32. Теоретические и методические основы изучения первообразной и интеграла

Данная тема рассматривается в 10 главе учебника. Сначала дается понятие первообразной, правила нахождения первообразной.

Рассмотрим движение точки вдоль прямой. Пусть за время t от начала движения точка прошла путь s(t). Тогда мгновенная скорость v(t) равна производной функции s(t), т.е. v(t) = s ‘(t).

В практике встречается обратная задача: по заданной скорости движения точки найти пройденные ею путь, т.е. найти такую функцию s(t), производная которой равна v(t). s’ (t) = v(t) называют первообразной функции v(t).

Опр. Функция называется первообразной функции f(x) на некотором промежутке, если для всех х из этого промежутка F ’(x) = f(x).

Если F(x) является первообразной функции f(x) на некотором промежутке, то все первообразные функции f(x) записываются в виде F(x) + C, где С – произвольная постоянная.

Правила нахождения первообразных:

Пусть F(x) и G(x) – первообразные соответственно функций f(x) и g(x) на промежутке. Тогда:

1). Функция F(x)+/-G(x) является первообразной функции f(x)+/-g(x);

2). Функция aF(x) является первообразной функции af(x).

Дается определение интеграла и рассматривается вычисление площади криволинейной трапеции с помощью первообразной функции.

Р ассмотрим фигуру изображённую на рисунке. Эта фигура ограничена снизу отрезком [a; b] оси Ох, сверху графиком непрерывной функции y = f(x), принимающей положительные значения, а с боков отрезками прямых x = a, x = b. Такую фигуру называют криволинейной трапецией.

Площадь криволинейной трапеции можно вычислить по формуле S = F(b) – F(a), где F(x) – любая первообразная функции f(x).

Таким образом, вычисление площади криволинейной трапеции сводится к отысканию первообразной F(x) функции f(x), т.е. к интегрированию функции f(x).

Опр. Разность F(b) – F(a) называется интегралом от функции f(x) на отрезке [a; b]

и обозначают так: , т.е.

В математических классах рассматривается применение производной и интеграла к решению практических задач.

Доказательств в теме очень мало и все их следует сопровождать подробными иллюстрациями с помощью графика функции. Перед введением понятия первообразной следует повторить связь между графиками функции у=х^3, y=x^3+1, y = x³ – 2, а также выполнить задание вида: график функции y=2x+b

проходит через точку (-3, 6). Найдите b.

Далее дается задание заполнить таблицу (мотивация)

Учащиеся легко заполняют те клетки, где нудно найти производную, но затрудняются в заполнении других клеток.

- На практике часто приходится решат задачу, обратную нахождению производной. Например, по заданной линейной скорости найти путь (геометрический смысл производной). Вводиться определение первообразной. Доказывается, что одна и та же функция имеет бесконечно много первообразных, отличающихся только на постоянное число. Поэтому часто ставиться задача указать первообразную функции, график которой проходит через заданную точку. Графики всех первообразных одной и той же функции получаются друг из друга с помощью сдвига вдоль оси Оу. Таблица первообразных получается из таблицы производных.

Особое внимание следует уделить теме вычисление площадей с помощью интегралов.