И.Я. Виленкин, с.И Шварцбурд Равенства, тождества, уравнения, неравенства

В нашем журнале ранее были опубликованы статьи о множествах и о высказываниях, вы­ражениях, переменных. Целью статей было ознакомить учителя математики, особенно учи­теля математики IV класса, с теми теоретиче­скими сведениями, которые необходимы ему для правильного понимания теоретической и методической основы новой программы и но­вого стабильного учебника математики для учащихся IV класса. В этих статьях были в сжатом виде изложены теоретические сведе­ния и их преломления в новом учебнике. В ча­стности, было указано, что сведения из теории множеств и особенно из математической логи­ки не являются предметом изучения в IV классе. Они служат своеобразной основой и прежде всего «подтекстом» учебника, содейст­вуют развитию точного языка учащихся и дают возможность просто и логически обосно­ванно ввести основные математические по­нятия.

В этой статье мы рассмотрим, каким обра­зом теоретико-множественный подход и опора на небольшое число первоначальных сведений из математической логики дают возможность вводить и формировать у учащихся такие важ­ные математические понятия, как «равенство», «тождество», «уравнение» и «неравенство». При этом не весь материал, изложенный в статье, непосредственно связан с содержани­ем учебника IV класса. Теоретические обосно­вания не должны становиться достоянием учащихся ввиду их недоступности для детей. Учитель же математики должен понимать и знать теоретическую основу и методическую концепцию, которые положены в основу изу­чаемых в IV классе понятий.

1. Равенство числовых выражений. Возьмем два числовых выражения. Если мы соединим эти выражения знаком равенства, то получим некоторое высказывание, на­пример: 8–3=20:4 или 15+12=30:2. Эти высказывания считаются истинными, если оба числовых выражения равносильны, т.е. если они имеют одно и то же числовое значение. Например, первое из написанных выше ра­венств – истинное высказывание, так как каж­дое из выражений 8–3 и 20:4 имеет числовое значение 5. Второе равенство является ложным высказыванием, так как числовое значение вы­ражения 15+12 равно 27, числовое значе­ние выражения 30:2 равно 15, а 1 27.

Хорошо известны некоторые правила, позво­ляющие сразу устанавливать равенство неко­торых числовых выражений:

1. Если в данном выражении заменить не­которое число числовым выражением, значение которого равно этому числу, то получится но­вое числовое выражение, равносильное дан­ному.

Например, заменяя в числовом выражении 15+ 6 число 6 выражением 2∙3, получаем чис­ловое выражение 15+2∙3, равносильное ис­ходному 15+ 6 = 15+2∙3.

2) Если числовое выражение а равносильно числовому выражению b, а с – некоторое числовое выражение, то выражение а+ с равно­сильно b+ с, выражение а– с равносильно b – с и выражение ас равносильно bс. Если, кроме того, значение с отлично от нуля, то выражение а : с равносильно b : с.

Некоторые другие правила образования рав­носильных выражений будут рассмотрены да­лее.

Над числовыми равенствами, как и над лю­быми высказываниями, можно выполнять опе­рации конъюнкции, дизъюнкции, импликации, отрицания. Рассмотрим некоторые примеры. Высказывание «7+4=11 и 24:3=8» есть конъюнкция двух высказываний: «7+4=11», «24:3=8». Оно истинно, так как истинны оба высказывания «7+4=11» и «24:3=8». Конъюнкция же двух высказываний «8+2=15 и 9–6=3» – ложное высказывание, хотя вто­рое входящее в него высказывание «9– 6 =3» и истинно. Дизъюнкция высказываний «7+5=11 или 7+5=12» истинное выска­зывание, хотя первое из высказываний «7+5=11» и ложно (напомним, что дизъ­юнкция высказываний «А или В» истинное высказывание, если хотя бы одно из высказы­ваний А, В истинно). Истинна и импликация высказываний «Если истинно, что 3+2=9, то истинно, что 3+5=12». Оба высказывания «3+2=9» и «3+5=12», из которых состав­лена импликация, ложны, поэтому истинна их импликация.

Особо отметим, что операцией отрицания по отношению к числовому равенству «а = b» есть высказывание «а b». Например, отрица­нием высказывания «8–4=15» есть высказы­вание «8–4 15». Первое высказывание ложно, а второе – истинно.

В статье «Высказывания, выражения, пере­менные» (Математика в школе. 1970. № 3) были указаны примеры упражнений и выдерж­ки из объяснительного текста нового учебника математики IV класса, в которых фактически даны операции над высказываниями, хотя, естественно, об этом учащимся не говорят. Так, в учебнике встречаются конъюнкция и дизъюнкция высказываний, но не встречаются отрицания высказываний и лишь изредка в упражнениях употребляются высказывания ви­да «... если ..., то ...», т. е. импликации выска­зываний.

