logo
Учебное пособие_Методика

2. Характеристика этапов по обобщению понятия «степень» и подготовка к изучению показательной функции на множестве действительных чисел

Подготовка к изучению показательной функции содержит достаточно большой материал, который рассматривается с пятого по десятый класс и проходит в несколько этапов. Это объясняется следующими причинами.

1). Школьное обучение в некоторой степени повторяет исторический путь человеческих открытий в целом: в этом и состоит исторический подход к обучению. Закономерности истории развития математического знания включают его возникновение, углубление, расширение, обобщение с течением времени.

2). С психологической точки зрения понимание и усвоение математического материала проходит этапа:

а) фрагментарное понимание и усвоение;

б) логически необобщенное понимание и усвоение;

в) логически обобщенное понимание и усвоение.

Поэтому в программе заложены также три этапа формирования понятия показательной функции:

  1. Пропедевтический курс (5-6 кл.): возведение в степень с натуральным показателем.

  2. Изучение основного содержания: определение степени с натуральным и целым показателем, свойства степеней, действия со степенями (7-9 кл.).

  3. Углубление, обобщение и систематизация знаний о степени; степень с любым действительным показателем; преобразование выражений, содержащих степени; определение показательной функции; решение показательных уравнений и неравенств (10-11 кл.).

Одна из основных целей последнего этапа – привести в систему и обобщить имеющиеся у учащихся сведения о степенях, ввести понятие степени с любым действительным показателем. В зависимости от реальной подготовки класса эти уроки разрабатываются либо как уроки повторения, либо как уроки изучения нового материала. Целесообразно иметь таблицу (рис.2).

Рис. 2

За обозначением для учащихся скрывается пять разных определений (см. рис. 2). Что общего в этих определениях, почему эти разные определения дают единую картину изменения функции?

Имеет место следующий факт:

  1. Разные определения объединяются общим обозначением.

  2. Оказывается, что получившаяся функция описывает самые разные процессы.

Разъяснить эти факты поможет повторное рассмотрение вопроса об определении степени с разным показателями и введение степени с любым действительным показателем. Этот материал изучают в 10-м классе.

Все свойства степеней имеют место при выполнении тех условий (ограничений), при которых действует соответствующее определение степени.

При обобщении понятия степени следует привести в систему знания, накопленные на протяжении нескольких лет (5-9 кл.).

При повторении материала следует привлечь внимание учащихся к тому главному, что имеет значение при обобщении понятия степени.

  1. Восстановить в памяти и полностью довести до понимания, что есть сокращенная запись , и поэтому символ имеет смысл при натуральном . Поэтому правила действий могут применяться лишь тогда, когда не только компоненты, но и результат действия оказывается степенью с натуральным показателем, так как пока не выполнимо по правилу деления степеней.

  2. Следует ограничиться повторением основного свойства степени и следствий, вытекающих из него; обратить внимание, при каких значениях букв правила действий со степенями могут применяться.

  1. Основной вопрос содержания этой темы: какой смысл следует придать (вложить) в новые символы , т.е как определить их, сохранить неизменными старые правила действий, сделав ненужными ограничения, которые вытекали из первоначального определения степени с натуральным показателем и обратить внимание на новые ограничения.

  2. Нужно, чтобы определения понятий были даны не формально, не в виде немотивированных формулировок, а был бы вскрыт ход мысли, который побудил принять именно такие определения (новое определение). Все определения степени (1), (2), (3) (рис. 1) являются определениями – условными соглашениями. Задача учителя состоит в том, чтобы показать целесообразность соответствующего соглашения.