22. Проект урока-лекции «Решение уравнений и неравенств Арккосинус числа. Свойства арккосинуса числа»

cos x=a, cos x>a, cos x<a относится к простейшим тригоном. ур-иям и нер-вам, поэтому целесообразно изучать их методом УДЕ, т.е. рассматривать параллельно. Записи можно вести в таблице

Начать следует с рассмотрения частных случаев: а=о, 1, -1. Далее рассматривают табличные значения а, например, cos x = 1/2 имеет две формулы корней

x₁ = π/3 + 2πk, где k Z.

x₂ = - π/3 + 2πk, где k Z.

Которые можно объединить в одну:

x = ± π/3 + 2πk , где k Z.

Потом возникает вопрос записи решения при нетабличных а, например, cos x = 2/3

Рассуждения проводятся аналогично

x₁ = t₁ + 2πk, где k Z.

x₂ = - t₁+ 2πk, где k Z.

x = ± t₁ + 2πk, где k Z.

Остается выяснить, чему равно t₁. Вводится определение arсcos а, где а от -1 до 1. В итоге получаем общую формулу

x = ± arccos а+ 2πk, где k Z.

Вводятся свойства arccos а.

Рассмотрим аргумент урока по введению этих понятий.

В актуализации следует дать задания следующего типа:

1). Вычислить значения: cos π/3 ; cos π/6; cos π/4; cos π; cos 0; cos π/2. cos 2π/3; cos 2π/6 ; cos 3π/4.

2). Косинус какого угла равен 1/2; 0; ; 1; ; –1/2; – , если ?

В общем виде уравнение выглядит как: cosx = a.

Рассмотрим это уравнение для табличных значений а. Записи будем вести в таблице. Рассмотрим cosx = 0. Как мы его решали это уравнение?

У: с помощью числовой окружности. Отметим точку, абсцисса которой равна 0. Проведем прямую через эту точку параллельную оси Оу. Точки пересечения данной прямой с окружностью и есть решение данного уравнения.

x = π/2 + πk, где k Z.

П: Решим соответствующее неравенство со знаком больше cos x > 0. Что будет являться решением этого неравенства?

У: решением данного неравенства будет множество точек единичной окружности, лежащее правее прямой х=0.

-π/2 +2 πk < x < π/2 +2 πk, k Z.

П: третий столбец таблицы заполняется самостоятельно.

У: π/2 +2 πk < x < 3π/2 +2 πk, k Z

Аналогичная работа происходит и для а=1, а=-1.

Мотивация.

Далее предлагается решить следующую задачу: косинус какого угла равен 2/5 (не могут решить). Итак, целью нашего урока является «Найти решение уравнения cos x = а ».

Содержательный этап.

П: Отметим точку, абсцисса которой равна 2/5 . Проведем прямую через эту точку параллельную оси Оу. Точки пересечения данной прямой с окружностью и есть решение данного уравнения.

П: Обозначим эти точки t₁ и t₂. Тогда как запишется решение этого уравнения?

У: x₁ = t₁ + 2πk, где k Z.

x₂ = t₂+ 2πk, где k Z.

П: Как связаны t₁ и t₂?

У: t₂ = -t₁ . Тогда

x₁ = t₁ + 2πk, где k Z.

x₂ = - t₁+ 2πk, где k Z.

Их можно объединить x = ± t₁ + 2πk, где k Z.

П: Т.о., надо найти t₁.Очень часто приходится решать уравнения типа cos x= a, где а от -1 до 1 и а не является табличным значением. Для этого в математике вводится понятие arcсos числа а. Сформулируем определение: арккосинусом числа а из [-1,1], называется такое число из [0, π], косинус которого равен а.

П: Чему будет тогда равно t₁ из нашего примера?

У: t₁=arccos 2/5 . Тогда x = ± arccos 2/5+ 2πk , где k Z, так как t₁ из [0, π] .

П: Т.о., получим общую формулу для решения уравнения cos x= a, где а от -1 до 1.

x = ± arcсos а + 2πk , где k Z.

П: Решим теперь неравенство cos x >2/5. Что будет являться решением этого неравенства?

У: решением данного неравенства будет множество всех точек единичной окружности, лежащее правее прямой х=2/5.

П: Запишите решение этого неравенства.

У: -arccos2/5 + 2πk<x< arccos2/5 + 2πk, где k Z.

П: решите неравенство cos x<2/5.

У: решением данного неравенства будет множество всех точек единичной окружности, лежащее левее прямой х=2/5.

Arccos2/5 + 2πk < x < 2π- arcos 2/5 + 2πk, где k Z

П: Сделаем вывод, какое будет решение неравенства cos x>a?

У: -arсcos а + 2πk < x < arсcos а + 2πk , где k Z

П: какое будет решение неравенства cos x<a?

У: arсcos а+2πk < x < 2π-arсcos а+2πk, где k Z

П: Вернемся к понятию арккосинуса. Применяя определение, найдите значение выражения:

arccos ( ); arcсos (1/2);arccos (– ); arcсos (–1/2)

У: arccos ( ) = π/4; arcсos (1/2) = π/3; arccos (– )= 3π/4; аrсcos (–1/2) = 2π/3

П: как можно представить π/4, 2π/3

У: 3π/4 = π- π/4, 2π/3 = π- π/3

П: Выразите arccos(– ) через arccos( ), аrсcos (–1/2) через аrсcos (1/2)

У: arccos (– )= π/4=π- π/4 =π- arccos( )

аrсcos (–1/2) = 2π/3=π- π/3=π- аrсcos (1/2)

П: как вычислить значение arccos (– а)?

У: arccos (– а)=π- arccos ( а)

Далее подводятся итоги урока.