§41. Розв'язування типових задач

У підручниках для початкових класів є такі задачі, які традиційно називають типовими. До типових належать задачі на знаходження четвертого пропорційного (на спосіб прямого й оберненого зведення до одиниці та спосіб відношень), на пропорційне ділення, на знаходження числа за двома254

РозділХІ. Навчання учнів розв 'язувати текстові задачі

різницями, на знаходження середнього арифметичного. Методика розв'язу­вання типових задач принципово не відрізняється від розгляду будь-яких інших задач нового виду, тобто передбачає підготовку, ознайомлення і роз­виток умінь. Проте деякі особливості роботи над типовими задачами необхідно враховувати.

Розв'язування типових задач, пов'язаних з пропорційними величинами, грунтується на знанні відповідних зв'язків між величинами. Ознайомлення з величинами проводиться одночасно з розкриттям зв'язків між ними. Зв'язки формулюють у вигляді висновків. Наприклад, якщо відомо ціну і кількість, то вартість можна знайти дією множення. Типові задачі мають деякі характерні ознаки, що враховуються на підготовчому етапі роботи. Слід також мати на увазі взаємозв'язки між окремими типовими задачами.

Розв'язування задач на знаходження четвертого пропорційного способом зведення до одиниці запроваджується в 3 класі.

Розгляду задач передує тривала робота над їх розв'язуванням на визначення ціни, кількості та вартості. Вона проводиться у вигляді гри "в магазин".

Під час гри учні вчаться розв'язувати задачі на знаходження вартості, ціни і кількості. Характерною особливістю в цій роботі є те, що, аналізуючи задачі, вчитель вимагає від учнів пояснення, які величини відомі і які треба знайти.

Для першого розгляду задачі на спосіб прямого зведення до одиниці доцільно відвести окремий урок. Заслуговує на увагу досвід ознайомлення із задачею на основі складання її з відповідних двох простих задач.

Задача. Дівчинка купила 5 конвертів без марки і заплатила ЗО коп. Скільки копійок коштує один конверт ?

Повторіть задачу. Назвіть відомі і невідомі величини. (В задачі відомо, що дівчинка купила 5 конвертів. Вартість конвертів ЗО коп. Невідомо, яка ціна одного конверта). Розв'яжіть задачу і поясніть розв'язання. ЗО : 5 = 6 (коп.).

Відповідь. Ціна конверта 6 коп.

Пояснення. Щоб знайти ціну конверта, слід вартість конвертів поділити на їхню кількість.

Розв'яжемо другу! задачу, пов'язану з першою.

Задача. Ціна одного конверта без марки 6 коп. Дівчинка купила 9 конвертів. Знайти вартість покупки.

6 • 9 = 54 (коп.). Відповідь. За 9 конвертів дівчинка заплатила 54 коп.

З розв'язаних двох простих задач можна скласти одну задачу на дві дії.

Задача. Дівчинка за 5 конвертів без марки заплатила ЗО коп. Потім вона купила ще 9 конвертів. Скільки копійок коштують 9 конвертів?

Задачу можна записати коротко:

5 к. — ЗО коп. 9к.-?

Що можна знайти першою дією? (Ціну одного конверта)іЛі можна тоді знайти відповідь на запитання задачі? (Можна, якщо відомі-ціна одного конверта та їхня кількість).

Методика викладання математики в початкових'класах

255

Далі вчитель пропонує скласти план розв'язування задачі і записати розв'язання.

Зауважимо, що, аналізуючи задачу, можна- використати предметну ілюстрацію, виставляючи вказану кількість конвертів на набірному полотні.

Для первинного закріплення вчитель пропонує розв'язати самостійно задачу, спираючись на короткий запис і план розв'язування.

Задача. 5 м тканини коштують 60 грн. Скільки гривень коштують 7м такої тканини?

5 м — 60 грн. 7м — ?

План розв'язування

1) Скільки коштує 1 м тканини?

2) Скільки коштують 7 м тканини?

