31. Теоретические и методические основы изучения темы «Применение производной к исследованию функции»
Необходимо напомнить ученикам, что в начале изучения понятия производной была поставлена задача: Найти средства для исследования функции на свойства и нахождения ее особых точек. «Теперь настала время решить эту задачу. Создается канва таблица и весь материал заносить в таблицу.
Применение производной к исследованию функции | |
Возрастание и убывание функции … | |
Экстремумы функции… | |
Наибольшее, наименьшее значение функции: | |
На отрезке… | На интервале… |
Все теоремы, на которых основаны способы нахождения промежутков монотонности и точек экстремума не могут быть доказаны в школьном курсе математики, но чтобы сделать восприятие учащимися этих теорем более осознанным надо подводить учащихся к соответствующим выводам с помощью графиков. Вспоминаем, какая функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке.
Опр. Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке, если она определена во всех точках промежутка, и для любых двух точек х1 и х2, принадлежащих этому промежутку, таких что х1 < x2, выполняется условие
И определения заносятся в канву- таблицу:
Далее рассматривается график функции, который убывает или возрастает на промежутке.
|
|
Строим несколько касательных:
1)Угловой коэффициент k>0, значит f ’(x)>0
2)Угловой коэффициент k<0, значит f ’(x)<0
Это выполняется для любого х из (а,b).
Формулируется соответствующее утверждение:
Если f ‘ (x) > 0 на промежутке, то функция возрастает на этом промежутке, если f ‘ (x) < 0, то функция убывает на этом промежутке.
Далее формулируется утверждение обратное данному. Оно доказывается с помощью теоремы Лагранжа. Эту теорему можно показать с помощью графика.
Теорема: Если f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и дифференцируема на интервале (a; b), то существует точка с из интервала такая, что f(b) – f(a) = f ’(c)(b – a).
- Пусть функция f(x) непрерывна на [a; b] и дифференцируема на интервале (a,b).
Проведем секущую через точки А (a; f(a)), В (b; f(b)). Тогда угловой коэффициент секущей:
Если будем проводить все возможные прямые параллельные АВ, то найдется такая точка С(с,f (с )), что касательная к данной точке С к графику функции будет параллельна АВ (с принадлежит (а, b)), тогда
f ’(c )(b-a) = f(b) - f(a)- теорема Лагранжа.
Все рассуждения заносятся в канву-таблицу.
Далее рассматривается вопрос нахождения особых точек:
1). вводятся, используя рисунки, определение точки максимума и точки минимума - точек экстремума.
Точка х0 называется точкой максимума (минимума) функции f(x), если существует такая окрестность точки х0, что для всех х≠х0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x) < f(x0) (f(x) > f(x0))
2). строятся касательные в этих точках, они получаются параллельно оси Ох ( т.е. к=0), тогда f’(x)=0 =>
Формулируется теорема Ферма (если х0-точка экстремума дифференцируемой функции f(x), то f’(x0)=0).
3) возникает вопрос верно ли обратное утверждение. Приводим контрпример, что утверждение не верно.
у = x3
f ’(x)=0, но х=0 не является точкой экстремума.
4). Вводиться определение стационарных точек.
Точки, в которых производная равна нулю называются стационарными точками.
Рассматривается особый случай, когда в точке экстремума производная не существует.
Пример: у=│х│в точке х=0 производная не существует, но эта точка является точкой экстремума.
5). Вводится определение критических точек и по рисункам открываем достаточное условие точек экстремума.
Точки, в которых функция имеет производную, равную нулю, или недифференцируема, называются критическими точками этой функции.
На основе изученной теории можно сформулировать алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы:
1)найти производную
2) найти критические точки
3) отметить критические точки на числовой прямой
4) определить знак производной на каждом из полученных промежутков
5) сделать вывод
Далее рассматривается построение графиков с применением производной к их исследованию на свойства. Вводиться схема исследования функции:
область определения
производная
стационарные точки
промежутки возрастания и убывания
точки экстремума и значение функции в этих точках
Для более точного построения графика обычно находят точки его пересечения с осями координат и, быть может, ещё несколько точек графика.
Обязательно нужно построить график ф-ии, которая рассматривалась на этапе мотивации.
Область определения ℝ
Функция общего вида, непериод.
–
–
Точки - точки максимума, точки - точки минимума
–
Затем изучается понятие наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке, наибольшего (наименьшего) значения функции на интервале. Четко выделяются алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения на отрезке:
- найти значение функции на концах отрезка, т.е числа f(a) и f(b).
