3 Группа.

А) ; Б) ; В) ; Г) ; Д)

Решение.

А) (метод введения новой переменной)

ОДЗ:

Ответ: , .

Б) (метод разложения на множители)

Ответ:

В) (По свойствам функций)

Так как функция является монотонно-возрастающей, то данное уравнение можно свести к уравнению:

Ответ:

Г) (функционально-графический метод)

Ответ: x=1.

Д) (функционально-графический метод)

Ответ:

4 группа.

А) ; Б) ; В) ; Г) ; Д)

Решение.

А) ; (метод введения новой переменной)

ОДЗ:

Ответ: , .

Б) ; (метод введения новой переменной)

Ответ: , .

В) (метод разложения на множители)

Ответ:

Г) (По свойствам функций)

Данное уравнение нельзя свести к уравнению 2x+2=5x-9, т.к. функция у=x⁴ не является монотонной. При таком переходе теряется корень x=1.

Д) (функционально-графический метод)

Ответ:

Мотивационно- ориентировочный этап

1). Актуализация

- На протяжении нескольких годов мы изучали различные виды уравнений и неравенств, а также рассматривали различные методы и приемы к решению уравнений и неравенств.Все уравнения можно разбить на две группы: алгебраические и трансцендентные. На прошлом уроке каждой группе учеников было задано домашнее задание: решить уравнения и неравенства, указать метод их решения, сделать презентацию. Какие виды алгебраических (трансцендентных) уравнений вы встретили в домашней работе? (представители от каждой группы называют виды, по ходу ответов учеников появляется следующая схема).

-также вам было выдано задание: определить методы решения тех или иных уравнений и неравенств. (представитель от группы указывает и объясняет решение уравнений и неравенств по подготовленной презентации).

В итоге ответов учащихся появляется следующая таблица.

2). Мотивация

- В ходе проверки домашнего задания мы с вами вспомнили основные методы решения уравнения и неравенств, поэтому на уроке мы с вами поговорим о них поподробнее. Ребята, поясните, пожалуйста, смысл словосочетаний «методы решения уравнений», «общие методы решения уравнений». (Методы решения уравнений – это способы, приемы, с помощью которых можно решить то или иное уравнение. Общие методы решения уравнений – это такие способы, приемы, с помощью которых можно решить уравнения разного типа.)

- На протяжении изучения школьного курса алгебры вы познакомились и изучили различные виды уравнений и неравенств, рассмотрели различные способы их решений. Впереди вам предстоит сдача экзамена в форме ЕГЭ, написание контрольной работы, поэтому необходимо повторить и структурировать все имеющие знания по общим методам решения уравнений и неравенств.

- Исходя из выше сказанного как бы вы сформулировали учебную задачу?

Учебная задача: обобщить и систематизировать основные методы и приемы решения уравнений и неравенств. Содержательный этап - А теперь вспомните какие методы и приемы вы применяли при решении различных видов уравнений?( Ученики называют методы: метод разложения на множители, метод замены переменной, по свойствам функций, функционально- графический) Вам каждому выдана канва- таблица, которую мы будем заполнять по ходу урока. - Первый метод мы назвали метод замены уравнения h(f(x))=h(g(x)) уравнением f(x)=g(x). (Заполняется таблица)

Данный метод мы применяли:

при решении показательных уравнений, когда переходим от уравнения a^f(x)=a^g(x) (a>0, a≠1) к уравнению ;

при решении логарифмических уравнений ,когда переходим от уравнения log_af(x)=log_ag(x) к уравнению f(x)=g(x);

при решении иррациональных уравнений, когда переходим от уравнения к уравнению f(x)=g(x).

при решении степенных уравнений.

-Данный метод применим только в том случае, когда функция y=h(x)- монотонная, которая каждое свое значение принимает только один раз.

Например,

Функция y=x⁷- монотонно- возрастающая функция, поэтому от данного уравнения можно перейти к уравнению вида 2x+2=5x-9? Откуда x=11/3. Расширения ОДЗ здесь не произошло, значит это- равносильное преобразование уравнения.

