§47. Формування уявлень учнів про функціональну залежність

У плані функціональної пропедевтики поняття функції вживатимемо у вузькому розумінні — як зв'язок між змінними величинами.

З метою формування уявлень молодших школярів про змінні та сталі величини, про зв'язки між величинами у діючих підручниках з математики подаються вправи з таблицями, вправи на знаходження значень виразів зі змінною, задачі з пропорційними величинами.

У початкових класах учні ознайомлюються з вимірюванням деяких величин (довжина, площа, маса, час), встановлюють зв'язки між величинами: ціна, кількість і вартість; маса одного предмета, кількість предметів і загальна маса; швидкість, час і відстань при рівномірному русі тіла тощо. Діти спостерігають, як змінюється результат арифметичної дії від зміни компонентів. Названі величини попарно перебувають у різних видах залежностей: прямо пропорційній (ціна і вартість, множник і добуток); обернено пропорційній (ціна і кіль­кість, дільник і частка); лінійній (доданок і сума, зменшуване і різниця).

Завдання вчителя полягає в тому, щоб під час виконання відповідних вправ спрямувати увагу учнів на ці зв'язки і залежності. При цьому, звичайно, не використовують відповідні термінологію й символіку. Ознайомлення дітей з функціональною залежністю відбувається в неявному вигляді. Вчитель оперує лише словами "залежність", "змінна величина".

У початкових класах функціональну залежність між величинами зде­більшого описують словами та показують її за допомогою таблиці. 286

РоздіпХШ. Пропедевтика алгебри в початкових класах

Словесний спосіб використовується при розв'язуванні задач в яких розглядаються взаємопов'язані величини.

Задача. У склянки з чаєм розклали 12 грудочок цукру по 2 грудки в кожну на скільки склянок вистачило цього цукру?

Бесіда. Виконаємо малюнок (мал. 146). Намалюємо 12 кружечків і підкреслимо кожних два кружечки.

Мал. 146

Запишемо розв'язання задачі. 12:2 = 6 (скл.).

Дізнаємося, на скільки вистачить цього цукру, якщо у кожйу^Шянку покласти по 3 грудочки цукру (мал. 147).

Мал. 147

Запишемо розв'язання задачі. 12:3 = 4 (скл.).

З'ясуємо, на скільки склянок вистачило б цього цукру, якщо у кожну склянку покласти по 4 грудочки (мал. 148).

Мал. 148

Запишемо розв'язання задачі. 12:4 = 3 (скл.).

Розглянемо малюнки ще раз. Якщо поклали по 2 грудочки цукру то його вистачило на 6 склянок, по 3 грудочки - на 4 склянки, по 4 грудочки -на 3 склянки. В якому випадку склянок з чаєм менше? (В останньому бо тут поклали по 4 грудочки цукру). Отже, чим більше покладемо грудочок у кожну склянку, тим менше отримаємо склянок чаю з цукром.

Між кількістю грудочок цукру і кількістю склянок з чаєм існує певна залежність.

Табличний спосіб передбачений багатьма вправами, в яких є функціональна залежність між змінними. Наведемо приклад.

Вправа. Складіть усі можливі приклади на додавання одноцифрових чисел з відповіддю 12.

Під час виконання цієї вправи можна скласти таблицю.

Методика викладання математики в початкових класах

287

За допомогою таблиці встановлюється функціональна залежність значень другого доданка від значень першого.

Розглянемо основні види функціональних залежностей, з якими мають справу молодші школярі у початковому курсі математики.

Лінійна залежність. Знаходження значень таких виразів, як 5 • а + 7; 9 • а — 3; 100 - а ■ 2, є не що інше, як знаходження значень функції для заданих значень аргументів. Аргументом є змінна а, функцією — вираз із цією змінною. З вправами на знаходження значень виразів учні час від часу мають справу, але бажано посилити увагу до випадків впорядкованої множини змінної.

Вправа. Знайдіть значення виразу: 5 • а + 7, якщо а набуває значень одноцифрових чисел. Побудуйте таблицю і запишіть у ній значення змінної а і значення виразу: 5 • а + 1.

Бесіда. Найменше значення змінної а дорівнює 0, найбільше значення — 9. Кожного разу значення змінної збільшується на одиницю. Як змінюється при цьому значення виразу: 5 • а + 7? (Збільшується кожного разу на 5).

Якщо значення змінної о дорівнює 5, то яке значення виразу? (Значення виразу дорівнює 32). Кожному значенню змінної відповідає єдине значення виразу.

Один з видів лінійної залежності — зміна результатів дій першого ступеня від зміни одного з компонентів. Учні мусять розуміти характер зміни результатів дій залежно від зміни одного з компонентів і мати уявлення про кількісні зміни (в такій залежності).

Задачі на лінійну залежність величин широко подані в початковому курсі математики. До них, зокрема, належать усі прості задачі на дії першого ступеня. Серед задач на дві дії з лінійною залежністю величин типовим прикладом буде подана нижче задача.

