17. Методические основы введения и изучения элементов тригонометрии: определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа (угла)

В учебнике Алимова в начале α рассматривается как угол, принимающий любые значения, выраженные как в градусах, так и в радианах. Затем α рассматривается как произвольное число. В учебниках Мордковича последовательность обратная, но независимо от этого методические подходы к введению sin, cos, tg и сtg одинаковы.

С ледует отметить, что ученики с элементами тригонометрии встречались и не однажды: в курсе геометрии в главе «Подобные треугольники» (8кл) рассматривается тема «Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника», в которой были даны определения sin, cos, tg и сtg острого угла прямоугольного треугольника, как соотношение соответствующих сторон:

sinα=а/с, cosα=b/c, tgα=a/b, ctgα=b/a. Рассматривается основное тригонометрическое тождество. Формула . Определяются значения sin, cos, tg и сtg угла в 30^о, 45^о, 60^о. Далее это находит применение в курсе физики 8 кл.

Второй раз учащиеся встречаются с элементами тригонометрии в курсе геометрии 9 кл. в теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника». Вводятся понятия единичной полуокружности, даются определения sin, cos, tg и сtg угла α, где α∈[0^o;180^o]. Sin уже определяется как ордината, а cos как абсцисса точки единичной окружности, но это выводится из предыдущих определений, tgα определяется как отношение sinα к cosα, (α≠90⁰)

Рассматривается основное тригонометрическое тождество, возникают формулы приведения (не доказываются): sin(90-α)=cosα, cos(90-α)=sinα при 0 α 90, sin(180-α)=sinα, cos(180-α)=-cosα при 0 α 180.

Все это используется далее для записи формул:

- S_∆=1/2*absinα;

- теоремы синусов (стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных углов);

- теоремы косинусов (a² = b²+c²-2bc cosA).

Происходит нахождение различных элементов треугольника (называется «решением треугольника») по 3-м данным элементам, определяющим треу-к. Таким образом происходит пропедевтика к изучению тригонометрии в курсе алгебры 9-10.

В 9 кл в курсе алгебры в теме «Элементы тригонометрии» вводится определение sin, cos, tg и сtg числа (Мордкович), угла (Алимов).

- Вы знаете, что любому числу (углу) α соответствует единственная точка числовой окружности Р(α). Эта точка имеет две декартовы координаты х_α и у_α. Абсцисса х_α называется косинусом числа (угла) α, а ординату у_α – синусом числа (угла) α. х_α = cosα, у_α = sinα

Вводится четкое определение sin, cos.

Опр. Синусом угла α называется ордината точки, полученной поворотом точки (1,0) вокруг начала координат на угол α.

Опр. Косинусом угла α называется абсцисса точки, полученной поворотом точки (1,0) вокруг начала координат на угол α.

tg и сtg определяются как отношение.

,

,

Н еобходимо отметить, что sin, cos определены для любого α, а для tg и сtg есть ограничения. Далее отмечаем, что определение sin, cos имеет геометрическую интерпретацию: ось ординат – ось синусов, ось абсцисс – ось косинусов. Тут же необходимо ввести геометрические интерпретации для tg и сtg.

- Пусть дана числовая окружность, проведём через точку с координатами (0,1) прямую l||Oy, следовательно l препендик Ox, т.е. перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку (1,0). А раз прямая проведена к радиусу, то она является касательной к окружности в этой точке. Пусть .

Рассмотрим точку P(cosα,sinα). Соединим О и Р. ОР пересекает l в точке Т, найдем координаты точки Т. (х=1) Уравнение прямой ОР имеет вид у=кх. Нужно найти k. Подставим в него координаты точки Р, чтобы найти к. Тогда sinα = kcosα, k=tgα. Тогда уравнение прямой ОР: у = x∙tgα. Точка Т принадлежит прямой ОР, т.е её координаты удовлетворяют данному уравнению, тогда имеем у=1∙tgα, То есть прямую l можно считать осью тангенсов. Аналогично вводится ось котангенсов.

Геометрические интерпретации позволяют установить, что множество значений синуса и косинуса ограничено [-1;1], а тангенсов и котангенсов имеет все возможные значения.

Таким образом, начиная с определений и далее изучение элементов тригонометрии идёт методом УДЕ, т.е. все определения, свойства, тождества, формулы рассматриваются параллельно для sin, cos, tg, ctg.

Ключевой является формула косинуса суммы двух аргументов.

Теорема. Для любых α и β справедливо равенство:

Д оказательство:

Пусть точки М_α, М_–β, М_α+β получены поворотом точки М₀ (1; 0) на углы α, -β, α+β рад соответственно. По опр. синуса и косинуса эти точки имеют следующие координаты: М_α(cosα; sinα), М_–β(cos(-β); sin(-β)), М_α+β(cos(α+β); sin(α+β)).

Так как ∠М₀ОМ_α+β = ∠М_–βОМ_α, то равнобедренные треугольники М₀ОМ_α+β и М_–βОМ_α равны и, значит, равны их основания М₀М_α+β и М_–βМ_α. Следовательно, (М₀М_α+β)² = (М_–βМ_α)². Используя формулу расстояния между двумя точками, известную из курса геометрии, получаем . Преобразуем это равенство:

.

Используя основное тригонометрическое тождество, получаем:

, откуда .

Все последующие формулы выводятся из неё. Эту взаимосвязь следует показать учащимся. Следует обратить внимание на приёмы запоминания формул, особенно формул приведения.

Учебник Ш.А. Алимова в отличие от учебника Мордковича, где вначале идёт изучение sinα, cosα, tgα, ctgα как чисел, выводятся свойства чисел такого вида. Т.е. из содержательных линий курса алгебры здесь явно представлена числовая линия. Далее выводятся формулы тригонометрии, рассматриваются методы док-ва тригонометрических тождеств. Упрощаются тригонометрические выражения, т.е. формируется линия тождественных преобразований и только потом в тригонометрии рассматривается линия уравнений и неравенств и функциональная линия.

У А.Г. Мордковича ведущей является функциональная линия, а потом рассматривается всё остальное.