Подальше закріплення вмінь розв'язувати задачі проводять на матеріалі інших величин, що перебувають у пропорційній залежності (маса предмета, кількість предметів, їх загальна маса; витрата тканини на одну річ, кількість речей, загальна витрата матерії; продуктивність праці, час роботи, маса виробленої продукції; швидкість, час, відстань; довжина, ширина і площа прямокутника).

У процесі закріплення діти вчаться записувати коротко задачу, виявляти характер залежностей між величинами, формулювати ці залежності словами, пояснювати хід розв'язування.

Під час розв'язування задач на знаходження четвертого пропорційного їх короткий запис подають іноді табличним способом з вказівкою величини, значення якої є однаковими (сталими).

Задача. Першого разу купили 3 пакети цукру масою 6 кг. Другого разу купили 10 кг цукру в таких самих пакетах. Скільки пакетів цукру купили другого разу? (Обернений спосіб зведення до одиниці).

У таких і подібних задачах сталими величинами можуть бути кількість пакетів і маса цукру у всіх пакетах. Для кожної сталої величини можна скласти два види задач на знаходження четвертого пропорційного. Таким чином, матимемо 6 видів задач на знаходження четвертого пропорційного.

Якщо в задачах з пропорційними величинами одну з величин задати не однаковими числовими значеннями, а їх різницевим відношенням, то отримаємо ускладнену задачу. 256

Розділ XI. Навчання учнів розв 'язувати текстові задачі

Задача. Токар за 2 год зробив 18 деталей. Скільки деталей він зробить за 6 год, якщо щогодини робитиме на 1 деталь більше, ніж раніше ?

Ознайомлення з ускладненими задачами запроваджується в 3 класі, причому розглядають їх здебільшого фронтально.

У 4 класі розглядають задачі на знаходження четвертого пропорційного, які розв язують способом відношення.

Задача. За поживністю З кг ячменю замінюють 4 кг вівса. Скільки кілограмів ячменю потрібно, щоб замінити 12 кг вівса ?

На дошці запис:

4 кг — 3 кг. 12 кг-?

Учні не в змозі розв'язати цю задачу способом зведення до одиниці. Для кращого осмислення змісту задачі її можна зобразити графічно (мал. 128).

Кожних 4 кг вівса можна замінити 3 кг ячменю. З'ясовуємо, скільки разів по 4 кг вівса вміститься в 12 кг. (З рази). Якщо кожних 4 кг вівса замінюють З кг ячменю, а по 4 кг треба взяти 3 рази, то стає очевидним план розв'язування:

1) Скільки разів по 4 кг вівса вміщується в 12 кг?

2) Скільки кілограмів ячменю потрібно, щоб замінити 12 кг вівса?

У 4 класі учні ознайомлюються також з розв'язуванням ускладнених задач на знаходження четвертого пропорційного на зразок задачі, поданої нижче.

Задача. З косарки за 7 год скосили 42 га трави. Скільки гектарів трави скосить одна така косарка за 4 год?

З к., 7 год — 42 га. 1 к., 4 год — ?

Розв'язують ці задачі способом послідовного зведення до одиниці.

Ознайомлення дітей із задачами на пропорційне ділення проводять у 4 класі. Спочатку вони виконують підготовчі завдання.

Завдання. Розглянути малюнок, виконати необхідні обчислення і сказати, скільки олівців в одній коробці (мал. 129).

У процесі аналізу завдання вчитель ставить такі запитання: Скільки коробок зліва? Справа? Скільки всього коробок? Як дізнатися, скільки олівців в одній коробці?

Методика викладання математики в початкових класах

257

48 Мал. 129

Задача. Купили два відрізи однакової матерії. У першому відрізі було З у другому —6м матерії. За обидва відрізи заплатили 72 грн. Скільки гривень коштує 1 м матерії?

Учитель ставить запитання: Скільки відрізів матерії купили? Скільки всього метрів матерії купили? Як знайти ціну 1 м матерії?

Задача. Дівчинка купила 3 зошити для себе і 2 зошити для однокласниці. За всі зошити вона заплатила 1 грн. Скільки грошей має віддати дівчинці однокласниця за зошити?

