§46. Рівняння. Нерівності зі змінною

Поняття рівняння тісно пов'язане з поняттям виразу, змінної, рівності. З рівняннями діти ознайомлюються у 3 класі. Відповідна підготовча робота розпочинається з 1 класу. Вона передбачає виконання вправ з "віконцями" та знаходження невідомого компонента арифметичних дій на основі зв'язків між компонентами та результатами арифметичних дій.

Розв'язування рівнянь. Ознайомлення з рівняннями грунтується на двох вправах, поданих нижче.

Вправа 1. Порівняй і замість зірочки постав знак ">", "<" або "=", якщо відомо, що в усіх випадках х = 5.

13-х = 8 л;+ 22 *25 *-2 * 10

16 - х> 10 х+ 5 * 10 х~ 1 * 4

Після перевірки правильності виконання завдання вчитель пропонує учням виписати в окремий рядок усі рівності і повідомляє їм, що рівності зі змінною (з невідомим) називають рівняннями. У кожному з виписаних рівнянь невідоме дорівнює 5. Це розв'язок кожного з даних рівнянь. Вправа 2 _}

13 —х =8 х+5 = 10 х-1 = 4

Це — рівняння. Розв'язати рівняння означає знайти те числове значення букви, при якому рівність буде правильною.

Перевірте (усно), чи правильно розв'язані рівняння. х + 8 = 11 20 + х = 52

х = II — 8 х=52-20

х = 3 х — 32

Після виконання завдання вчитель повідомляє, що невідомий доданок у рівнянні можна знаходити добором або за правилом знаходження невідомого доданка.

На наступному уроці вчитель подає зразок міркування при розв'язуванні рівняння на знаходження невідомого доданка.

Методика викладання математики в початкових класах

283

Міркування. У рівнянні х + 7 = 70 невідомий перший доданок, відомі другий доданок і сума. Щоб знайти невідомий доданок, треба від суми відняти відомий доданок. Запишемо рівняння так"

х + 7 = 70 х=70-7 х=63 Перевіримо (усно):

63 + 7 = 70 70 = 70

Рівняння на знаходження зменшуваного або від'ємника пропонують

учням після повторення правил на знаходження відповідних компонентів.

У 3 класі діти вчаться розв'язувати рівняння на знаходження невідомого

множника, діленого, дільника. Кожне з цих рівнянь розглядають одразу після

ознайомлення з відповідним правилом. До розгляду правил учні мають справу

3 рівняннями цього виду на рівні вправ з "віконцями". Наприклад, добери потрібні числа:

•2 = 8 Ц:3 = й 32 : П — 8

Вони ознайомлюються також з розв'язуванням рівнянь, що потребують письмових обчислень.

Наприклад: 765 -х = 567 _765 Перевірка: ,765

х= 765-567 567 198 ■

х=198 198 567

567 = 567

У процесі формування вмінь розв'язувати рівняння практикують як усне розв'язування, так і з записами у зошиті.

З усіма різновидами рівнянь на знаходження невідомого компонента учні ознайомлюються в 3 класі. У 4 класі вони лише закріплюють навички, розв'язують рівняння в нових числових межах. Однак вважаємо, що учнів

4 класу потрібно ознайомити з розв'язуванням рівнянь на дві операції.

Розв'язування задач складанням рівнянь. У початковій школі способом складання рівнянь розв'язують лише прості задачі. Для першого ознайомлення з розв'язуванням задач складанням рівнянь доцільно взяти подану нижче задачу.

Задача. Михайлик і Андрійко знайшли 10 грибів. Михайлик знайшов 6 грибів. Скільки грибів знайшов Андрійко ?

Відповідаючи на поставлені вчителем запитання, учні повторюють задачу.

Бесіда. За умовою задачі Михайлик і Андрійко знайшли 10 грибів, а сам Михайлик — 6 грибів. Нам невідомо, скільки грибів знайшов Андрійко. Позначимо кількість грибів, які знайшов Андрійко, буквою х.

Якщо би Михайлик знайшов 6 грибів, а Андрійко — 3 гриби, то як треба було би записати: скільки всього грибів зібрали діти? (Треба до числа 6 додати 3). Правильно. Однак у задачі сказано, що Михайлик знайшов 6 грибів, а Андрійко — х. Як записати, скільки всього грибів знайшли діти? (6 + х). Чому дорівнює за умовою задачі 6 + х? (10). Отже, як запишемо рівняння? (6 + х = 10). Розв'яжемо його. 284

РозділXIII. Пропедевтика алгебри в початкових класах

Для первинного закріплення учні під керівництвом вчителя розв'язують такі задачі:

1. Задумане число зменшили на 12 й отримали 36. Яке число задумали?

