9. Определение степени с действительным показателем и её свойства

Степень с действительным показателем окончательно вводится в 10 кл. При ответе на вопрос: «Что такое степень с действительным показателем?», нужно говорить: «определение степени с действительным показателем состоит из нескольких определений, перечислим их: Опр. 1 – Опр. 8».

Опр 1. Степенью числа а с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а.

aⁿ= a∙a∙… ∙a,

Опр. 2. Степенью числа а с показателем 1 называется само число а. а¹ = а

Опр. 3. Если , то:

Опр. 4. Если , то

Опр 5. Арифметическим корнем натуральной степени из неотрицательного числа а называется неотрицательное число, n-ая степень которого равна а.

.

Опр. 6. Корень нечётной степени из отрицательного числа:

.

Опр. 7.

Подробнее поговорим, как вводится степень с иррациональным показателем. Вспоминаем, что кроме рациональных чисел нам известны иррациональные число: , 0,123… - бесконечная непериодическая десятичная дробь.

Поэтому необходимо ввести понятие степени с иррациональным показателем. Рассмотрим, как можно определить .

Десятичным приближением числа по недостатку являются числа:

Т.е. имеет место последовательность . Эта последовательность монотонно возрастает и ограничена, например, отрезком [1, 2]. Тогда (по теореме Вейерштрасса) существует . Числа - рациональные, поэтому для них определены степени Имеем последовательность . В курсе высшей математики доказывается, что эта последовательность имеет предел и естественно его считать равным .

.

Т.е. можно определить степень с любым иррациональным показателем.

Вообще, пусть a > 0 и α – произвольное иррациональное число. Рассмотрим последовательность десятичных приближений числа α. Эта последовательность имеет предел . Можно показать, что последовательность также имеет предел. Этот предел обозначают и называют степенью число а с показателем α.

, a > 0

Опр. 8. , , .

Свойства степени с иррациональным показателем ( ):

1⁰.

2⁰.

3⁰.

4⁰.

5⁰.

Переходим к изучению свойств степени с действительным показателем.

Свойства 1⁰ и 2⁰ не доказываются в рамках школьного курса математики. Свойство 1⁰ достаточно очевидно, а свойство 2⁰ можно открыть рассматривая различные примеры. Отметим, что для степени с действительным показателем сохраняются все известные ранее свойства. Другие свойства доказываются.

Следует подчеркнуть, что рассматриваемые свойства выполняются для степени с любым действительным показателем, а значит, с натуральным, целым, рациональным. Эти свойства будут составлять базу для выявления свойств степенной и показательной функции, для решения степенных и показательных уравнений и неравенств.

Свойства степени с действительным показателем (a>0, a₁>0, a₂>0, ):

1⁰.

2⁰. ;

3⁰.

4⁰.

5⁰.

6⁰.

7⁰.