21. Проект урока-лекции «Решение уравнений и неравенств Арксинус числа. Свойства арксинуса числа»

sin x=a, sin x>a, sin x<a относится к простейшим тригоном. ур-иям и нер-вам, поэтому целесообразно изучать их методом УДЕ, т.е. рассматривать параллельно. Записи можно вести в таблице.

Начать следует с рассмотрения частных случаев: а = о, 1, -1.

Сначала при нетабличных значениях а выявляются некоторые общие формулы. Для sinx = a это сделать труднее всего. Нужно подробно поговорить о том, что например, уравнение sin x = ½ имеет две формулы корней

x₁ = π/6 + 2πk, где k Z.

x₂ = π – π/6 + 2πk = 5 π/6 + 2πk, где k Z.

Можно записать x₂ = – π/6 + (π+2πk) = – π/6 + π(1+2k), где k Z.

Т.о., две формулы можно объединить в одну:

x = + πk , где k Z.

Потом возникает вопрос записи решения при нетабличных а, например, sin x = 2/3

Рассуждения проводятся аналогично

x₁ = t₁ + 2πk, где k Z.

x₂ = - t₁+ 2πk, где k Z.

Где t₁ от -1 до 1.

x = + πk, где k Z.

Остается выяснить, чему равно t₁. Вводится определение arсsin а, где а от -1 до 1. В итоге получаем общую формулу

x = arcsin а+ πk, где k Z.

Вводятся свойства arcsin а.

Рассмотрим фрагмент урока по введению этих понятий.

В актуализации следует дать задания следующего типа:

1. Вычислить значения: sin π/6; sin π; sin 0; sin π/2 , sin 5π/6.

2. Синус какого угла равен 1/2; 0; 1;- 1; -1/2, если , ?

Рассмотрим это уравнение для табличных значений а. Записи будем вести в таблице. Рассмотрим sinx = 0. Как будем решать это уравнение?

У: с помощью числовой окружности. Отметим точку, ордината которой равна 0. Проведем прямую через эту точку параллельную оси Ох. Точки пересечения данной прямой с окружностью и есть решение данного уравнения.

x = πk, где k Z.

П: Решим соответствующее неравенство со знаком больше sin x > 0. Что будет являться решением этого неравенства?

У: решением данного неравенства будет множество точек единичной окружности, лежащее выше прямой у=0.

2πk < x < π+2πk, k Z.

П: третий столбец таблицы заполняется самостоятельно.

У: π+2πk < x < 2π+2πk, k Z

Аналогичная работа происходит и для а=1, а=-1.

Мотивация.

Далее предлагается решить следующую задачу: синус какого угла равен 2/5

П: это значит решить уравнение sin x = 2/5, так как 2/5 не табличное значение, то сделать мы этого пока не можем. Итак, целью нашего урока является «Найти решение уравнения sin x = а».

Содержательная часть.

П: решите следующее уравнение sin x = 2/5, как будете решать?

У: Отметим точку, ордината которой равна 2/5 . Проведем прямую через эту точку параллельную оси Ох. Точки пересечения данной прямой с окружностью и есть решение данного уравнения.

П: Обозначим эти точки t₁ и t₂. Тогда как запишется решение этого уравнения?

У: x₁ = t₁ + 2πk, где k Z.

x₂ = t₂+ 2πk, где k Z.

П: Как связаны t₁ и t₂?

У: t₂ = π - t₁. Тогда

x₁ = t₁ + 2πk, где k Z.

x₂ = π- t₁+ 2πk, где k Z.

П: Можно x₂ записать еще по-другому x₂ = - t₁+ π +2πk = - t₁+ π(1+2k), где k Z.

Тогда можно объединить x₁ и x_2, получим x = + πk, где k Z.

Осталось найти t₁. Очень часто приходится решать уравнения типа sin x= a, где а от -1 до 1 и а не является табличным значением. Для этого в математике вводится понятие arcsin числа а. Сформулируем определение: арксинусом числа а из [-1,1], называется такое число из [- π/2, π,/2], синус которого равен а.

П: Чему будет тогда равно t₁ из нашего примера?

У: t₁ = arcsin2/5 . Тогда x = arcsin2/5 + πk , где k Z, так как t₁ из [- π/2, π,/2].

П: Т.о., получим общую формулу для решения уравнения sin x= a, где а от -1 до 1.

x = arcsin а + πk , где k Z.

П: Решим теперь неравенство sin x > 2/5. Что будет являться решением этого неравенства?

У: решением данного неравенства будет множество всех точек единичной окружности, лежащее выше прямой у = 2/5.

П: Запишите решение этого неравенства.

П: решите неравенство sinx< 2/5.

У: решением данного неравенства будет множество всех точек единичной окружности, лежащее ниже прямой у= 2/5.

- π-arcsin 2/5 + 2πk < x < arcsin2/5 + 2πk, где k Z

П: Сделаем вывод, какое будет решение неравенства sin x>a?

У: arcsin а+2πk < x < π- arcsin а+2πk, где k Z

П: какое будет решение неравенства cos x<a?

У: - π-arсsinа + 2πk < x < arсsin а + 2πk , где k Z

П: Вернемся к понятию арксинуса. Применяя определение, найдите значение выражения:

arcsin ( ); arcsin ( ); arcsin (1/2);arcsin (- ); arcsin (– ); arcsin (–1/2)

У: arcsin ( ) = π/3; arcsin ( ) = π/4; arcsin (1/2) = π/6; arcsin (– )= - π/4; аrсsin (–1/2) = 11π/6 = -π/6; arcsin (- )=5π/3 = -π/3

П: Выразите arcsin (– ) через arcsin ( ), аrсsin (–1/2) через аrсsin (1/2)

У: arcsin (– )= - π/3 = - arcsin ( )

аrсsin (–1/2) = - π/6 =- аrсsin (1/2)

П: как вычислить значение arcsin (– а)?

У: arcsin (– а)=- arcsin ( а)

Далее подводятся итоги урока.