5. Методика изучения квадратичной функции
Необходимо вначале провести актуализацию, т.е. вспомнить понятие функции, как изучалась линейная функция.
Опр. Если каждому значению х из некоторого множества Х поставлено в соответствие число у, то говорят, что на этом множестве задана функция у(х), при том х называют независимой переменной (аргументом), а у – зависимой переменной (функцией). (В учебнике Ш.А. Алимова и др.)
Опр. Линейной функцией называется функция y = kx + b, где k и b – заданные числа.
График функции y = kx + b получается из графика функции y = kx сдвигом вдоль оси ординат на |b| вверх, если b>0; вниз, если b<0. Графики функций y = kx + b и y = kx – параллельные прямые.
Далее идёт мотивация.
Задача 1. Одна из сторон прямоугольника на з см больше другой стороны, найдите его площадь.
Решение: S = x(x+3) = x2+3x. Получили функцию S(x) = x2+3x, где х - независимая, S – зависимая.
Задача 2. Тело брошено в верх с высоты 24 м со скоростью 2м/с. На каком расстоянии от поверхности Земли будет находиться тело в момент времени t?
Решение: S = -gt2/2 + V0t + S0, где V0 = 2м/с, S0 = 24м, g = 9,8м/с2
Тогда S = -4,9t2 + 2t + 24, где t – независимая переменная, S – зависимая.
И в том и в другом примере имеем дело с функцией нового вида: y = ax2 + bx + c, где a ≠ 0.
Формулируется определение квадратной функции.
Опр. Функция y = ax2 + bx + c, где a, b и c – заданные действительные числа, a ≠ 0, x – действительная переменная, называется квадратичной функцией.
Затем даются упражнения на узнавание. Решаются задачи трёх ранее указанных типов. При решении задач третьего типа берётся у = 0, тогда найденное значение х называется нулём квадратичной функции. Это понятие вводится впервые и устанавливает связь квадратичной функции с соответствующим квадратным уравнением, его корнями. Затем подробно рассматривается функция у = х2, строится её график по 5 пунктам.
Рассмотрим функцию у = х2, т.е. квадратичную функцию y = ax2 + bx + c при а = 1, b = c = 0. 1). Составим таблицу её значений:
х | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
у = х2 | 16 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 |
2). Построим точки, координаты которых заданы в таблице.
3). Т.к. х – любое число, то проведём через полученные точки сплошную линию.
4) Находим по заданной формуле другие точки. Проверяем принадлежат ли точки с заданными координатами данной прямой.
5). Берём точку на построенной прямой и находим её координаты. Подставляем найденные координаты в формулу и убеждаемся, что равенство верно.
Для построения графика этой функции лучше взять масштаб 1 см. Проходя пункт 3, обязательно подчёркиваем, что х – любое число, поэтому графиком функции является сплошная линия. Учитель сам показывает вид этой линии. После прохождения всех 5 пунктов, учитель говорит: «Кривая, являющаяся графиком функции у = х2 называется параболой». Далее рассматриваются её свойства по графику:
1. Значение функции у = х2 положительно при х ≠ 0 и равно нулю при х = 0. Следовательно, парабола у = х2 проходит через начало координат, а остальные точки параболы лежат выше оси абсцисс. Говорят, что парабола у = х2 касается оси абсцисс в точке (0; 0)
2. График функции у = х2 симметричен относительно оси ординат, т.к. (-х)2 = х2. Например, у(-3) = у(3) = 9. Таким образом, ось ординат является осью симметрии параболы. Точку пересечения параболы с её осью симметрии называют вершиной параболы. Для параболы у = х2 вершиной является начало координат.
3. При большему значению х соответствует большее значение у. Например, у(3) > y(2). Говорят, что функция у = х2 является возрастающей на промежутке .
При большему значению х соответствует меньше значение у. Например, у(-2) < y(-4). Говорят, что функция у = х2 является убывающей на промежутке .
Затем изучается функция у = ах2, при различных а ≠ 0.
Следует провести сравнение с функцией у = х2, например, составляя таблицы:
х | 0 | ±1 | ±1/2 | ±2 |
у = х2 | 0 | 1 | ¼ | 4 |
у = 2х2 | 0 | 2 | 1/2 | 8 |
Значения 2-ой функции в два раза больше, чем 1-ой.
