Глава 4, §§14-16.

Весь задачный материал первого параграфа темы «Прогрессии» - «Числовые последовательности» можно разделить на три основных группы

1. Задачи на применение определения числовой последовательности, а также следствий из него.

В учебнике А.Г. Мордковича дается определение числовой последовательности через род и видовое отличие, однако смысл этого определения объясняется конструктивно.

№№366-369 – задачи на подведение под понятие последовательность

№№370, 396, 397 – задачи на отработку способов задания последовательностей. (аналитического, словесного, рекуррентного) №№371-376, 387 – задачи на нахождение членов заданной словесно последовательности

№№398, 402, 403 – задачи на нахождение номера члена последовательности + решение уравнений и неравенств

№399, 401 – задачи на выведение следствий из определения последовательностей.

Ключевые задачи:

№367 в), г)

Определите, является ли заданная функция числовой последовательностью:

Ответ: в) – не является, эта функция не натурального аргумента, г) – является, эта функция натурального аргумента.

№370

Приведите примеры последовательностей, заданных:

а) с помощью формулы n-го члена;

б) словесно;

в) рекуррентным способом.

Решение:

№372

Найдите несколько начальных членов возрастающей последовательности всех натуральных чисел, кратных семи. Укажите ее восьмой, десятый, тридцать седьмой, n-й члены.

Последовательность натуральных чисел кратных семи: 7, 14, 21, 28, 35…

У₈= 7*8=56

У₁₀=7*10=70

У₃₇=7*37=259

У_n=n*7=7n

№401 б)

Постройте график последовательности:

2. Задачи на отработку аналитического (формулой n-го члена) и рекуррентного способов задания последовательности.

№№377-379, 388, 390 – задачи вычисление членов последовательности по заданной формуле n-го члена

№№380-382, 391, 392 – задачи на составление формулы n-го члена

№№383, 384, 393-395 – задачи на рекуррентный способ задания последовательности

№400 – задание на совместное применение обоих способов

Ключевые задачи:

№ 392 б)

Составьте одну из возможных формул n-го члена последовательности по первым пяти ее членам:

Ответ:

№388 в)

По заданной формуле n-го члена последовательности вычислите первые пять членов последовательности:

Ответ:

№393

Выпишите первые шесть членов последовательности (х_n), у которой х₁= - 3, х₂= -2 и каждый член, начиная с третьего, равен удвоенной сумме двух предыдущих членов. Составьте рекуррентное задание последовательности.

Ответ:

№400 а)

Последовательность задана рекуррентным способом. Перейдите к аналитическому заданию, т.е. найдите формулу ее n-го члена:

Ответ: x_n=3+5(n-1)=5n-2.

3. Задачи на использование свойства монотонности последовательностей

№№383, 384, 404, 405

Ключевая задача

№404 а)

Докажите, что последовательность возрастает:

Доказательство:

Весь задачный материал второго и третьего параграфа темы «Прогрессии» - «Арифметическая и геометрическая прогрессия» можно разделить следующие группы.

1. Задачи на отработку определения арифметической и геометрической прогрессий

А:

№№ 406, 407– задачи на подведение под понятие

№№408-411 – задачи на выведение следствий из понятия

№№413-415 – задачи, в которых прогрессия задана словесно

Г:

№№479, 480 – задачи на подведение под понятие геометрической прогрессии

№№476, 483 – задачи на выведение следствий из определения

№№477, 478, 481, 482 – задачи на использование понятий возрастающей и убывающей прогрессий

Ключевые задачи:

№407

Определите, является ли заданная последовательность арифметической прогрессией:

Ответ: а) да, является, так как каждый последующий член последовательности больше предыдущего на одно и то же число, в) нет, не является.

№410 а)

Запишите конечную арифметическую прогрессию (а_n), заданную следующими условиями:

Ответ: -2, 2, 6, 10, 14.

№478

Дана убывающая последовательность всех целых отрицательных степеней числа 10. Является ли эта последовательность геометрической прогрессией? Если да, то чему равен ее знаменатель?

Решение:

Данная последовательность имеет вид:

Эта последовательность является геометрической со знаменателем , так как все члены ее отличны от 0 и каждый член, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на одно и то же число q.