Задача. Маса півня дорівнює 3 кг, а індика — 14 кг. Скільки кілограмів становить маса 7півнів і одного індика? {~і • 7 + 14).

З метою розкриття лінійної залежності можна до цієї задачі поставити запитання: Скільки кілограмів становить маса одного півня й індика? Двох півнів та індика? Трьох півнів та індика?

Робота над задачами ведеться в звичайному методичному плані. Проте час від часу треба звертати увагу учнів на характер залежності між величинами, змінювати числові дані в задачі і потім порівнювати її з попередньою.

Прямо пропорційна залежність. Задачі з пропорційними величинами займають вагоме місце в початковому курсі математики. Це задачі, в яких величини перебувають у прямо пропорційній залежності (ціна товару і вартість, маса одного ящика з овочами і загальна маса, кількість виробів і тривалість часу їх виготовлення, швидкість руху і відстань, довжина сторони

квадрата і його периметр тощо). У прямо пропорційній залежності перебу­вають множник і добуток (якщо сталий інший множник), частка і ділене (якщо сталий дільник).

У ході розв'язування простих задач на прямо пропорційну залежність в учнів мають бути сформовані чіткі уявлення про характер тих взаємозв'язків між величинами, на основі яких розв'язується задача. У цьому допомагають: наочна інтерпретація задачі; практичне розв'язування задачі; зміна одного з даних задачі з подальшим порівнянням задач. Розгляньмо приклад.

Задача. Пшоно розсипали в торбинки. У 5 однакових торбинках 15 кг пшона. Скільки кілограмів пшона в 3 таких торбинках?

Після розв'язання задачі можна скласти таку табличку: Кількість торбинок 2 4 6

Кількість пшона 6 12 18

Бесіда. Якщо було 2 торбинки, то в них містилося 6 кг пшона. У скільки разів збільшилась кількість торбинок у другому стовпчику? (У 2 рази). Порівняйте, у скільки разів збільшилася кількість пшона у другому стовпчику? (У 2 рази). Порівняємо числа першого і третього стовпчиків. У скільки разів збільшилась кількість торбинок? (У 3 рази). А в скільки разів збільшилась кількість пшона? (Теж у 3 рази). Отже, у скільки разів збільшилась кількість торбинок, у стільки ж разів збільшилась і кількість пшона.

Обернено пропорційна залежність. В обернено пропорційній залежності перебувають: ціна і кількість товару, час і швидкість руху, дільник і частка тощо.

Розгляньмо розв'язання задачі, в якій величини перебувають в обернено пропорційній залежності.

Задача. Для дитячого садка на 24 грн. закупили фарби для малювання ціною по 2 грн. за коробку. Скільки коробок фарб купили для дитячого садка?

Розв'язавши задачу, доцільно з'ясувати з учнями, скільки можна купити за ці гроші коробок фарб, ціна яких у 2 рази більша, у 3 рази більша; звернути їх увагу на те, що при збільшенні ціни у два (три, чотири) рази кількість коробок фарб, які можна купити за 24 грн., відповідно зменшується у два (три, чотири) рази.

Отже, при розв'язуванні задач з пропорційними величинами за допомогою відповідних запитань можна добитися певного уявлення учнів початкових класів про функціональну залежність.

Використання буквеної символіки для узагальнення знань. Традиційно вважається, що в початкових класах учні розв'язують багато однорідних вправ, порівнюють їх, знаходять спільні ознаки, роблять висновки й узагальнення. Проте у навчанні молодших школярів узагальнення нерідко відбувається і на основі розв'язку одного-двох прикладів чи конкретної задачі, яка є прикладом певного виду задач. У такий спосіб учні ознайомлюються, зокрема, з алгоритмами арифметичних дій, з деякими новими видами задач.

Методика викладання математики в початкових класах 289

При цьому найпростіший прийом узагальнення — заміна числових даних буквами.

Буквене позначення компонентів і результатів арифметичних дій. Під час

введення буквеного позначення компонентів бесіду здебільшого проводять на основі задачі. Наведемо зразок.

Задача. У першій отарі 180 овець, а в другій — 210. Скільки всього овець удвох отарах?

Як дізнатися скільки всього овець удвох отарах? (Треба додати числа 180 і 210). Замість чисел 180 і 210 можуть бути й інші числа. Якщо числа змінюються, то зручніше їх позначати буквами. Можемо вважати, що в першій отарі а овець, а в другій — Ь овець. Скільки овець тоді буде в обох отарах разом? (а + Ь). Якщо цю суму позначити буквою с, то отримаємо таку рівність: а + Ь = с. Як називаються числа а і Ь'І (Доданки). Як називається число с? (Сума). Сумою називають також і вираз: а + Ь.

Подібні бесіди проводяться і для решти арифметичних дій: а ~ Ь= с; а ■ Ь = с; а : Ь = с.