Задачу пропонують розв'язати самостійно, але перед цим слід з'ясувати, як знайти ціну одного зошита, що треба знати, щоб обчислити вартість покупки.

Розв'язування підготовчих задач активізує діяльність учнів при опрацю­ванні задач нового типу.

Розгляньте два варіанти фрагментів уроку на тему "Ознайомлення із задачею на пропорційний поділ".

1 варіант

Учням пропонують розв'язати задачу: "Купили 3 зошити в лінійку і 2 зошити в клітинку за тією самою ціною. За зошити в лінійку заплатили 54 коп. Скільки грошей заплатили за зошити в клітинку?" (за таблицею).

Діти розв'язують задачу окремими діями з поясненням у запитальній формі.

У заздалегідь заготовлену таблицю на дошці вчитель записує суму вартостей всіх зошитів, знайдену учнями, і знаки запитання.

258

Розділ XI. Навчання учнів розв 'язувати текстові задачі

Учні складають задачу на пропорційний поділ з двома запитаннями: "Скільки грошей заплатили за зошити в лінійку? Скільки грошей заплатили за зошити в клітинку?".

Вчитель повідомляє, що ці два запитання можна замінити одним: "Скільки грошей заплатили за зошити в лінійку і клітинку окремо?". Після цього формулюється задача: "Купили З зошити в лінійку і 2 зошити в клітинку за тією самою ціною. За всі зошити заплатили 90 коп. Скільки грошей заплатили за зошити в лінійку і в клітинку окремо?".

— Чи можна одразу дізнатися, скільки грошей заплатили за зошити в лінійку? (Ні).

— Що треба знати, щоб дізнатися, скільки грошей заплатили за зошити в лінійку? (Ціну зошита і кількість куплених зошитів у лінійку).

— Чи відома кількість зошитів у лінійку? (Відома). ;

— Чи відома ціна зошита в лінійку? (Невідома).

— Що сказано про ціну зошита в задачі? (Ціна зошита в лінійку і клітинку однакова).

-^ Чи можна дізнатися, скільки зошитів купили на 90 коп.? (Можна). Складіть план розв'язування задачі.

II варіант

Учням пропонують одразу розв'язати готову задачу на пропорційний поділ.

Підготовчими вправами до ознайомлення дітей із задачами на знаходження невідомого за двома різницями будуть такі:

/. Перший магазин продав З мішки цукру, а другий — 5 таких самих мішків. Який із магазинів продав більше кілограмів цукру? Чому?

2. Перший магазин продав на 2мішки цукру більше, ніж другий. З'ясувалося, що він продав на 100 кг більше. Скільки кілограмів цукру в одному мішку?

Треба проілюструвати цю задачу предметно або за допомогою відрізків (мал. 130).

І--------------------------------1----------1----------1

Мал. 130

Безпосереднє ознайомлення із задачами на знаходження невідомого за двома різницями проводиться на основі розв'язування трьох задач, поданих нижче.

Задача 1. Перший покупець купив 2 м тканини і заплатив 18 грн. Скільки гривень коштує 1 м тканини ?

Методика викладання математики в початкових класах

259

Задача 2. Перший покупець купив 5 м тканини, а другий — 3 м такої самої тканини. Перший покупець заплатив на 18 грн. більше, ніж другий. Скільки гривень коштує 1 м тканини ?

Задача 3. Перший покупець купив 5 м тканини, а другий ~ 3 м такої самої тканини. Перший покупець заплатив на 18 грн. більше, ніж: другий. Скільки гривень заплатив другий покупець ?

Ознайомлюючи учнів із задачею на знаходження величини за двома різницями, вчитель прочитав задачу такого змісту: "З першої ділянки зібрали 6 кошиків моркви, а з другої — 4 таких самих кошики. З першої ділянки зібрали на 40 кг моркви більше, ніж з другої. Скільки кілограмів моркви зібрали з кожної ділянки окремо?" — і запропонував учням розглянути малюнок (мал. 131).

