Шпоры по методике

30. Методика изучения геометрического смысла производной, уравнения касательной к графику функции

Последовательность изучения геом. смысла производной:

1) ввести определение касательной, как предельное положение секущей

Пусть точки А и М принадлежат графику ф-ии y=f(x). Пусть x и x+h абсциссы точек А и М, тогда их ординаты равны f(x) и f(x+h). Из треугольника АСМ, где С(x+h, f(x)), найдем угловой коэффициент k прямой АМ, который зависит от h. Имеем

МС = f(x + h) – f(x), AC = h, т.е.

П усть число x фиксировано, а h→0, тогда точка А неподвижна, а точка М, двигаясь по графику, стремится к точке А. При этом прямая АМ стремиться занять положение некоторой прямой, которую называют касательной к графику ф-ции y=f(x), потому что lim₍_k_→₀₎k(n)) существует и равен f ^|(x). Итак f ‘(x) = tgα.

2) Напомнить, что ур-ние прямой имеет вид: y = kx+b, поэтому чтобы записать конкретную прямую надо найти k и b.

3) показываем, что k = tgα, где α-угол между касательной и положительным направлением оси абсцисс (α – угловой коэффициент прямой).

4) доказывается, что , где x₀ - абсцисса точки касания.

Если y = kx + и – искомое уравнение, то по формуле f ‘(x) = tgα находим k = , т.е. уравнение касательной имеет вид у = .

5) учитывая, что касательная проходит через точку (x₀,f(x₀)), подставляя их в ур-ие касательной, получим , откуда .

Получаем ур-ие касательной: y =

y = – уравнение касательной.

Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.

Содержание