logo search
Шпоры по методике

10. Теоретические основы изучения степенной функции

Степенная функция изучается на протяжении нескольких лет. Её изучение начинается в 7 классе – y=x, в 8 классе , в 9 классе впервые вводится термин «степенная функция» и изучаются функции вида В 10 классе сведения о степенной функции обобщаются и систематизируются.

Ко времени изучения степенной функции в 9 классе учащиеся знают понятие степени с рациональным показателем, его свойства, уточнено понятие функции и рассматриваются её общие свойства. Нужно решить несколько практических задач, когда приходят к функциональным зависимостям вида , r-фиксированное число, различное в каждом случае.

- Итак, имеем функцию вида , где r - рациональное число (в 10 кл – r -действительное число). Такая функция имеет название степенной.

- Можете ли вы указать степенные функции, которые уже рассматривали? ( ).

- Постройте график каждой из данных функций. Определите их свойств по графику.

- Можно отметить, что у этих функций показатель степени – целое число (у первых двух – натуральное число: у первой нечётное число, а у второй – чётное). То есть свойства и вид графика степенной функции будут зависеть от показателя степени.

- Вспомним, как последовательно определялась рациональная степень (натуральная степень, целая отрицательная, дробная). В такой же последовательности будем рассматривать показатель степенной функции.

Учебная задача: изучить функцию вида , где r - натуральное, отрицательное целое число, затем дробь вида 1/n.

Итак, графики и свойства функций позволили спрогнозировать, что степенную функцию при натуральном показателе следует изучать в 2 случаях: 1 - показатель степени чётное; 2 - нечётное число.

Степенная функция с натуральным показателем.

, n-натур

, n-натур

а) y = x (график)

а) (график)

Свойства:

1. D(y): R

2. Е(у): R

3. возрастает на R

4. нечётная, т.к. у(-х) = -х = -у(х)

5. непрерывная

6. нет ни н/м, ни н/б значения, неограниченная

б) (график)

x 0 1 -1 2 -2

y 0 1 -1 8 -8

Свойства:

1) D(y): R

2) Е(у): R

x<0⇒y<0, x=0⇒y=0, x>0⇒y>0

Док-во:

- Любое ли действительное число x0 является значением данной ф-ции, т.е. существует ли действительное число такое, что (по определению корня нечётной степени) такое, что

3) возрастает, т.к. при x1<x2, y(x2)-y(x1) = >0, значит y(x2) > y(x1)

4). нечётн. y(-x) = (-x)3 = -x3 = -y(x) (св-во чт / нчт ф-ции вводится на примере степенной ф-ции)

5). непрерывная (по графику)

6). неограниченная, т.е. не имеет н/б и н/м значений.

в) . Обобщаем.

Свойства:

1. D(y): R

2. Е(у): y ≥ 0

3. x>0 ⇒ возрастает, x<0 ⇒ убывает,

Док-во:

- 0< x1<x2, то y( x1) < y(x2)

y(x2) - y(x1)= => y( x1) < y(x2)

- x1<x2<0, то y( x1) > y(x2)

=>y( x1) >y(x2)

4. чётная, т.к. y(-x)= (по опр-ю)

5. непрерывная

6. имеет н/м значение y=0, ограничена снизу.

б) , n-натур. Обобщаем. Строим графики y = x2 и y = x4

Обратить внимание учащихся на взаимное расположение графиков. Свойства обобщаются и записываются без док-ва.

Свойства:

1. D(y): R

2. Е(у): y ≥ 0

3. x>0 ⇒ возрастает, x<0 ⇒ убывает,

4. чётная, т.к. y(-x)= (по опр-ю)

5. непрерывная

6. имеет н/м значение y=0, ограничена снизу.

Строим на одном графике функции у = х3, у = х5

Обратить внимание учащихся на тот факт, что графики этих функций периодически меняют своё взаимное расположение. Перечисляются все свойства без док-ва.

Свойства:

1. D(y): R

2. Е(у): R

3. возрастает на R

4. нечётная.

5. непрерывная

6. нет ни н/м, ни н/б значения, неограниченная

Далее рассматриваются функции с целым отрицательным показателем y = x-n или y = , . Можно организовать семинарское занятие по изучению этой темы, ученики разбиваются на группы и сами строят, исследуют свойства функций.

1) 2) ,

От чётности степени зависят свойства функции.

И наконец, функция вида , n . Основные свойства таких функций тоже не доказываются. Строятся графики по точкам, и дальше идёт исследование по графикам.

а) (график).

Свойства:

1. D(y):

2. Е(у): y 0

3. Возрастает 0<x1<x2 ⇒

4. Функция общего вида

5. Непрерывна

6. Имеет н/м значение, ограничена снизу, у = 0.

б) ,

Строят графики и

Свойства обобщаются. Обратить внимание на взаимн. расположение.

б) (график)

Св-ва:

1. D(y): R

2. Е(у): R

3. Возрастает на R

4. Нечётная, т.к. y(-x) =

5. Непрерывная

6. Неограниченная, не имеет н/б и н/м значений

б)

Строят графики и

Свойства обобщаются.

В 10 классе все сведения по степенной функции нужно обобщить и систематизировать. В учебнике рассматриваются свойства функции y=xp в зависимости от p:

1. Показатель p = 2n – чётное натур-ое число

2. Показатель p = 2n-1 – нечётное натур-е число

3. Показатель p = -2n, где n – натур-е число

- D(y): R\0

- Е(у): y > 0

- чётная

- возрастает на промежутке x < 0, убывает на x > 0.

4. Показатель p = -(2n-1), где n - натур-е число

- D(y): R\0

- Е(у): R\0

- нечётная

- убывает на промежутках x > 0и x < 0.

5. Показатель p – положительное действительное нецелое число

6. Показатель p – отрицательное действительное нецелое число

- D(y): x > 0

- Е(у): y > 0

- убывающая на промежутке x > 0.