2. До задуманого числа додали ЗО й отримали 63. Знайдіть задумане число. Позначте задумане число буквою х, а потім складіть і розв'яжіть рівняння.

Прокоментуємо розв'язування першої задачі. Задумане число х. У задачі сказано, що задумане число зменшили на 12. Щоб зменшити число на 12, треба від нього відняти 12. Будемо мати: х — 12. У задачі сказано, що після зменшення на 12 отримали 36. Запишемо: х — 12 = 36.

Розв'яжемо рівняння. У ньому невідоме зменшуване. Щоб знайти зменшуване, треба до різниці додати від'ємник. Запишемо: х= 36 + 12 х=48

Перевіримо: 48 - 12 = 36 36 = 36

На наступних уроках діти ознайомлюються з абстрактними задачами на знаходження невідомого множника, невідомого діленого і невідомого дільника.

Сильнішим учням можна запропонувати і складені задачі розв'язати рівнянням. Такі задачі пропонуються серед завдань із "зірочкою".

Нерівність зі змінною. Розв'язування нерівностей у початкових класах не є обов'язковою вимогою програми. Нерівності розглядають для ознайом­лення з ними. (А це означає, що такі завдання не входять до контрольних робіт). Вправи з нерівностями здебільшого є цікавими завданнями на порівняння виразу зі змінною з даним числом. Термін "розв'язати нерівність" не вводиться, бо переважно обмежуються кількома значеннями змінної, при яких утворюється правильна нерівність.

Нерівності з "віконцями" трапляються вже у 2 класі. Учням пропонують дібрати число, яке треба вставити у "віконце" (замість зірочки), щоб отримати правильну нерівність або рівність. Наприклад:

1. Перепиши, поставивши у клітинку потрібне число.

25 + 8 > 25 +■•* ₍ 40 - 12 < 40-*

16-5 > 15-* 34+ 10 < 34 + *

2. Добери такі числа, щоб нерівності й рівності були правильними.

5 • 6 > 5 - * 7-4<7-* 6-6 + 6 = 6-*

У ході опрацювання таких вправ учитель спонукає дітей, щоб вони назвали різні числа. Упорядкувавши числа, доцільно подати узагальнення. Наприклад, у нерівність 4 + * < 10 можна підставляти будь-які числа, менші від 6.

Вперше нерівності зі змінною розглядаються наприкінці вивчення таб­личного множення і ділення, їх теж розв'язують методом добору (усно). Наведемо приклад.

З чисел 65, 70, 75 і 80 випишіть ті значення х, при яких нерівність х — 65 < 8 правильна.

Бесіда. Підставимо числові значення букви х у нерівність, обчислимо різницю і порівняємо результат з числом 8.

Методика викладання математики в початкових класах

285

65 — 65 = 0, 0 < 8, тому число 65 підходить;

70 — 65 = 5, 5 < 8, тому число 70 теж підходить;

75 - 65 = 10, 10 > 8, число 75 не підходить;

80 - 65 = 15, 15 > 8, число 80 не підходить.

Відповідь. 65, 70.

Складнішими є завдання, в яких не вказується множина значень змінної. Серед них учні повинні вибрати ті, при яких вказана нерівність є правильною. Учні самі добирають такі значення змінної. Наприклад:

Знайди два таких значення к, щоб нерівність к • 7 > 40 була правильною.

Слабші учні будуть надавати букві к значень, починаючи з одиниці, а сильніші, виходячи зі знання таблиць множення, можуть відразу запропо­нувати ті значення букви к, при яких нерівність буде правильною. Якщо пропонують знайти всі значення змінної, при яких нерівність правильна, то в кількісному значенні їх множина нечисельна. Наприклад, для нерівності х — 20 < 8 вона складається з восьми чисел: 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27. Проте правомірне й розв'язування нерівностей з такими відповідями, як х > 10, х < 10. Аналізуючи нерівність х - 40 > 0, учень міркує так: "Можна буде відняти, якщо зменшуване дорівнюватиме 40 або буде більше від 40. Проте 40 — 40 = 0".

Відповідь. Усі числа, більші від 40, тобто х > 40.

У плани уроків слід частіше вносити завдання з нерівностями.