У 3 класі узагальнюються випадки дій, пов'язаних з числами 1 і 0: а • 1 = а; а : а= ї; а : І = а; а + 0 = а; а — а = 0; 0 ■ а = 0; 0 : а = 0. Застосування тут буквеної символіки допомагає дітям давати правильні пояснення. Наприклад, для випадку а • 0=0: при множенні числа на нуль отримуємо нуль, тому 0-0 = 0.

Буквене позначення зв'язків між компонентами і результатами арифметичних дій. У початковій школі опрацьовують задачі на знаходження невідомого компонента. Проте правила знаходження невідомих компонентів у підруч­никах не подано. Це пояснюється тим, що вчителі занадто вимогливо ставляться до заучування учнями правил напам'ять. Зрозуміло, що під час пояснення зв'язків учитель формулює правило, але не вимагає його заучувати. Зв'язки між компонентами і результатами дій широко використовуються для перевірки правильності обчислень.

Розгляньмо одну з вправ з точки зору її узагальнювальної ролі. Закінчіть обчислення:

6-3=18 7 • 4 = 28 5 • 7 = 35 6 • 5 = 30

18:6 = 3 28:7 = 4 35:5 = * 30:5 = *

Учитель з'ясовує, що отримаємо, коли добуток поділимо на один з множників, і робить узагальнення: "Якщо а ■ Ь - с, то чому дорівнює частка с : а? Частка с : ЬТ.

Вправа дає змогу учню самостійно сформулювати правило: частка від ділення добутку двох чисел на один з множників дорівнює іншому множнику. Такий підхід має певні переваги над заучуванням правила за підручником.

Використання букв для запису властивостей арифметичних дій запроваджу­ється в процесі вивчення дій у концентрі "Багатоцифрові числа". У більш систематизованому вигляді з цією метою буквена символіка подана в матеріалах для повторення у кінці року. В обох випадках буквені записи подаються після словесного формулювання властивостей. Це означає, що буквені записи виступають не як вищий рівень узагальнення, а як лаконічний

290

РоздіпХШ. Пропедевтика алгебри в початкових класах

засіб унаочнення властивостей. У підручнику в буквеному записі подано такі властивості:

а + Ь = Ь + а — переставний закон додавання;

а + Ь + с = а + (Ь + с) — сполучний закон додавання;

а - (Ь + с), (а - Ь) - с — записи про властивість різниці, пов'язаної з різними способами обчислення зазначених виразів;

а ■ Ь = Ь ■ а — переставний закон множення;

а ■ Ь ■ с = а ■ (Ь ■ с) — сполучний закон множення;

(а+Ь + с)-к=а-к+Ь-к+с-к — розподільний закон множення відносно додавання;

с • (а - Ь) = с ■ а - с ■ Ь — розподільний закон множення відносно віднімання.

З основними властивостями арифметичних дій у практичному плані учні мають справу неодноразово, тому їх буквене узагальнення не викликає ускладнень. Проте слід мати на увазі, що в кінці навчального року матеріал подається в довідково-описовому вигляді. Це матеріал для побудови вчителем зв'язної розповіді. Його не варто пропонувати учням для заучування.

РОЗДІЛ XIV

ПРОПЕДЕВТИКА ГЕОМЕТРІЇ В ПОЧАТКОВИХ КЛАСАХ

Вивчення елементів геометрії розвиває просторові уявлення, образне мислення. Геометрична пропедевтика поділяється на такі складові: розвиток просторових уявлень молодших школярів, формування уявлень про лінії і відрізок, креслення і вимірювання довжин відрізків, ознайомлення з многокутниками, колом і кругом, вимірювання периметра і площ много­кутників, спостереження геометричних тіл і введення їх назв.

Мета вивчення елементів геометрії буде досягнута, якщо наприкінці навчання в початковій школі учні будуть орієнтуватися в основних напрямах положення і руху на площині і в просторі; знати найпростіші геометричні форми, пізнавати і знаходити їх у навколишньому середовищі; знати назви основних елементів фігур і деяких тіл, уміти їх показати і полічити; знати, якими поверхнями обмежена просторова форма простіших многогранників; вміти вимірювати довжину відрізків і креслити відрізки заданої довжини, знаходити довжину ламаної і периметр многокутника, вміти будувати прямокутники на папері в клітинку.

Навчальна діяльність, в процесі якої діти оволодівають геометричним матеріалом, охоплює такі варіанти робіт: організоване вчителем спос­тереження різних геометричних форм і відношень; практика дітей у вимірюванні, побудові, конструюванні, малюванні; практика розв'язування задач з геометричним змістом.

Через спостереження починається ознайомлення дітей з геометричними формами, їх істотними ознаками, положенням у просторі і на площині. Важливо, щоб учні не лише сприймали готові образи, що їх дає вчитель, а й самі відтворювали геометричні форми в процесі моделювання, креслення, вирізування, малювання. Тому центральне місце у формуванні геометричних понять займає практика самих школярів.