Вывод: в задачнике к учебнику А.Г. Мордковича представлен довольно широкий спектр задач по всем параграфам темы, практически не требующий дополнения, однако для математически слабого класса рад задач будет сложен для восприятия, поэтому этот факт всегда следует учитывать при составлении системы упражнений. Формулы n-го члена и суммы членов прогрессий порождают ряд взаимосвязанных задач. Большинство задач двух или трех шаговые, поэтому на первых этапах отработки основных дидактических единиц целесообразно разбивать такие задачи на несколько, или на их основе разрабатывать более легкие задачи. В теме достаточно много формул, и задачи на их применение зачастую аналогичны, поэтому удобнее будет вести работу по теме методом УДЕ. Также, в связи с основной линией построения учебников А.Г. Мордковича, которая опирается на математический язык и математическое моделирование, важно достаточно времени уделить решению текстовых задач на прогрессии.

V. Постановка учебных задач, диагностируемых целей

Учебные задачи темы:

1. На основе понятия числовой последовательности, как функции натурального аргумента, изучить способы задания числовых последовательностей, выявить основные свойствачисловых последовательностей.

2. Изучить арифметическую и геометрическую прогрессии как математические модели процессов реальной действительности, выявить их основные свойства, открыть формулыn-го члена и суммы n первых членов, характеристические свойства арифмет. и геом. прогрессий.

3. Выделить виды задач, порождаемых каждой формулой темы, и способы их решения.

Диагностируемые цели:

В результате изучения темы ученик

Знает:

• определение последовательности,

• понятие членов последовательности,

• свойства последовательностей,

• приемы отыскания членов последовательности на основе заданных условий

• различные способы задания последовательностей,

• возможности перехода от одного способа задания к другому,

• определения арифметической и геометрической прогрессий,

• понятие разности (знаменателя) арифметической (геометрической) прогрессии,

• характеристические свойства прогрессий,

• Формулы n-го члена и суммы первых n членов арифметической и геометрической прогрессий,

• приемы отыскания членов прогрессий на основе заданных условий

• виды задач, порождаемых каждой формулой,

Умеет

• Читать символические обозначения словами и обратно; переходить от одного способа задания последовательности к другому; подводить под понятие последовательности; выводить следствия из свойств последовательностей.

• Подводить под понятие и свойства прогрессий, переходить от одного способа задания прогрессии к другому; выводить следствия из общих свойств прогрессий,

• Решать стандартные задачи, связанные с определением прогрессий и их характеристическими свойствами,доказывать характеристические свойства прогрессий,

• Выводить формулы общего члена и суммы n первых членов арифметической и геометрической прогрессий; решать все основные виды задач на использование формул,

• Моделировать с помощью прогрессий реальные ситуации; составлять задачи на применение прогрессий,

Понимает:

• Что числовая последовательность – это функция натурального аргумента, что прогрессии – это частный случай числовых последовательностей, заданных рекуррентным способом,

• На основе каких преобразований выводятся свойства и формулы для прогрессий, теоретические основы доказательств свойств и формул,

• Какие теоретические знания необходимо применить при решении той или иной задачи,

• На основе чего получены способы и методы решения задач;

• Какие реальные ситуации могут быть смоделированы с помощью прогрессий.

• Аналогию в теме

VI. Тематическое планирование.

Всего на изучение темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии» по учебнику «А.Г. Мордковича, Алгебра 9 класс» обычно отводится 15 часов.

VII. Конспект урока № 6 решения ключевых задач по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

Тема урока: «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

Учебник: Алгебра: Учебник для 9 кл. ср. шк./А.Г.Мордкович .- М., 2002. Глава 4, §§15-16.

Тип урока: урок решения ключевых задач.

Учебная задача урока: выявить основные виды задач, порождаемых формулами, способы их решения.

Диагностируемые цели:

В результате урока ученик

• Знает

  • Понятие, способы задания, формулу n-го члена, характеристическое свойство арифметической и геометрической прогрессий

  • Какие задачи порождаются этими формулами

  • Основные методы решения таких задач

• Умеет

  • Решать основные типы задач на применение формул

• Понимает

  • В каком случае, какая формула применяется

  • Взаимосвязь между задачами, порождаемыми формулани

  • Аналогию в задачах

Методы обучения: репродуктивный, частично-поисковые, УДЕ.

Форма работы: фронтальная, индивидуальная.

Средства обучения: доска, мел, учебник, таблица с задачами, Канва-таблица

Структура урока (45 мин):

1. Мотивационно-ориентировочный этап (15 мин)

2. Содержательный этап (27 мин)

3. Рефлексивно-оценочный этап (3 мин)