Глава 4, §§14-16.
Программа по математике:
Основная цель: дать понятия об арифметической и геометрической прогрессиях как числовых последовательностях особого вида. При изучении темы вводится понятие последовательности, разъясняется смысл термина «n-й» член последовательности», вырабатывается умение использовать индексное обозначение. Эти сведения носят вспомогательный характер и используются для изучения арифметической и геометрической прогрессий. Работа с формулами n-го члена и суммы первых n членов прогрессий, помимо своего основного назначения, позволяет неоднократно возвращаться к вычислениям, тождественным преобразованиям, решению уравнений, неравенств, систем. Рассматриваются характеристические свойства арифметической и геометрической прогрессий, что позволяет расширить круг предлагаемых задач.
Дидактические единицы:
Определение:
Числовая последовательность: вводится через род и видовое отличие (род – функция, видовые отличия - функции натурального аргумента)
Арифметическая прогрессия: вводится через род и видовое отличие(индуктивно); (род – числовая последовательность, видовые отличие - каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d);
Геометрическая прогрессия: вводится через род и видовое отличие(индуктивно); (род – числовая последовательность, видовое отличие – каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на одно и то же число q 0);
Рассматриваются следующие способы задания числовых последовательностей: аналитический, словесный, рекуррентный, вводятся конструктивно
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия? ??? В учебнике А.Г. Мордковича как в обычном так и в углубленном не рассматривается
Свойства:
Последовательность (yn) называется возрастающей, если каждый её член (кроме первого) больше предыдущего (следует из понятия монотонности числовой функции);
Последовательность (yn) называется убывающей, если каждый её член (кроме первого) меньше предыдущего (следует из понятия монотонности числовой функции);
Характеристическое свойство арифметической прогрессии: Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случаи конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов(формулировка условная, теорема сложная. Свойство: Если каждый член числовой последовательности, кроме первого (и последнего в случаи конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов, то эта последовательность является арифметической прогрессией. Признак: Если числовая последовательность является арифметической прогрессией, то каждый ее член, кроме первого (и последнего в случаи конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов. Доказательство с помощью определения арифметической прогрессии)
Характеристическое свойство геометрической прогрессии: Числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего в случаи конечной последовательности), равен произведению предшествующего и последующего членов. (Формулировка условная, теорема сложная. Свойство: Если квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего в случаи конечной последовательности), равен произведению предшествующего и последующего членов, то эта последовательность является геометрической прогрессией. Признак: Если числовая последовательность является геометрической прогрессией, то квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего в случаи конечной последовательности), равен произведению предшествующего и последующего членов. Доказательство с помощью определения геометрической прогрессии и ранее доказанного характеристического свойства арифметической прогрессии)
Формула n-го члена
Арифметической прогрессии: (формулировка категоричная, доказательство методом математической индукции на основе определения арифметической прогрессии)
Геометрической прогрессии: (формулировка категоричная, доказательство методомматематической индукции на основе определения геометрической прогрессии)
Формула суммы nпервых членов:
Арифметической прогрессии: (формулировка категоричная, доказательства с помощью определения арифметической прогрессии, понятия суммы, способ сложения 2 выражений) Другая формула суммы: получена из предыдущей с помощью подстановки формулы n-го члена
Геометрической прогрессии: (формулировка категоричная, доказательство с помощью определения геометрической прогрессии, понятия суммы, тождественные преобразования)
Выводы: в теме закладываются методологические основы, поэтому основное внимание должно быть направлено на решение задач. Основная работа при изучении определений: сформировать действия подведения под понятие и выведение следствий. В учебнике Мордковича каждая формула и теорема подробно доказывается вводиться названия метода математической индукции. Вывод формул n-го члена не сложении для восприятия учащихся и они под руководством учителя могут открыть их самостоятельно. Целесообразно работу по изучению прогрессий вести методом УДЕ, так как в теме присутствует аналогия не только в определениях, но и в формулах, свойствах. Лучше сначала изучит характеристическое свойство прогрессий, а затем вывести формулу суммы. Так же учащемся можно предложить самостоятельно подготовить различные исторические, известные задачи на прогрессии (пример Задача о зернах). Это тема важна, так как прогрессии являются важной математической моделью процессов реальной действительности.
