8. Методика введения арифметического корня с натуральным показателем, степени с рациональным показателем

В теме присутствует аналогия с арифметическим квадратным корнем и его свойствами, т.е. это нужно использовать.

Опр 5. Арифметическим корнем натуральной степени из неотрицательного числа а называется неотрицательное число, n-ая степень которого равна а.

.

Свойства арифметического квадратного корня ( :

1⁰.

2⁰.

3⁰. ;

4⁰.

5⁰.

Опр. 6. Корень нечётной степени из отрицательного числа:

.

Определение степени с рациональным показателем происходит на основе свойства 5⁰:

По условию m/n – целое число, т.е. при делении m на n в результате получается целое число k. Тогда из равенства m/n = k следует, что m = kn. Применяя свойство степени и арифметического корня, получаем:

Тогда обращаем внимание, что дробь m/n не всегда является целым числом, т.е. необходимо определить степень с дробным показателем. При этом должны остаться верными все свойства. Вводится соответствующее определение.

Напомним, что рациональное число r – это число вида m/n, где m – целое, n – натуральное. Тогда . Таким образом, степень определена для любого рационального показателя и любого положительного основания.

Опр. 7.

Опр. 1 – Опр. 7 – определение степени с рациональным показателем.

Почему a > 0.

.

−2 = 2 – противоречие.

Показатель степени только положительный.

Если m/n > 0, то выражение имеет смысл не только при a > 0, но и при а = 0, причём .

Далее доказывается, что все свойства степени с целым показателем верны и для степени с рациональным показателем. Одно свойство доказывает учитель, выделяя теоретический базис, остальные учащиеся сами самостоятельно.

Свойства степени с рациональным показателем ( ):

1⁰.

2⁰.

3⁰.

4⁰.

5⁰.

Эти свойства получаются из свойств корней. Докажем, например, свойство

Док-во:

Пусть p = m/n, q = k/l, где n и l – натуральные числа, m и k – целые числа. Нужно доказать, что

При ведя дроби m/n и k/l к общему знаменателю, запишем:

Используя определение степени с рациональным показателем, свойства корня и степени с целым показателем, получаем:

.

Аналогично доказываются остальные свойства.

Опр 1. Степенью числа а с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а.

aⁿ= a∙a∙… ∙a,

Опр. 2. Степенью числа а с показателем 1 называется само число а. а¹ = а

Опр. 3. Если , то:

Опр. 4. Если , то