х | 0 | ±1 | ±1/2 | ±2 |
у = х2 | 0 | 1 | ¼ | 4 |
у = ½ х2 | 0 | ½ | 1/8 | 2 |
Значения 2-ой функции в два раза меньше, чем 1-ой.
Появляется понятие: растяжение (сжатие) вдоль оси Оу. Увеличение приводит к растяжению, уменьшение – к сжатию. Говорят, что график функции у = 2 х2 получается растяжением графика функции у = х2 от оси Ох вдоль оси Оу. Говорят, что график функции у = ½ х2 получается сжатием графика функции у = х2 к оси Ох вдоль оси Оу.
х | 0 | ±1 | ±1/2 | ±2 |
у = х2 | 0 | 1 | 1/4 | 4 |
у = -х2 | 0 | -1 | -1/4 | -4 |
Появляется понятие: отражение от оси, в дано случае от оси Ох. График функции у = -х2 можно получить симметрией относительно оси Ох графика функции у = х2.
График функции у = ах2 при любом а ≠ 0 также называют параболой. При a > 0 ветви параболы направлены вверх, а при a < 0 – вниз. В итоге появляется следующее правило: график функции у = ах2 можно получить из графика функции у = х2 растяжением вдоль оси Оу в |a| раз, при |a|>1; и сжатием вдоль оси Оу в 1/|a| раз при 0<|a|<1; и отражением от оси Ох, если a<0.
Рассматриваются свойства.
1. Если a > 0, то функция у = ах2 принимает положительные значения при х ≠ 0; если a < 0, то функция у = ах2 принимает отрицательные значения при х ≠ 0; значение функции у = ах2 равно нулю только при х = 0.
2. Парабола у = ах2 симметрична относительно оси ординат.
3. Если a > 0, то функция у = ах2 возрастает при и убывает при ; если a < 0, то функция у = ах2 убывает при и возрастает при .
Выполняются упражнения на построение графиков, их чтение. Решаются простейшие квадратные неравенства графическим методом.
Пример: Решить неравенство 2х2 > 8.
Строим графики функций у = 2х2 и у = 8. Для того, чтобы решить неравенство, нужно найти те значения х, при которых точки параболы у = 2х2 лежат выше прямой у = 8.
По аналогичной схеме устанавливается, что график функции у = х2 + b можно получить из графика функции у = х2 сдвигом вдоль оси Оу. График функции у=(х + b)2 получается из графика функции у = х2 сдвигом вдоль оси Ох.
Устанавливаются свойства таких функций:
Те же что и ранее, только 2 пункт: ось симметрии параллельна оси ординат.
Далее рассматривается функция у = 2(х – 1)2 + 3. Обсуждается получение её графика из графика функции у = х2. Преобразуя выражение получаем функцию у = 2х2 – 4х + 5. Таким образом, возникает предположение, что график любой квадратичной функции у = ах2 + bx + c, a ≠ 0 может быть получен из графика функции у = х2 соответствующими преобразованиями, т.е. является параболой.
Чтобы чётко увидеть преобразования, нужно выделить полный квадрат у функции.
=
.
,
Получаем функцию , где (x0; y0) – координаты вершины параболы.
Графиком функции является парабола, получаемая сдвигом параболы у = ах2: вдоль оси абсцисс на х0, если x0 > 0, направо на |x0|, если x0 < 0; вдоль оси ординат вверх на у0, если y0 > 0, вниз на |y0|, если y0 < 0.
Устанавливаются свойства квадратичной функции общего вида. На построение графика любой квадратичной функции общего вида далее ведётся по следующей схеме:
1) Вершина параболы. Построить вершину параболы ,вычислив х0, у0 по формулам ,
2). Ось симметрии – провести через вершину параболы прямую, параллельную оси ординат.
3). Нули функции, если они есть. И построить на оси абсцисс соответствующие точки параболы.
4). Несколько дополнительных точек симметричных друг другу. Для этого
Необходимо взять две точки на оси Ох, симметричные относительно точки х0 и вычислить соответствующие значения функции.
5). График. Провести через построенные точки параболу.
