18. Теоретические основы изучения темы «Тождественные преобразования тригонометрических выражений». Урок решения ключевых задач

Учащиеся продолжают знакомиться с элементами тригонометрии в 9 классе. Здесь изучается тема: Тригонометрические функции любого аргумента. Также, вводятся понятия: радианная мера угла, синус, косинус, тангенс и котангенс угла, свойства тригонометрических функций, формулы приведения, соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента, формулы сложения, формулы двойного и половинного угла, формулы суммы и разности тригонометрических функций, преобразование произведения тригонометрических функций в сумму.

В 10 кл. возвращаемся к тригонометрическим функциям, изучая тему тождественные преобразования тригонометрических выражений.

1. Тема входит в следующие содержательные линии:

- числовая линия: учащиеся знакомятся с новой формой записи действительного числа – тригонометрической формой записи;

- линия тождественных преобразований: преобразование тригонометрических выражений необходимо для различных вычислений в астрономии, физике, при решении тригонометрических уравнений и неравенств.

2. а) Основными ведущими понятиями темы являются: синус, косинус, тангенс и котангенс числового аргумента. Сопутствующими понятиями являются задачи на доказательство тождеств.

б) Основой изучения данной темы являются предшествующие темы: «Радианная мера угла», «Поворот точки вокруг начала координат», «Определение синуса, косинуса и тангенса угла», «Знаки синуса, косинуса и тангенса».

При доказательстве тригонометрических тождеств используются основные понятия, изученные в предшествующих четырех темах.

в) Методы доказательства в логическом плане – синтез, в содержательном плане:

1). Основное тригонометрическое тождество:

Доказано с помощью единичной окружности поворотом точки (1;0) на угол α, определений синуса и косинуса, уравнения окружности. Из этого равенства выражается синус, а затем косинус. Акцентируется внимание на знаке.

2) зависимость между тангенсом и котангенсом:

Доказательство основывается на определении тангенса и котангенса. Из данной формулы выражается сначала тангенс, а затем котангенс:

, ,

Анализ задачного материала.

В данной теме представлены задачи разных типов: -На доказательство тождества методом сведения левой части к правой. - Сведения правой части к левой.- установлении того, что разность между левой и правой частями равны нулю.- методом сведения левой и правой частей к одному и тому же выражению.- На упрощение выражения с помощью использования определения тангенса и котангенса; - С помощью выражения sinnα и cosnα через sinα и cosα; - с помощью понижения степени; - представления суммы в виде произведения и наоборот; -На вычисление. - На решение уравнений.

Учебные задачи темы:

Анализ теоретического и задачного материала позволяет выделить учебную задачу темы:

- формирование умений доказывать тригонометрические тождества различными методами (сведение левой части к правой, правой части к левой, установление того, что разность между левой и правой частями равна нулю, сведение левой и правой частей к одному и тому же выражению); выполнять тождественные преобразования тригонометрических выражений различными способами (приём использования определения тангенса и котангенса, приём выражения sinnα и cosα; через sinα и cosα; прём понижения степени, приём представления суммы в виде произведения и наоборот, приём преобразования в произведение выражения asin α +bcos α, приём уменьшения числа тригонометрических функций)

По окончании изучения темы ученик:

Знает:

-Определение синуса, косинуса, тангенса, котангенса;

-Основные методы доказательства тождеств;

-Основные тригонометрические формулы (формулы синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов α и - α, формулы сложения, формулы двойного и половинного углов, формулы приведения, преобразования суммы и разности в произведение как следствия формул сложения для выполнения тригонометрических преобразований);

-основные частные приёмы тригонометрических преобразований (приём использования определения тангенса и котангенса, приём выражения sinn α и cosn α через sin α и cos α, прём понижения степени, приём представления суммы в виде произведения и наоборот, приём преобразования в произведение выражения asinα + bcosα, приём уменьшения числа тригонометрических функций);

Умеет:

- Доказывать тригонометрические тождества различными методами;

- Рационально применять основные тригонометрические формулы при вычислениях, доказательстве тригонометрических тождеств и решении простейших тригонометрических уравнений;

- Применять основные приёмы тождественных преобразований при доказательстве тождеств, при вычислении и решении уравнений.

Понимает:

- что формулы сложения являются центральными в курсе тригонометрии, а все остальные тригонометрические формулы являются следствиями формул сложения;

- роль аналогии при доказательстве тригонометрических формул;

- осознаёт, что материал данной темы является пропедевтикой к решению тригонометрических уравнений;

- владеет навыком вычисления значений тригонометрических функций по известному значению одной из них, используя тригонометрические формулы;

- осознаёт значимость основных частных приёмов тождественных преобразований при доказательстве тождеств, при вычислении и решении уравнений.

План урока:

Тема: Основные методы доказательства тригонометрических тождеств.

Тип урока: урок решения ключевых задач.

Цель урока:

Учебная задача: применить основные методы (сведение левой части равенства к правой, сведение правой части равенства к левой, установление того, что разность между левой и правой частями равна нулю, преобразование левой и правой частей тождества к одному и тому же выражению.) при доказательстве тригонометрических тождеств.

Диагностируемые цели:

В ходе урока ученик:

Знает: определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса, основные методы доказательства тождеств.

Умеет: доказывать тригонометрические тождества различными методами, рационально применять основные тригонометрические формулы при доказательстве тригонометрических тождеств.

Понимает: роль аналогий при доказательстве тригонометрических формул.

Методы: метод аналогий.

Формы работы: фронтальная и парная.

Средства обучения: доска, мел, учебник, канва-таблица, проектор, ноутбук.

Структура урока: 1. - 10 мин; 2. - 20-25 мин; 3. - 5 мин

Ход урока:

На дом учащимся было задано повторить методы доказательства тождеств, формулы сокращенного умножения их доказательства.

1. Мотивационно-ориентировочный этап.

Актуализация

- Сформулируйте определение тождества (Тождеством называется равенство, которое справедливо для любых допустимых значений входящих в него переменных).

- На доске вы видите список равенств. Выберите из них тождества.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

(Тождествами являются: 1), 3), 5), 7).)

- Докажите первое тождество. Как доказали его? (Левую часть равенства с помощью преобразований свели к правой части).

Хорошо, этот метод называется сведением левой части к правой.

- Рассмотрим следующее тождество. Как доказать его? (В правой части раскрыть скобки и привести подобные). Метод сведения правой части к левой.

5). Установление того, что разность между правой и левой частью равна нулю.

7). Преобразование левой и правой частей тождества к одному и тому же выражению.

Эти методы используются не только при доказательстве алгебраических равенств, но и при доказательстве тригонометрических тождеств.

Цель нашего урока: применить основные методы при доказательстве тригонометрических тождеств.

2. Содержательный этап.

(Раздается таблица с заполненным левым столбцом)

- На доске написаны тригонометрические тождества. Давайте их докажем.

- Итак, мы применили основные методы доказательства к тригонометрическим тождествам, таблица заполнена и вы можете ей пользоваться как образцом.

Доказательство следующего тождества выполните в парах любыми двумя методами.

Метод сведения левой части к правой

Метод сведения правой части к левой

Установление того, что разность между левой и правой частями равна 0.

Преобразование левой и правой частей тождества к одному и тому же выражению.