Мал. 131

— Чому з першої ділянки зібрали на 40 кг моркви більше, ніж з другої?

— Маса скількох кошиків моркви, зібраної з першої ділянки, така сама, як і маса моркви, зібраної з другої ділянки? "

— Маса скількох кошиків моркви дорівнює 40 кг?

— Складіть план розв'язування задачі.

Задачі на знаходження середнього арифметичного. Розв'язування цих задач ґрунтується на правилі, поданому нижче.

Щоб знайти середнє арифметичне кількох чисел, треба їх суму поділити на кількість цих чисел.

Це правило вводиться на основі аналізу готового розв'язання задачі.

Задача. Велосипедист одну годину їхав зі швидкістю 15 км/год, дві години зі швидкістю 13 км/год і ще одну годину зі швидкістю 11 км/год. Знайти середню швидкість велосипедиста.

Розв'язання

1) Скільки всього годин їхав велосипедист?

1+2+1=4 (год).

2) Скільки всього кілометрів проїхав велосипедист?

15+13-2+11 =52(км).

3) Скільки кілометрів за годину в середньому проїжджав велосипедист?

52 : 4 = 13 (км/год).

160

РозділXI. Навчання учнів розв'язу.ватиітекетові.задачі

и Розв'яжемо задачу, склавши числовий вираз: п

(15 + 13 • 2 + 11) : (1 + 2 + 1) = 13 (км/год);

Для закріплення пропонується задача. к_; Задача. Маса першого кроля дорівнює 2 кг 200 г, а < •Знайти середню масу цих кролів.

Розв'язання (2 кг 200 г + 1 кг 600 г) : (1 + 1) = 1 кг 900 г.

Задачі цього виду застосовуються для знаходження середньої урожайності, середньої швидкості, середньої маси.

Опрацьовуючи типові задачі не слід вдаватися до їх класифікації, тобто не вживати термінів "задача на пропорційне ділення", "задача на знаходження невідомого за двома різницями" тощо.

У початкових класах виділяють ще задачі з певним конкретним сюжетом. Це задачі на зустрічний рух, на час, задачі з геометричним змістом.

Розгляньмо задачі на рух. Розв'язуванню задач на зустрічний рух передує тривала робота з розв'язування простих та складених задач на знаходження швидкості, часу та відстані. Поняття швидкості вводять на основі життєвого досвіду дітей та безпосередніх практичних дій.

Для формування навичок доцільно усно розв'язувати задачі за таблицями. Наведемо зразки таблиць.

1. Знайдіть швидкість.

Методика викладання математики в початкових класах

261

4. Знайдіть невідомі величини.

У ході підготовчої роботи ілюструють зміст таких виразів, як "виїхали одночасно", "рухаються назустріч один одному", "рухаються в протилежних напрямах" тощо. Практичні дії супроводяться зображенням відрізків (довжина шляху) і стрілками (напрям руху). З відповідними ілюстраціями потрібно розглянути кілька задач такого виду:

/. З двох міст об 11 год виїхали назустріч один одному два поїзди. Вони зустрілися о 15 год. Скільки годин перебував у дорозі до зустрічі кожний поїзд?

2. Два пішоходи рухаються назустріч один одному. Швидкість першого пішохода дорівнює 5 км/год, а другого — 4 км/год. На скільки кілометрів вони зближуються за 1 год? За 2 год? За З год?

3. Два катери рухаються по річці у протилежних напрямах. Швидкість першого катера дорівнює 24 км/год, а другого — 37км/год. На скільки кілометрів вони віддаляються один від одного за 1 год? За 2 год? За 3 год?

Кожна із задач на зустрічний рух і рух у протилежних напрямах (у разі віддалення рухомих тіл) має три види.

I вид — дано швидкість кожного з тіл і час руху, шукане — відстань.

II вид — дано час руху, відстань, яку подолали разом обидва тіла, і швидкість одного з тіл, шукане — швидкість іншого тіла.

