…

В результате заполняются таблицы вида:

Таблица 2.

Далее выполняются упражнения:

1. Найти координаты х и у точек числовой окружности. Р₁(45п/4), Р₂(-37п/3)…

Используется ранее полученное утверждение: числам t и t + 2пk соответствует одна и та же точка числовой окружности.

2. Найти на числовой окружности точку с заданной абсциссой (ординатой) и

написать каким числам t они соответствуют. Таким образом идёт подготовка к решению простейших тригонометрических уравнений.

3. Найти на числовой окружности точки с абсциссой (ординатой) большей или меньшей заданного числа и записать каким значениям t они соответствуют. (идет подготовка к решению простейших тригонометрических неравенств)