Естественное отрицание высказывания «а = b», т. е. высказывание «а b», в учебнике не встречается, хотя в математике оно необхо­димо и используется. Это объясняется тем, что введение этого высказывания наряду с введе­нием «неравенств <, , > и » привело бы к смешению понятий. Учителю, однако, необ­ходимо иметь в виду, что знак « » в мате­матике употребителен и полезен.

2. Тождества. Рассмотрим высказывательную форму (т. е. предложение, в кото­рое входят переменные) х+ у= у+ x.

Мы считаем, что переменные х и у прини­мают любые действительные значения (т. е. что область значений этих переменных – мно­жество действительных чисел). Вообще гово­ря, высказывательная форма истинна при подстановке одних значений переменных и ложна при подстановке других значений. Од­нако высказывательная форма «х+ у = у+ х» оказывается истинной при подстановке любых значений переменных х и у. Такие высказывательные формы называют тож­дествами.

Итак, высказывательная форма называется тождеством, если она истинна при подстановке любых значений переменных. Разумеется, од­на и та же высказывательная форма может быть тождеством в одной области значений переменных и не быть тождеством в иной области значений.

Например, = 2 является тождеством в области х 0, но не является тождеством во всей области действительных чисел, так как левая часть не определена при х= 0.

Следующие тождества, выражающие свой­ства арифметических действий, являются ос­новными:

а) х+ 0= х;

б) х+ (–х)= 0;

в) х+ у = у+ х;

г) (х+ у)+ z = x+ (y+ z);

д) х ^. 1= х;

е) х ^. =1, х 0;

ж) х∙у = у∙х;

з) x∙(y∙z) = (х∙у)∙z;

и) х∙(y+z) = x∙y+ x∙z.

Комбинируя эти тождества с утверждения­ми 1) и 2) из пункта 1, получают все разно­образие тождеств, встречающихся в теории многочленов и алгебраических дробей от од­ного и нескольких переменных.

Из перечисленных тождеств в учебнике IV класса приводятся не все.

Тождества в) х+ у= у+х и г) (х+ у)+z = х+(у+ z) выражают переместительный (коммутативный) и сочетательный (ас­социативный) законы (или свойства) сложе­ния.

Тождества ж) х∙у = у∙х и з) x∙(y∙z)=(x∙y)∙z выражают коммутативный и ассоциативный законы умножения.

Тождество и) х∙(у+z) = x∙y+ x∙z выражает распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения.

В учебнике даны также тождества а) х+ 0 = х и д) х ^. 1 = х.

Не приводится в учебнике тождество б) х+ (–х)= 0, так как в программу IV класса не входят отрицательные числа (при любом х, не равном нулю, числа х и – х противопо­ложны – одно из них положительно, а дру­гое – отрицательно). В учебнике не нашло отражения и тождество е) при х 0, так как понятие о числе, обратном данному, вводится лишь в V классе при изу­чении обыкновенных дробей.

Вместе с тем в учебнике IV класса приво­дится ряд тождеств, которые не считаются ос­новными и могут быть выведены из основных тождеств: а) – и), – это тождества, опираю­щиеся на основные свойства равенств и на определения арифметических действий. Пере­числим тождества, которые приводятся в учеб­нике и не считаются основными:

1) а – 0 = а; 2) а – а = 0; 3) (а – b)∙с = а∙с – b∙с; 4) a : 1= a; 5) а : а = 1 при ; 6) 0 : а = 0 при а 0; 7) а ^. 1= 1 ^. а = а; 8) а ^. 0 = 0 ^. а = 0.

Тождества 1) и 2) являются следствием из определения разности двух чисел. Разно­стью двух чисел называется число, которое в сумме с вычитаемым дает уменьшаемое. Поэтому истинно 1), ведь для проверки этого тождества надо проверить истинность тож­дества a + 0 = а. Но это есть тождество а) из списка основных. Тождество 2) а – а = 0 можно доказать так. По определению разно­сти из 2) вытекает, что 0+a должно быть равно а. Но 0+а=a+0 на основании ком­мутативности сложения и а+0=а по основ­ному тождеству а), следовательно, 2) – истин­но. Тождество 3) (а–b)с=ас–bс получа­ется из основного тождества и), если приме­нить его для суммы двух чисел а и –b. Та­ким образом, для оправдания тождества 3), вообще говоря, нужны отрицательные числа. Однако в учебнике оно приводится лишь для тех случаев, когда а b. Тождества 4), 5) и 6) получаются из определения частного и из основных тождеств. Тождества 7) и 8) явля­ются следствием из коммутативности умно­жения.