Если y=h(x)- немонотонная функция, то указанный метод применять нельзя, поскольку возможна потеря корней!

Например,

Решаем: 2х+2=5х-9

3х=11

Х=11/3.

Но у нас теряется корень х=1, подставим его в исходное уравнение:

– верное.

Данное уравнение нельзя свести к уравнению 2x+2=5x-9, т.к. функция у=x⁴ не является монотонной. При таком переходе теряется корень x=1.

- Второй метод- метод разложения на множители.

Суть метода заключается в том, что уравнение можно заменить совокупностью уравнений:

Решив ур-я этой совокупности нужно взять те корни, которые принадлежат ОДЗ исходного ур-я, остальные отбросить как посторонние. Нужна обязательно проверка или учет ОДЗ уравнения.

Рассмотрим несколько примеров (заполняется канва-таблица):

Задача сводится к решению совокупности двух уравнений:

X+2=9

X=7 x=-1, x=-5

Сделаем проверку. ОДЗ исходного уравнения: х+2>0, т.е. х>-2

Из найденный четырех корней системе неравенств удовлетворяет лишь x=7,x=-1остальные корни являются посторонними для данного уравнения.

Ответ: x=7, x=-1

Ответ: , .

Третий метод- метод введения новой переменной

Суть метода: если уравнение f(x)=0 удалось преобразовать к виду p(g(x))=0, то нужно ввести новую переменную u=g(x), решить уравнение p(u)=0, а затем решить совокупность уравнений:

гдеu_1,u₂…u_n- корни уравнения p(u)=0.

При введении новой переменной необходимо решить полученное уравнение относительно новой переменной до конца, т.е. до проверки корней (если это необходимо), и только потом можно возвращаться к исходной переменной.

Рассмотрим следующие примеры (заполняется канва-таблица).:

Введем новую переменную . Тогда . С условием введенных обозначений заданное тригонометрическое уравнение примет вид: . Решая полученное квадратное уравнение, получим корни .

Возвращаемся к исходной переменной и получаем совокупность уравнений:

Второе уравнение корней не имеет, т. к. . Из первого уравнения находим .

Ответ: .

(данное неравенство из домашней работы, поэтому заносим его решение в канву-таблицу)

ОДЗ:

Преобразуем левую часть неравенства следующим образом

.Получаем неравенство вида:

Делаем замену: . Тогда получаем следующее уравнение:

Решаем его методом интервалов. Для этого найдем корни уравнения . Ими будут: . Отмечаем эти точки на числовой прямой и проверяем знак уравнения на каждом интервале.

Решением неравенства будет множество .Переходим обратно к замене, получаем:

Ответ:

- И еще разберем четвертый метод – функционально- графический метод

Суть метода: Для решения ур-я f(x)=g(x) необходимо построить графики функций y=f(x), y=g(x) и найти точки их пересечения- корнями уравнения служат абсциссы этих точек.

Значение метода:

Данный метод позволяет определить число корней уравнения, угадать значение корня, найти приближенные, а иногда и точные значения.

1) Если одна из функций y=f(x), y= g(x) возрастает, а другая убывает, то уравнение f(x)=g(x) либо не имеет корней, либо имеет один корень (который иногда можно угадать)

2)Если на промежутке X наибольшее значение одной из функций y=f(x), y=g(x) равно А и наименьшее значение другой ф-ии тоже равно А, то уравнение f(x)=g(x) равносильно системе уравнений

Перейдем теперь к рассмотрению примеров (заполняется канва-таблица).

Графики функций и изображены на рисунке ниже.

Они пересекаются в двух точках (1,1) и (4,2). График функции лежит ниже графика функции |x-2| при .

Ответ: 0<

Подбором легко находится корень исходного уравнения x=2. Докажем, что этот корень единственный. Для этого преобразуем исходное уравнение к виду: . Функция возрастает, а функция убывает на всей числовой прямой, значит, уравнение имеет единственный корень x=2.

Ответ: x=2. КАНВА-ТАБЛИЦА

Рефлексивно-оценочный этап