III вид — дано швидкість кожного з тіл і відстань, шукане — час руху. Заслуговує на увагу досвід послідовного введення задач. Спочатку на двох-

трьох уроках опрацьовують перший вид задач. На основі цього виду на наступних уроках вводять послідовно другий і третій види задач. Розгляньмо такий підхід на конкретних задачах.

Задача. З двох міст одночасно назустріч один одному виїхали велосипедист і мотоцикліст, які зустрілися через 3 год. Швидкість велосипедиста дорівнює 12 км/год, а мотоцикліста — 50 км/год. Скільки кілометрів становить відстань між містами ?

Повторюючи задачу, вчитель спирається на ілюстрацію (мал. 132).

Аналіз проводять від числових даних.

Що відомо про рух велосипедиста? (Швидкість і час руху). Про що звідси можна дізнатися? (Про відстань, яку проїхав велосипедист до зустрічі). Що відомо про рух мотоцикліста і що можна знайти? (Відомі швидкість і час, можна знайти відстань). Чи можна знайти відстань між містами? Повідоми­ти план розв'язування задач і записати розв'язання. ...'■.....„ _ ..₍

Розв'язання чо'пі/. \

1) 12 • 3 = 36 (км) — проїхав велосипедист; —~-......—---^

2) 50 • 3 = 150 (км) - проїхав мотоцикліст; шхоїиз [ і

3) 36 + 150 =186 (км) — відстань між містами.

Після повторення розв'язання вчитель повідомляє, що задачу можна розв'язати іншим способом.

Спробуємо знайти другий спосіб розв'язування задачі. Велосипедист і мотоцикліст рухалися 3 год. Чи можна знайти, на скільки кілометрів зближувалися велосипедист і мотоцикліст за одну годину? (Можна. Для цього треба додати відстані, які подолали за годину окремо велосипедист і мото­цикліст). Велосипедист і мотоцикліст зближувалися 3 год. Як знайти відстань, яку вони подолали за цей час?

Розв'язання

1) 12 + 50 = 62 (км) — зближувалися велосипедист і мотоцикліст за 1 год;

2) 62 • 3 = 186 (км) — відстань між містами.

Підсумовуючи розв'язання задачі другим способом, учитель звертає увагу на те, що велосипедист і мотоцикліст проїхали 3 рази по 62 км.

На уроці, присвяченому розгляду задач другого виду, спочатку учні розв'язують задачі першого виду.

Задача. Дві велосипедні команди виїхали одночасно з двох селищ назустріч одна одній і зустрілися через 2 год. Перша команда їхала зі швидкістю 12 км/год, а друга — 13 км/год. Знайти відстань між селищами.

Вивчення, аналіз і розв'язування задачі проводять з опорою на графічну ілюстрацію (мал. 133).

12 км/год

13 км/год

Розв'язавши задачу, учні дізналися, 50 км.

— Складемо обернену задачу на знаходження (мал. 134).

12 км/год

Мал. 133

що відстань між селищами дорівнює швидкості другої команди

Мал. 134

Методика викладання математики в початкових класах

263

Задача. Дві велосипедні команди виїхали одночасно з двох селищ назустріч одна одній і зустрілися через 2 год. Відстань між селищами дорівнює 50 км. Перша команда їхала зі швидкістю 12 км/год. Скільки кілометрів за годину проїжджала друга команда?

Колективно учні знаходять два способи розв'язування задачі. ,

Перший спосіб

1) 12 • 2 = 24 (км) — проїхала до зустрічі перша команда;

2) 50 - 24 = 26 (км) — проїхала до зустрічі друга команда;

3) 26 : 2 = 13 (км/год) — швидкість другої команди. Другий спосіб

1) 50 : 2 = 25 (км) — зближувалися команди за годину;

2) 25 — 12 = 13 (км/год) — швидкість другої команди. Аналогічно опрацьовують задачу на знаходження часу руху тіл.

У ході закріплення вмінь розв'язувати задачі на зустрічний рух та руі У протилежних напрямах варто практикувати різні творчі роботи.