4. Методика изучения линейной функции
В одних школьных учебниках изучается функция у = kx, а затем y = kx + b (Ш.А. Алимов). В других сразу изучается функция y = kx + b (А.Г. Мордкович). Но в том и другом случае нужно начинать с рассмотрения конкретной модели.
Задача 1. Укажите площадь прямоугольника, одна сторон которого равна 3 см. Дано: ABCD – прямоугольник, AD = 3см Указать: S Решение: Пусть АВ = a см, тогда - Каково значение при а = 4 см? S = 12 При а = 0,1 см S = 0,3 и т.д. - Какие величины изменяются в данной фигуре? a и S - Какая величина изменяется в зависимости от другой? S - Тогда обозначим а = х, S = y. Получим функцию у = 3х. | Задача 2. Укажите сторону прямоугольника одна сторона которого равна 3 см. Дано: ABCD – прямоугольник, ВС = 3см Указать: а Решение: Пусть АВ = a см, тогда (cм) Каково будет значение стороны треугольника при S = 9см2, S = 0,27 см2? а = 3 см, а = 0,09см - Какие величины изменяются в данной формуле? a и S - Какая величина изменяется в зависимости от другой? а - Тогда обозначим S = х, а = у, получим функцию . |
- Сравните полученные функции.
Общее: независимая переменная умножается на конкретное число.
- Таким образом, эти функции можно записать общей формулой y = kx, где k – некоторое заданное число. Функции заданного вида описывают многие реальные процессы (зависимость пройденного пути от потраченного на него времени и т.п.), поэтому необходимо их изучить. В практике важно знать как выглядит график этой функции. Построим график первой функции у = 3х.
При построении графика важно пройти 5 этапов последовательно:
1). Составить по заданной формуле таблицу значений х и соответствующих им значений у.
х | -2/3 | … |
у | -2 | … |
2). Построить точки, координаты которых заданы в таблице (Т.1).
3). Т.к. х – любое число, то проведём через полученные точки сплошную линию. Возникает предположение, что полученный график является прямой.
4) Находим по заданной формуле другие точки (Т.2)
Проверяем принадлежат ли точки с заданными координатами данной прямой.
5). Берём точку на построенной прямой и находим её координаты (2/3; 2) Подставляем найденные координаты в формулу и убеждаемся, что равенство верно.
Делаем общий вывод, что графиком функции y = kx является прямая при любом k (аналогично можно рассмотреть на графике y = 1/3∙k).
Далее обсуждается, что любая такая прямая проходит через т. (0;0), т.е. через начало координат. Из курса геометрии известно, что прямая задаётся однозначно 2 точками. Поэтому, чтобы построить график функции y = kx достаточно построить 2 точки графика и соединить их прямой линией с помощью линейки.
Далее рассматривается зависимость расположения графика в координатных четвертях от его вида, идёт сверху вниз или снизу вверх. Это зависит от k.
Чтобы перейти к рассмотрению общего вида линейной функции, опять решаем практическую задачу.
Задача. На складе было 500т угля. Ежедневно стали вывозить по 30т угля. Сколько угля будет на складе через х дней?
Решая данную задачу, получаем функцию: у = 500 – 30х, у = -3х + 500
Далее решаются аналогичные задачи, в итоге приходим к функции вида: y = kx+b, где k и b – заданные числа. Даётся определение линейной функции, строятся графики конкретных линейных функций, проходя все 5 этапов.
Опр. Линейной функцией называется функция y = kx + b, где k и b – заданные числа.
Делается вывод, что графиком линейной функции является прямая. Рассматривается вопрос получения графика функции y = kx + b из графика функции y = kx.
Например, даны функции у = х и у = х + 5. Сравним значения функций при одних и тех же значениях х.
х | 0 | 0,5 | … |
у = х | 0 | 0,5 | … |
у = х + 5 | 5 | 5,5 | … |
Значения функции у = х + 5 на 5 единиц больше, чем у функции у = х.
- Посмотрим как это отображается на графике.
Графики функций – параллельные прямые. График второй функции получен из графика первой функции сдвигом вверх на 5 единиц. Далее рассматриваются другие аналогичные примеры.
Делается общий вывод: график функции y = kx + b получается из графика функции y = kx сдвигом вдоль оси ординат на |b| вверх, если b>0; вниз, если b<0. Графики функций y = kx + b и y = kx – параллельные прямые.
В Мордковиче А.Г. также подробно рассматривается вопрос взаимного расположения графиков линейных функций. В отличие от Ш.А. Алимова, Мордкович сначала рассматривает линейную функцию, а потом среди линейных особо выделяет функцию вида y = kx.
