3. Примерная схема рассуждений, относящихся к методике уроков систематизации и обобщения сведений о степенях

1. Какой смысл следует придать выражению , как определить его, чтобы правило умножения степеней осталось в силе?

Умножим по этому правилу на , (вопреки запрету: показатели должны быть натуральными).

.

При , т.е. произведение двух сомножителей и может равняться одному из них тогда и только тогда, когда другой сомножитель равен 1.

Значит известное правило умножения степеней сохраняется лишь в том случае, если при любом выражение будем считать равным 1.

Определение.

Теперь правило может применяться и для , так как имеет смысл. Следует отметить, что результат деления на в форме полностью согласуется с результатом арифметики .

2. Какой смысл придать выражениям и т.д. , где ? Имеют ли смысл эти выражения?

Определяя степень с целым отрицательным показателем, следует учесть:

1. Натуральное число – есть частный случай целого числа, а потому степень с натуральным показателем является частным случаем степени с целым показателем.

2. Нужно позаботиться о том, чтобы новое определение не противоречило степени с натуральным показателем: должно быть так, чтобы выражение означало ничто иное, как .

3. Определить степень с отрицательным показателем так, чтобы сохранилось основное свойство степени и следствия из него.

Итак, остается в силе , когда и какие угодно отрицательные числа. Пусть , тогда . Произведение двух целых чисел равно единице тогда и только тогда, когда сомножители – взаимно обратные числа, т.е. .

Значит основное свойство степени сохранится лишь в том случае, если при любом выражение будет считаться равным .

Определение.

З

Появляются важные тождества

Итак, формулы (1) и (2) принимают за определение степени с нулевым и отрицательным показателем. При такой договоренности все другие свойства сохраняются, кроме случая но для и символ теряет смысл. Такой принцип построения в науке называют принципом перманентности - (permanere – остаться, сохраняться), сохранение основных формальных законов действий).

В несовершенной форме этот принцип сформулировал в 1830 г. английский математик Дж. Пикок.

Полностью и четко установил его немецкий математик Г. Генкель в 1867 г..

Принцип перманентности соблюдается и при обобщении понятия числа; при определении общего понятия равенства фигур и др. (Вспомните реализацию этого принципа из лекций «Изучение числовых множеств», «Преобразование фигур в школьном курсе геометрии»).

Д

3. Дальнейшим этапом систематизации сведений о степенях является распространение понятия степени на случай рациональных показателей.

Какой смысл можно придать символам ?

Снова предъявим требования к определению степени , где .

1. Попробуем определить степень с рациональным показателем так, чтобы сохранилось основное свойство степени .

2. Заметим, что число должно быть положительным. В самом деле , т.е.

3. Должна быть определена степень , т.к. .

4. Каким должно быть ?

Вывод: Степень определяется только при положительном основании и сама степень также является положительным числом (  любое рациональное число).

Итак, мы получили те ограничения, которые нужно ввести при определении степени с рациональным показателем.

Но как получить (построить) само определение степени ?

Представляет интерес идея математика и методиста И.В. Арнольда, который предлагает рассматривать показатель степени как оператор.

Идея Арнольда может быть применена на практике, если рассматривать параллельно действия умножения и возведения в степень.

Итак, возвести число в степень с дробным показателем, значит: разбить это число на равных сомножителей и перемножить таких сомножителей.

Схематически обозначается так:

Обобщая вышесказанное, приходим к определению .

Эта идея И.В. Арнольда не получила развития в школьных учебниках, но ознакомление с этим подходом к определению понятия «степень с рациональным показателем» может вызвать интерес у учащихся.

(Более подробно см. в: [1, с.40]).

В действующих учебниках имеет место другой подход к получению схематической записи определения степени с рациональным показателем.

Проводим рассуждения исходя из конкретных примеров.

Пусть Сохраняя основное свойство степени, запишем:

(по ранее известному определению).

С другой стороны:

Итак, (по определению арифметического кв. корня). Получим .

б) Пусть

С другой стороны . Получим .

Обобщая эти примеры, можно схематически записать:

Формулу (*) принимаем за определение степени с рациональным показателем. Еще раз подчеркнем, что основание степени .

Замечание

если - дробь,

- не имеют смысла.

Но принятое определение имеет один недостаток – рациональное число можно записать разными способами.

Возьмем рациональное число . Это число можно записать бесконечным множеством способов. Однако этот недостаток определения в действительности является несущественным.

, значит .

Итак, определение математически корректно, т.е равенством (*) задает одно и то же число, независимо от того, как записано рациональное число в виде дроби .

Следовательно, мы принимаем соотношение (*) за определение степени с рациональным показателем, причем основание всегда считается положительным.

Пример. .

Введенное определение оказалось удачным, так как в нем сохранились все привычные свойства степеней, которые были доказаны для натуральных показателей.

На практике предпочитают заменять радикалы степенями с дробными показателями.

Вычислить:

. Это задание некорректно, так как нет определения степени с дробным показателем для отрицательного основания.

не имеет смысла.

Еще раз проверим, не дает ли противоречий новое определение?

1. Возражения?!

Если согласиться с этим, то мы сталкиваемся с противоречиями.

2. По определению степени с рациональным показателем получили:

Результаты не изменились.