24. Методика обучения решению триг. Уравнений и неравенств. Основные приёмы решения триг. Уравнений

Триг. уравнения одна из самых сложных тем в шк. курсе математики. Триг. уравнения возникают при решении задач по планиметрии, стереометрии, астрономии, физики и в других областях. Уравнением называется равенство, содержащее переменную. А уравнения, в которых неизвестные содержатся под знаком триг. функций, называются триг. уравнениями.

Отличительная особенность триг. уравнений – бесконечное множество корней. Эта особенность связана с характерным свойством триг. функций – периодичностью. Решение триг. уравнений выполняется в большинстве случаев путём сведения их к простейшим триг. уравнениям. Поэтому и работу с триг. уравнениями естественно на­чинать с простейших триг. уравнений.

Уравнение f(x) = а, где а – данное число, а f(x) – одна из основных тригонометрических функций, называют простейшим триг. уравнением. В школьном курсе рассматриваются следующие простейшие тригонометрические уравнения: sin t = a, cos t = a, tg t = a, ctg t = a.

При изучении новых понятий арксинуса числа, арккосинуса числа, арктангенса числа, а также при решении простейших триг. уравнений и неравенств можно выбрать метод УДЕ.

Понятия арксинус, арккосинус, арктангенс действительного числа для учащихся являются новыми. Их определения сложные для восприятия учащихся, в учебниках приводится в символьной форме:

Но может быть сформулировано и словесно:

Опр. Арккосинусом числа а [-1; 1] называется такое число из отрезка косинус которого равен числу а.

Опр. Арксинусом числа а [-1; 1] называется такое число из отрезка синус которого равен числу а.

Опр. Арктангенсов числа а R называется такое число , тангенс которого равен а.

Опр. Арккотангенсом числа а R называется такое число , арккотангенс которого равен а.

Арксинус, арккосинус, арктангенс действительного числа являются новым представлением числа. Геометрической интерпретацией новых понятий является длина дуги или угол, на которую он опирается. В связи с этим вводится новый математический знак – arc, а также новые символы – arccosα, arcsinα, arctgα. Введение этих понятий становится необходимым при решении простейших тригонометрических уравнений. Понятиям тригонометрические уравнения и неравенства определение не формулируется, а дается лишь описание.

Трудности темы:

1. В отличие от иррациональных, показательных и логарифмических уравнений, где в каждом классе имеется по одному типу простейших, здесь приходится рассматривать три (а в некоторых учебниках четыре) типа простейших уравнений: sinx = a, cosx = a, tgx = a, ctgx = a.

2. Изучение этих типов уравнений требует введения новых понятий (arcsina, arccosa, arctga, arcctga), содержащие новый математический знак;

3. Впервые учащиеся сталкиваются с бесконечным множеством корней уравнения вместо привычного конечного множества;

4. Наличие параметра в записи решений;

5. Для каждого типа простейших тригонометрических уравнений имеется общая формула корней (особо нужно отметить формулу корней для уравнения sinx = a, где содержится непривычный указатель знака (-1)ⁿ);

6. При решении уравнений sinx = a, cosx = a, следует учитывать условие , указывающее на наличие корней;

7. Необходимо владеть геометрическим смыслом решения тригонометрических уравнений на координатной плоскости, т.е. решение уравнений с помощью числовой окружности.

При решении триг. уравнений учащиеся привыкают к тому, что число решений триг. уравнения бесконечно, но можно построить уравнения, имеющие конечное число корней. Их решение полезно так, как позволяет осознать смысл целочисленного параметра, входящего в формулу для корней триг. уравнения. Рассмотрение простейших уравнений начинается с уравнения cosx=а, поскольку формула его корней проще, чем формула для корней уравнения sinx=а, в которой используется непривычный указатель знака (-1)ⁿ Для достижения усвоения новых понятий необходимо проводить пропедевтику, когда изучается числовая окружность, научить школьников вычислять длины дуг единичной окружности; находить на окружности точки, соответствующие любым числам; находить для точки окружности числовой прообраз; находить декартовы координаты основных точек (типа π/4, π/3); отыскивать на окружности и правильно записывать точки, удовлетворяющие определенным условиям (например, x = ½, x>0, y = и т.д.). Тем самым мы фактически учим школьников находить значения тригонометрических функций и знаки их по четвертям, решать простейшие триг. уравнения и неравенства до того, как введены термины: абсцисса – косинус, ордината – синус. Но главное – приучаем в трудных случаях привлекать на помощь основную модель, на которой строится вся школьная тригонометрия – числовую окружность на координатной плоскости.

Учебная задача: 1. Выделить в совместной деятельности с учащимися содержание понятий арккосинуса, арксинуса, арктангенса, арккотангенса; формулы корней (решений) простейших триг. уравнений и неравенств.

2. Рассмотреть типы триг. уравнений, не являющихся простейшими, методы (способы) их решения. Алгебраические методы: введение вспомогательной переменной; разложение на множители; приёмы введения вспомогательного аргумента и сведения к однородному уравнению при решении неоднородных уравнений; решение однородных уравнений разных степеней; универсальная подстановка. Графический метод.

3. Формирование умений в решении триг. уравнений и неравенств, отбора корней при решении триг. уравнений и неравенств геом. и алгебр. способами.

диагностируемые цели: В результате изучения темы ученик

знает: - определения понятий arcsin а, arcсos а, arctg а, arcctg а;

- свойства понятий arcsin а, arcсos а, arctg а, arcctg а;

- формулы нахождения корней (решений) простейших тригонометрических уравнений и неравенств;

- виды (типы) тригонометрических уравнений и методы (способы) их решения.

умеет: - решать простейшие триг. уравнения (неравенства);

- применять определения и свойства arcsina, arсcosa, arctga, arcctga при решении триг. уравнений и неравенств и других упражнений;

- доказывать свойства arcsina, arсcosa, arctga, arcctga;

- проводить отбор корней при решении триг. уравнений и неравенств (как простейших, так и нет) геом. и алгебр. методами;

- решать триг. уравнения различных типов, используя различные методы (приемы) решения. Алгебраические методы. Графический метод

понимает:

- что, arcsina, arсcosa, arctga, arcctga это новые способы записи числа (угла);

- происхождение нового обозначения - «arc»;

- роль видовых отличий понятий: arcsina, arсcosa, arctga, arcctga;

- при решении каких типов триг. уравнений следует применять тот или иной метод (способ) решения.

- какие преобразования могут привести к потере корней или появлению посторонних корней;

- аналогию при выведении формул простейших триг. уравнений и неравенств.