1. Место и значение уравнений и неравенств в шкм

1.1. Входной контроль. Ответьте на вопросы:

1. Что такое уравнение (неравенство)?

2. Являются ли уравнениями следующие выражения: ; ; ; ? (См. [28, с. 83]).

Резюме: Существуют следующие трактовки понятия уравнения в ШКМ:

– равенство с буквой, значение которой нужно найти [28, с. 83];

– равенство с переменной [1, с. 23];

– равенство двух функций ([25], задачи 1, 5);

– математическая модель задачи [7], [32, с. 19].

1.2. О различных точках зрения на понятие уравнения

«Классическое» понимание уравнения – «это запись постановки некоторой реальной задачи. Буквы в уравнении – это неизвестные (а не переменные!). Главное в решении уравнения — поиск способа его решения» [7, с. 3].

Чаще других в учебниках математики уравнение вводится двумя способами: 1) как равенство, содержащее неизвестное число и 2) как равенство с переменной. Непосредственно после указанных формулировок следует определение корня уравнения. В первом случае корень уравнения определяется как найденное значение неизвестного числа, а во втором — как значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство. Различие между этими подходами заключается в том, что переменная «пробегает» ряд значений, а неизвестное — это буквенное обозначение конкретного числа.

Очевидно, что учитель математики должен знать, почему по-разному трактуется понятие уравнения (подробнее об этом в п. 4.1). Это поможет ему разобраться в подходе, реализованном в конкретном учебнике, а также при необходимости обобщить понятие уравнения при изучении уравнений с двумя переменными, при рассмотрении уравнений прямой, окружности, «уравнения свободного падения» и в других случаях использования термина «уравнение». Более подробно со всеми «за» и «против» каждой из указанных трактовок понятия уравнения можно ознакомиться в литературе [31], [36].

1.3. О месте и значении линии уравнений и неравенств в ШКМ

В школьном курсе математики уравнения служат для задания функции, геометрической фигуры (прямой, окружности и других геометрических мест точек), для решения текстовых задач.

Понятие уравнения в ШКМ не определяется, а вводится поясняющим описанием в пропедевтическом курсе математики как равенство с переменной¹ или как равенство с неизвестным [28] и в систематическом курсе алгебры ([1], [19] и др.). В дальнейшем обучении понятие уравнения также используется без определения [5], [6], [34]. Также обстоит дело с понятием неравенства. Даже в восьмом классе в главе «Неравенства» [2, с. 9], [33, с. 175] понятие числового неравенства не определяется. (Аргументируйте это, выполнив задание 1 А и В из самостоятельной работы).

Уравнение – центральное понятие математики. В методике преподавания математики (МПМ) выделяют три аспекта его использования.

1. Теоретико-математическая направленность линии уравнений и неравенств состоит в изучении, во-первых, обобщенных понятий и методов, относящихся к линии в целом, во-вторых, в изучении наиболее важных классов уравнений, неравенств и их систем.

2. Прикладная направленность раскрывается широким использованием уравнения как простейшей математической модели в решении задач. Это способствует овладению учащимися методом математического моделирования на доступном для них материале и ознакомлению с одним из основных средством применения математики в других естественнонаучных дисциплинах (межпредметные связи).

3. Линия уравнений и неравенств выделена как одна из четырех основных содержательных линий школьного курса алгебры (проследите самостоятельно связь данной содержательной линии с другими, можно воспользоваться литературой, например [31], [36] и др.). Этот аспект рассматривается в МПМ как направленность на установление связей с остальным содержанием курса математики (внутрипредметные связи).

Проверка знаний по многим темам школьного курса математики (например задания части С итоговой аттестации) сводится к решению уравнений, неравенств и их систем. Однако приходится констатировать, что, несмотря на большое внимание, уделяемое изучению теории уравнений в школе, результаты овладения этими знаниями крайне низкие.

Цель данной лекции — представить основные методические аспекты изучения линии уравнений (неравенств) в ШКМ, знание которых позволит учителю математики успешно обучать понятиям линии уравнений и неравенств, а также их решению.