Теорема: Пусть даны две линейные функции у = k1x + m1 и у = k2 + m2. Если угловые коэффициенты k1 и k2 равны, то прямые, служащие графиками линейных функций, параллельны (и даже совпадают при условии m1 = m2). Если же k1≠ k2, то прямые пересекаются.
Линейные функции | Алгебраическое условие | Геометрический вывод |
у = k1x + m1
у = k2 + m2 | 1) k1 = k2, m1 ≠ m2
2) k1 = k2, m1 = m2
3) k1 ≠ k2 | 1) Прямые у = k1x + m1 и у = k2 + m2 параллельны 2) Прямые у = k1x + m1 и у = k2 + m2 совпадают 3) Прямые у = k1x + m1 и у = k2 + m2 пересекаются |
- 1. Цели и задачи изучения курса алгебры, алгебры и начал анализа в 9-11 классах
- 2. Понятие функции в мат-ке и в школьном курсе мат-ки. Формирование понятия функции в школьном курсе мат-ки
- 3. Знания и умения школьников, связанные с понятием функции. Методика введения понятия функции
- 4. Методика изучения линейной функции
- 5. Методика изучения квадратичной функции
- 6. Методика изучения общих свойств функции
- 7. Расширение понятия степени. Методика введения понятия степени с целым показателем
- 8. Методика введения арифметического корня с натуральным показателем, степени с рациональным показателем
- 9. Определение степени с действительным показателем и её свойства
- 10. Теоретические основы изучения степенной функции
- 11.Урок обобщения и систематизации по теме «Степенная ф-ция»
- 12.Проект изучения темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии» (9 класс). Урок решения ключевых задач (метод уде)
- Глава 4, §§14-16.
- Глава 4, §§14-16.
- Ход урока
- 12. Теор. Основы изучения темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии»
- 13. Методика изучения показательной функции
- 14. Теоретические основы изучения логарифмической функции. Методика введения понятия логарифма
- 1. Мотивационно-ориентировочный этап
- 2. Содержательный этап.
- 15. Разработка урока-лекции «Логарифмическая функция, её свойства и график»
- I. Мотивационно-ориентировочная часть.
- II.Содержательная часть.
- 16. Методические основы введения и изучения элементов тригонометрии: числовая окружность, числовая окружность на координатной плоскости
- 17. Методические основы введения и изучения элементов тригонометрии: определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа (угла)
- 17. Методические основы введения и изучения элементов тригонометрии: определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа (угла)
- 18. Теоретические основы изучения темы «Тождественные преобразования тригонометрических выражений». Урок решения ключевых задач
- 19. Методические рекомендации к изучению тригонометрических функций. Методика изучения свойства периодичности функции
- 21. Проект урока-лекции «Решение уравнений и неравенств Арксинус числа. Свойства арксинуса числа»
- 22. Проект урока-лекции «Решение уравнений и неравенств Арккосинус числа. Свойства арккосинуса числа»
- 23. Проект урока-лекции «Решение уравнений и неравенств Арктангенс числа. Свойства арктангенса числа»
- 24. Методика обучения решению триг. Уравнений и неравенств. Основные приёмы решения триг. Уравнений
- Семинар-практикум по теме: «Основные приёмы решений тригонометрических уравнений».
- 25. Логические основы решения уравнений и неравенств в старших классах. Методические рекомендации к изучению понятий равносильные уравнения, уравнения – следствия, теорем о равносильности уравнений
- 26. Методика обучения учащихся решению частных видов уравнений и неравенств. Построение урока решения задач (на примере темы «Логарифмические уравнения и неравенства»)
- 2.Операционно-познавательный этап.
- 1. Решите уравнение:
- 2) Решите уравнение: .
- 3) Решите уравнение:
- 4) Решите уравнение: .
- 6) Решить неравенство: .
- 3.Рефлексивно-оценочный этап.
- 27. Организация заключительного повторения в 11 классе темы «Уравнения и неравентсва». Урок-лекция «общие методы решения уравнений»
- 1 Группа.
- 2 Группа.
- 3 Группа.
- 28. Методика введения понятий предела функций в точке и непрерывности функции
- 29. Методика введения понятия производной функции
- 30. Методика изучения геометрического смысла производной, уравнения касательной к графику функции
- 31. Теоретические и методические основы изучения темы «Применение производной к исследованию функции»
- 32. Теоретические и методические основы изучения первообразной и интеграла
- 33. Причины включения в школьный курс математики элементов вероятностно-статистической линии. Основные цели изучения элементов теории вероятностей и математической статистики
- 34. Теоретические и методические основы изучения теории вероятностей в школьном курсе математики 9-11 классов