Б) Анализ задачного материала
Задачник:А.Г. Мордкович, Алгебра 9. – М.: Мнемозина, 2002.
- 1. Цели и задачи изучения курса алгебры, алгебры и начал анализа в 9-11 классах
- 2. Понятие функции в мат-ке и в школьном курсе мат-ки. Формирование понятия функции в школьном курсе мат-ки
- 3. Знания и умения школьников, связанные с понятием функции. Методика введения понятия функции
- 4. Методика изучения линейной функции
- 5. Методика изучения квадратичной функции
- 6. Методика изучения общих свойств функции
- 7. Расширение понятия степени. Методика введения понятия степени с целым показателем
- 8. Методика введения арифметического корня с натуральным показателем, степени с рациональным показателем
- 9. Определение степени с действительным показателем и её свойства
- 10. Теоретические основы изучения степенной функции
- 11.Урок обобщения и систематизации по теме «Степенная ф-ция»
- 12.Проект изучения темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии» (9 класс). Урок решения ключевых задач (метод уде)
- Глава 4, §§14-16.
- Глава 4, §§14-16.
- Ход урока
- 12. Теор. Основы изучения темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии»
- 13. Методика изучения показательной функции
- 14. Теоретические основы изучения логарифмической функции. Методика введения понятия логарифма
- 1. Мотивационно-ориентировочный этап
- 2. Содержательный этап.
- 15. Разработка урока-лекции «Логарифмическая функция, её свойства и график»
- I. Мотивационно-ориентировочная часть.
- II.Содержательная часть.
- 16. Методические основы введения и изучения элементов тригонометрии: числовая окружность, числовая окружность на координатной плоскости
- 17. Методические основы введения и изучения элементов тригонометрии: определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа (угла)
- 17. Методические основы введения и изучения элементов тригонометрии: определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа (угла)
- 18. Теоретические основы изучения темы «Тождественные преобразования тригонометрических выражений». Урок решения ключевых задач
- 19. Методические рекомендации к изучению тригонометрических функций. Методика изучения свойства периодичности функции
- 21. Проект урока-лекции «Решение уравнений и неравенств Арксинус числа. Свойства арксинуса числа»
- 22. Проект урока-лекции «Решение уравнений и неравенств Арккосинус числа. Свойства арккосинуса числа»
- 23. Проект урока-лекции «Решение уравнений и неравенств Арктангенс числа. Свойства арктангенса числа»
- 24. Методика обучения решению триг. Уравнений и неравенств. Основные приёмы решения триг. Уравнений
- Семинар-практикум по теме: «Основные приёмы решений тригонометрических уравнений».
- 25. Логические основы решения уравнений и неравенств в старших классах. Методические рекомендации к изучению понятий равносильные уравнения, уравнения – следствия, теорем о равносильности уравнений
- 26. Методика обучения учащихся решению частных видов уравнений и неравенств. Построение урока решения задач (на примере темы «Логарифмические уравнения и неравенства»)
- 2.Операционно-познавательный этап.
- 1. Решите уравнение:
- 2) Решите уравнение: .
- 3) Решите уравнение:
- 4) Решите уравнение: .
- 6) Решить неравенство: .
- 3.Рефлексивно-оценочный этап.
- 27. Организация заключительного повторения в 11 классе темы «Уравнения и неравентсва». Урок-лекция «общие методы решения уравнений»
- 1 Группа.
- 2 Группа.
- 3 Группа.
- 28. Методика введения понятий предела функций в точке и непрерывности функции
- 29. Методика введения понятия производной функции
- 30. Методика изучения геометрического смысла производной, уравнения касательной к графику функции
- 31. Теоретические и методические основы изучения темы «Применение производной к исследованию функции»
- 32. Теоретические и методические основы изучения первообразной и интеграла
- 33. Причины включения в школьный курс математики элементов вероятностно-статистической линии. Основные цели изучения элементов теории вероятностей и математической статистики
- 34. Теоретические и методические основы изучения теории вероятностей в школьном курсе математики 9-11 классов