Выполняются упражнения на построение графиков, чтение графиков. А именно на нахождение множества значений, н/б или н/м значения, промежутков знакопостоянства, возрастания/убывания функции.
Функция y = ax2 + bx + c принимает наименьшее или наибольшее значение в точке , которая является абсциссой вершины параболы. Если a > 0, то функция имеет наименьшее значение, а если а < 0, то функция имеет наибольшее значение.
- 1. Цели и задачи изучения курса алгебры, алгебры и начал анализа в 9-11 классах
- 2. Понятие функции в мат-ке и в школьном курсе мат-ки. Формирование понятия функции в школьном курсе мат-ки
- 3. Знания и умения школьников, связанные с понятием функции. Методика введения понятия функции
- 4. Методика изучения линейной функции
- 5. Методика изучения квадратичной функции
- 6. Методика изучения общих свойств функции
- 7. Расширение понятия степени. Методика введения понятия степени с целым показателем
- 8. Методика введения арифметического корня с натуральным показателем, степени с рациональным показателем
- 9. Определение степени с действительным показателем и её свойства
- 10. Теоретические основы изучения степенной функции
- 11.Урок обобщения и систематизации по теме «Степенная ф-ция»
- 12.Проект изучения темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии» (9 класс). Урок решения ключевых задач (метод уде)
- Глава 4, §§14-16.
- Глава 4, §§14-16.
- Ход урока
- 12. Теор. Основы изучения темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии»
- 13. Методика изучения показательной функции
- 14. Теоретические основы изучения логарифмической функции. Методика введения понятия логарифма
- 1. Мотивационно-ориентировочный этап
- 2. Содержательный этап.
- 15. Разработка урока-лекции «Логарифмическая функция, её свойства и график»
- I. Мотивационно-ориентировочная часть.
- II.Содержательная часть.
- 16. Методические основы введения и изучения элементов тригонометрии: числовая окружность, числовая окружность на координатной плоскости
- 17. Методические основы введения и изучения элементов тригонометрии: определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа (угла)
- 17. Методические основы введения и изучения элементов тригонометрии: определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа (угла)
- 18. Теоретические основы изучения темы «Тождественные преобразования тригонометрических выражений». Урок решения ключевых задач
- 19. Методические рекомендации к изучению тригонометрических функций. Методика изучения свойства периодичности функции
- 21. Проект урока-лекции «Решение уравнений и неравенств Арксинус числа. Свойства арксинуса числа»
- 22. Проект урока-лекции «Решение уравнений и неравенств Арккосинус числа. Свойства арккосинуса числа»
- 23. Проект урока-лекции «Решение уравнений и неравенств Арктангенс числа. Свойства арктангенса числа»
- 24. Методика обучения решению триг. Уравнений и неравенств. Основные приёмы решения триг. Уравнений
- Семинар-практикум по теме: «Основные приёмы решений тригонометрических уравнений».
- 25. Логические основы решения уравнений и неравенств в старших классах. Методические рекомендации к изучению понятий равносильные уравнения, уравнения – следствия, теорем о равносильности уравнений
- 26. Методика обучения учащихся решению частных видов уравнений и неравенств. Построение урока решения задач (на примере темы «Логарифмические уравнения и неравенства»)
- 2.Операционно-познавательный этап.
- 1. Решите уравнение:
- 2) Решите уравнение: .
- 3) Решите уравнение:
- 4) Решите уравнение: .
- 6) Решить неравенство: .
- 3.Рефлексивно-оценочный этап.
- 27. Организация заключительного повторения в 11 классе темы «Уравнения и неравентсва». Урок-лекция «общие методы решения уравнений»
- 1 Группа.
- 2 Группа.
- 3 Группа.
- 28. Методика введения понятий предела функций в точке и непрерывности функции
- 29. Методика введения понятия производной функции
- 30. Методика изучения геометрического смысла производной, уравнения касательной к графику функции
- 31. Теоретические и методические основы изучения темы «Применение производной к исследованию функции»
- 32. Теоретические и методические основы изучения первообразной и интеграла
- 33. Причины включения в школьный курс математики элементов вероятностно-статистической линии. Основные цели изучения элементов теории вероятностей и математической статистики
- 34. Теоретические и методические основы изучения теории вероятностей в школьном курсе математики 9-11 классов