23. Проект урока-лекции «Решение уравнений и неравенств Арктангенс числа. Свойства арктангенса числа»

tg x=a, tg x>a, tg x<a относится к простейшим тригоном. ур-иям и нер-вам, поэтому целесообразно изучать их методом УДЕ, т.е. рассматривать параллельно. Записи можно вести в таблице

Начать следует с рассмотрения частных случаев: а=о, 1, -1.

Далее рассматривают табличные значения а, например, tg x = имеет две формулы корней

x₁ = π/3 + 2πk, где k Z.

x₂ = π + π/3 + 2πk = 5π/6 + 2πk, где k Z.

Эти две формулы можно объединить в одну:

x = π/3 + πk , где k Z.

Потом возникает вопрос записи решения при нетабличных а, например, tg x =2

Рассуждения проводятся аналогично

x = t₁ +πk, где k Z.

Остается выяснить, чему равно t₁. Вводится определение arсtg а. В итоге получаем общую формулу

x = arctg а + πk, где k Z.

Вводятся свойства arctg а.

Рассмотрим аргумент урока по введению этих понятий.

В актуализации следует дать задания следующего типа:

1. Вычислить значения: tg π/3 ; tg π; tg0; tg π/2, tg (-π/3)

2. Тангенс какого угла равен ; 0; 1; – ?

Общий вид уравнения tgx = a

Рассмотрим это уравнение для табличных значений а. Записи будем вести в таблице. Рассмотрим tg x = 0. Как будем решать это уравнение?

У: На оси тангенса отметим точку 0 и соединим ее с началом координат.

Пересечение данной прямой с окружностью и есть решение данного уравнения.

х₁ = 2πk, где k Z.

х₂ = π+2πk, где k Z.

Их можно объединить: х = πk, где k Z.

П: Решим соответствующее неравенство со знаком больше tg x > 0. Что будет являться решением этого неравенства?

У: 2πk<x<π/2+2πk, k Z.

π+2πk<x<3π/2+2πk, k Z.

Объединим и получим: πk < x < π/2+πk, k Z.

П: третий столбец таблицы заполняется самостоятельно.

П: решите следующее уравнение tg x =

У: x₁ = π/3 + 2πk, где k Z.

x₂ = π+ π/3 + 2πk, где k Z.

Их можно объединить: x = π/3 + πk, где k Z.

П: Решим теперь неравенство tg x> . Не будем забывать, что при получении а тангенс определен в 1 и 3 четвертях. Что будет являться решением этого неравенства?

У: π/3 + 2πk < x < π/2 + 2πk, где k Z.

4π/3 + 2πk<x< 4π/2 + 2πk, где k Z.

Их можно объединить: π/3 + πk<x< π/2 + πk, где k Z.

П: решите неравенство tg x < .

У: - π/2 + 2πk < x < π/3 + 2πk, где k Z

π/2 + 2πk < x < 4π/3 + 2πk, где k Z

Их можно объединить: - π/2 + πk < x < π/3 + πk, где k Z.

П: Рассмотрим теперь, когда а<0, например, tg x = - . Что будет являться решением этого уравнения?

У: x₁ = - π/3 + 2πk, где k Z.

x₂ =-π- π/3 + 2πk, где k Z.

Их можно объединить: x = - π/3 + πk, где k Z.

П: Решим неравенство tg x >- . Что будет являться решением этого неравенства?

У: - π/3 + 2πk < x < π/2+ 2πk, где k Z.

2π/3 + 2πk < x < 3π/2+ 2πk, где k Z.

Их можно объединить: - π/3 + πk<x< π/2 + πk, где k Z.

П: решите неравенство tg x <- .

У: - π/2 + 2πk < x <- π/3 + 2πk, где k Z

π/2 + 2πk < x < 2π/3 + 2πk, где k Z

Их можно объединить: - π/2 + πk < x < - π/3 + πk, где k Z.

Мотивация

Далее предлагается решить следующую задачу: тангенс какого угла равен 27

П: Отметим, что в отличие от синуса и косинуса, которые ограничены по модулю 1, тангенс существует для любого действительного числа, следовательно, и для 2. Но найти соответствующий угол мы пока не можем, так как 2 не табличное значение.

Итак, целью нашего урока является «Найти решение уравнения tg x = а ».

Содержательная часть.

П: Теперь рассмотрим уравнение tg x = 2. Так как 2 не табличное значение, то соответствующий угол найти мы не сможем, обозначим его за t. Как тогда запишется решение данного уравнения?

У: x₁ = t₁ + 2πk, где k Z.

x₂ = t₂+ 2πk, где k Z.

П: Как связаны t₁ и t₂?

У: t₂=π+t₁. Тогда

x₁ = t₁ + 2πk, где k Z.

x₂ = π+ t₁+ 2πk, где k Z.

П: Можно объединить x₁ и x_2, получим x = t₁+ πk, где k Z.

Осталось найти t₁. В математике дл обозначения решения уравнения tg x = а вводится понятие arctg числа а. Сформулируем определение: арктангенсом числа а из R, называется такое число из (-π/2, π/2), тангенс которого равен а.

П: Чему будет тогда равно t₁ из нашего примера?

У: t₁= arctg 2.

Тогда x = arctg 2+ πk , где k Z.

П: Т.о., получим общую формулу для решения уравнения tgx= a.

x =arctg а + πk , где k Z.

П: Решим теперь неравенство tg x >2. Что будет являться решением этого неравенства?

У: arctg 2+ 2πk < x < π/2 + 2πk, где k Z.

π+arctg 2+ 2πk < x < 3π/2 + 2πk, где k Z.

Их можно объединить: arctg 2+ πk < x < π/2 + πk, где k Z.

У: arctg а+πk < x < π/2 +πk, где k Z

П: решите неравенство tg x<2.

У: - π/2 + 2πk < x < arctg 2+ 2πk, где k Z

π/2 + 2πk < x <π+ arctg 2+ 2πk, где k Z

Их можно объединить: - π/2 + πk < x < arctg 2+ πk, где k Z.

П: Сделаем вывод, какое будет решение неравенства tg x<a?

У: - π/2 + πk < x < arctg а+ πk, где k Z.

П: Вернемся к понятию арктангенса. Применяя определение, найдите значение выражения:

arctg 1;arctg ;arctg (-1); arctg (- )

У: arctg 1= π/4; arctg = π/3; arctg (-1)= - π/4; arctg (- )=- π/3

П: Выразите arctg (- ) через arctg , arctg (-1) через arctg 1

У: arctg (- )=- π/3=-аrctg

arctg (-1) =- π/4=-arctg 1

П: как вычислить значение arctg (– а)?

У: arctg (– а)=- arctg ( а)

Далее подводятся итоги урока.