Семинар-практикум по теме: «Основные приёмы решений тригонометрических уравнений».

Тип уравнения / метод решения.

Пример уравнения

1. Метод введения вспомогательной переменной.

№1.

Ответ:

№2.

Воспользуемся формулой:

Получаем:

Ответ:

2. Разложение на множители.

№ 3

Решение:

О.О.У.:

Ответ: .

№ 4

Решение:

Ответ:

3. Однородное уравнение.

Уравнение вида , где и сумма степеней у sin x и cos x в каждом слагаемом равна n, называется однородным степени n относительно sin x и cos x.

№5

Решение:

Предположим, что . Тогда после подстановки , то есть

данная система не имеет решений, так как синус и косинус одного и того же аргумента не могут одновременно равняться нулю в силу тождества: sin ² x + cos ² x = 1.

Следовательно, cos x = 0 не является корнем данного уравнения и обе части уравнения можно поделить на cos  x, т.к. при этом не произойдёт потери корней.

Разделим обе части уравнения на .

Получим уравнение

Ответ:

- Однородное уравнение второй степени.

№ 6 3sin ² x + 4 sin x · cos x + 5 cos ² x = 2

Решение:

3sin ² x + 4 sin x · cos x + 5 cos ² x = 2 sin ² x + 2 cos ² x 

sin ² x + 4 sin x · cos x + 3 cos ² x = 0

Предположим, что cos x = 0, тогда после подстановки

cos x=0 в уравнение, получим, что sin ² x = 0, т.е. sin x = 0, то есть данная система не имеет решений, т.к. синус и косинус одного и того же аргумента не могут равняться нулю в силу тождества: sin ² x + cos ² x = 1

Следовательно, cos x = 0 не является корнем данного уравнения и обе части уравнения можно поделить на cos ² x, так как при этом не произойдет потери корней.

Разделим обе части уравнения на cos²x 0.

Получим уравнение:

tg²x + 4tg x + 3 = 0

Делаем замену tg x = t

t⁵ + 4t + 3 = 0

t₁ = -1, t₂ = -3

Ответ: ;

4.Неоднородные уравнения.

, где a 0, b 0, с 0

№ 7

Решение:

Поделим обе части уравнения на . Получим уравнение

.

Замечаем, что , , т.е. имеем уравнение

.

Применяем формулу синуса разности:

.

и

Ответ: и

№ 8

Решение:

.

.

Разделим на

.

.

.

.