- найти ее значения в тех критических точках, которые принадлежат интервалу (a,b)
-из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
В практических задачах функция f(x) имеет на заданном интервале только одну стационарную точку: либо точку максимума, либо точку минимума. В таких случая в точке максимума функция принимает наибольшее значение, в точке минимума – наименьшее значение на данном интервале.
Рассматривая вопрос нахождения наибольшего (наименьшего значения на интервале учитель должен наглядно по рисункам продемонстрировать тот факт, что только наличие единственной точки экстремума на данном интервале позволяет сделать вывод о наличии на интервале наибольшего (наименьшего) значения. Этот факт находит применение при решении текстовых задач.
Тема «Выпуклость графика функции. Точки перегиба» обычно рассматриваются в математических классах.
- 1. Цели и задачи изучения курса алгебры, алгебры и начал анализа в 9-11 классах
- 2. Понятие функции в мат-ке и в школьном курсе мат-ки. Формирование понятия функции в школьном курсе мат-ки
- 3. Знания и умения школьников, связанные с понятием функции. Методика введения понятия функции
- 4. Методика изучения линейной функции
- 5. Методика изучения квадратичной функции
- 6. Методика изучения общих свойств функции
- 7. Расширение понятия степени. Методика введения понятия степени с целым показателем
- 8. Методика введения арифметического корня с натуральным показателем, степени с рациональным показателем
- 9. Определение степени с действительным показателем и её свойства
- 10. Теоретические основы изучения степенной функции
- 11.Урок обобщения и систематизации по теме «Степенная ф-ция»
- 12.Проект изучения темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии» (9 класс). Урок решения ключевых задач (метод уде)
- Глава 4, §§14-16.
- Глава 4, §§14-16.
- Ход урока
- 12. Теор. Основы изучения темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии»
- 13. Методика изучения показательной функции
- 14. Теоретические основы изучения логарифмической функции. Методика введения понятия логарифма
- 1. Мотивационно-ориентировочный этап
- 2. Содержательный этап.
- 15. Разработка урока-лекции «Логарифмическая функция, её свойства и график»
- I. Мотивационно-ориентировочная часть.
- II.Содержательная часть.
- 16. Методические основы введения и изучения элементов тригонометрии: числовая окружность, числовая окружность на координатной плоскости
- 17. Методические основы введения и изучения элементов тригонометрии: определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа (угла)
- 17. Методические основы введения и изучения элементов тригонометрии: определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа (угла)
- 18. Теоретические основы изучения темы «Тождественные преобразования тригонометрических выражений». Урок решения ключевых задач
- 19. Методические рекомендации к изучению тригонометрических функций. Методика изучения свойства периодичности функции
- 21. Проект урока-лекции «Решение уравнений и неравенств Арксинус числа. Свойства арксинуса числа»
- 22. Проект урока-лекции «Решение уравнений и неравенств Арккосинус числа. Свойства арккосинуса числа»
- 23. Проект урока-лекции «Решение уравнений и неравенств Арктангенс числа. Свойства арктангенса числа»
- 24. Методика обучения решению триг. Уравнений и неравенств. Основные приёмы решения триг. Уравнений
- Семинар-практикум по теме: «Основные приёмы решений тригонометрических уравнений».
- 25. Логические основы решения уравнений и неравенств в старших классах. Методические рекомендации к изучению понятий равносильные уравнения, уравнения – следствия, теорем о равносильности уравнений
- 26. Методика обучения учащихся решению частных видов уравнений и неравенств. Построение урока решения задач (на примере темы «Логарифмические уравнения и неравенства»)
- 2.Операционно-познавательный этап.
- 1. Решите уравнение:
- 2) Решите уравнение: .
- 3) Решите уравнение:
- 4) Решите уравнение: .
- 6) Решить неравенство: .
- 3.Рефлексивно-оценочный этап.
- 27. Организация заключительного повторения в 11 классе темы «Уравнения и неравентсва». Урок-лекция «общие методы решения уравнений»
- 1 Группа.
- 2 Группа.
- 3 Группа.
- 28. Методика введения понятий предела функций в точке и непрерывности функции
- 29. Методика введения понятия производной функции
- 30. Методика изучения геометрического смысла производной, уравнения касательной к графику функции
- 31. Теоретические и методические основы изучения темы «Применение производной к исследованию функции»
- 32. Теоретические и методические основы изучения первообразной и интеграла
- 33. Причины включения в школьный курс математики элементов вероятностно-статистической линии. Основные цели изучения элементов теории вероятностей и математической статистики
- 34. Теоретические и методические основы изучения теории вероятностей в школьном курсе математики 9-11 классов