II.Содержательная часть.

Далее все записи, которые осуществляются учителем на доске, фиксируются учениками в канву-таблицу.

-Рассмотрим логарифмическую функцию . Какие ограничения у основания логарифмической функции? (1. a>0; 2. a 1)

Опр. Логарифмической называется функция , где а – заданное число, a>0, a 1

- Далее рассмотрим свойства логарифмической функции.

1⁰. D(y): x > 0

Это свойство следует непосредственно из определения логарифма.

Задание № 1. Какие из данных функций являются логарифмическими

1). 2). 3). у 4). у 5). у Ответ: 2

2⁰. E(y): R

Док-во:

Из определения логарифма следует, что для любого действительного числа b есть такое положительное число x, что . По определению логарифма, . Корень такого уравнения существует всегда, т.к. .

3⁰. Логарифмическая функция является возрастающей на промежутке x>0, если a>1, и убывающей, если 0<a<1.

Доказательство:

1. Пусть a>1. По основному логарифмическому тождеству

( по свойству степени с основанием )

2. Пусть 0<a<1

По основному логарифмическому тождеству:

- Знак изменится на противоположный.

(по свойству степени c основанием 0<a<1)

- На практике чаще всего вы будете пользоваться обратной теоремой: если a>1 и , где , то ; Если 0<a<1 и , где , то (Доказательство МОП)

4⁰. Нули функции: . Таким образом, график функции всегда пересекает ось Ох в точке (1;0)

5⁰. Ограниченность. Существует вертикальная асимптота - ось Оу. Таким, образом график функции располагается правее оси Оу и не пересекает её.

6⁰. Промежутки знакопостоянства.

1. При а > 1, функция принимает положительные значения при x>1, отрицательные при 0<x<1.

2. При.0<a<1, функция принимает положительные значения при 0<x<1, отрицательные при x>1.

Док-во:

1. Это следует из того, что функция при х = 1, у = 0. При а >1 функция является возрастающей. Поэтому на промежутке x > 1 принимает положительные значения. А на промежутке 0<x<1 принимает отрицательные значения.

2. Это следует из того, что функция при х = 1, у = 0. При 0<а<1 функция является убывающей. Поэтому на промежутке x > 1 принимает отрицательные значения. А на промежутке 0<x<1 принимает положительные значения.

7⁰. Чётность/нечётность.Является функцией общего вида.

8⁰. Схематичное изображение графика.

- Построим два графика логарифмических функций. и

- Рассмотрим одновременно две функции: показательную у = а^х и логарифмическую у = log_aх.

- Область определения показательной функции совпадает с множеством значений логарифмической функции, а множество значений логарифмической функции совпадет с областью определения показательной.

- Какое понятие связывает такие функции? (Понятие обратной функции).

- Таким образом, логарифмическая функция y = log_ax и показательная функция y = a^x, где a>0, a 1, взаимно обратны.

- Действительно, решая уравнение относительно х, получим, что х = . Меняем местами х и у, получаем функцию у = .

_{-На доске уже построена функция}y = 3^x. Теперь построим функцию y = log₃x

- Относительно какой прямой симметричны графики этих функций?

- Поэтому необязательно строить графики обеих функций. Достаточно построить график одной функции и отобразить его относительно прямой у = х.

- Сделаем это на примере построения графиков ф-ций и