В учебнике IV класса все тождества «про­веряются» индуктивно. Вместо букв берут числовые значения и проверяют, удовлетворя­ют ли они тождеству. Выполнив проверку для нескольких случаев, дети считают их справед­ливыми для всяких числовых значений букв. При этом каждый раз в случае расширения класса чисел вновь проводится проверка всех законов арифметических действий. В IV клас­се такая проверка проводится один раз при изучении арифметических действий над нату­ральными числами и второй раз при изучении действий над десятичными дробями. В V классе проводятся еще две проверки зако­нов – при введении отрицательных чисел и при введении обыкновенных дробей. Далее проверка должна проводиться еще два раза: для действительных чисел и при введении комплексных чисел.

3. Уравнения. Рассмотрим высказывательную форму 4x+17=25. Мы уже знаем, что если подставить вместо переменной х ка­кое-нибудь из ее значений, то в одних случа­ях получится истинное высказывание, а в других – ложное. Например, при х=2 – полу­чаем ложное высказывание 4^.x+17=25, при х=2 – истинное высказывание 4^.2+17=25. В связи с этим возникает задача: среди всех значений переменной выбрать те, при подстановке которых получается истинное равенство. В этом случае заданная высказывательная форма называется уравнением.

Итак, уравнением называется высказывательная форма, имеющая вид равенства А(х, у, .... z) =В(х, у. .... z), относительно ко­торого поставлена задача: найти все значе­ния переменной (или переменных), при под­становке которых получается истинное вы­сказывание.

Каждое значение переменной (или пере­менных), при котором получается истинное равенство, называется корнем уравнения или, иначе, решением уравнения. Таким образом, решить уравнение – это значит найти множе­ство всех его решений.

Уравнение может иметь одно, два, несколь­ко и бесконечное множество корней, а может иметь и пустое множество корней. Например, уравнение 6х –11=31 имеет один корень х = 7, уравнение х²– 6х+ 5= 0 – два корня 1 и 5, уравнение (х–1)(х–2)(х–3)(х–4)(х–5)=0 – пять корней 1, 2, 3, 4, 5. Уравне­ние х²+16=0 не имеет ни одного (действи­тельного) корня. А уравнение Зх+2х=5х имеет бесконечное множество корней, так как при любом действительном значении х ра­венство 3х+2х=5х истинно. Повторим, что если относительно равенства Зх+2х=5х ставится вопрос: найти все значения перемен­ной х, при которых это равенство истинно, то оно является уравнением. Тот факт, что это равенство истинно для всех значений х, т. е. является, как мы говорили выше, тождеством, ничего не меняет – просто множество корней этого уравнения совпадает с множеством всех действительных чисел. Вот если бы было сказано «докажите, что для всех значений х выполняется равенство Зх+2х=5х», то речь шла бы не о решении уравнения, а о доказа­тельстве тождества. Итак, одно и то же равен­ство, содержащее переменные, может рассмат­риваться и как уравнение и как тождество, в зависимости от того, какая задача ставится – найти все значения переменной, при которых это равенство истинно (решить уравнение), или доказать, что оно истинно для всех зна­чений переменной, принадлежащих данному множеству (доказать тождество).

Как и с каждой высказывательной формой, с уравнением связаны два множества – мно­жество всех допустимых значений перемен­ной и множество решений уравнения. Второе множество является подмножеством первого. Например, для уравнения множество допустимых значений переменной состоит из всех действительных чисел, кроме чисел 5 и –5 (при этих значениях переменной знаменатели дробей обращаются в нуль). Множество же корней состоит из двух чисел 3 и 4.

4. Равносильные у р а в н е н и я. Два уравнения называются равносильными, если они имеют одно и то же множество корней (в частности, если оба уравнения имеют пу­стое множество корней).

Уравнения 2х=8 и Зх+ =12+ равносильны друг другу.

Может случиться, что одно уравнение ока­зывается равносильным не одному уравне­нию, а дизъюнкции двух или нескольких урав­нений. Например, множество корней уравне­ния х²–6х+8=0 состоит из чисел 2 и 4. Таково же множество корней дизъюнкции двух уравнений 2х+ 6 = 10 и 3x+ 6 = 18 – корнем первого из них является число 2, а второго – число 4. Поэтому высказывательная форма «2x+ 6 = 10 или Зх+ 6 = 18» истинна при х = 2 или при х= 4.

5. Решение уравнений. Понятие рав­носильности уравнений играет важную роль при отыскании множества корней уравнения, или, как говорят, при решении уравнений. Обычно, чтобы решить уравнение, его заме­няют равносильным ему уравнением (или дизъюнкцией уравнений), потом снова заме­няют равносильным уравнением до тех пор, пока не придут к уравнению вида х = а или к дизъюнкции уравнений такого вида. При этом опираются на утверждения, которые мы приводим без доказательства.

а) Если к обеим частям уравнения приба­вить одно и то же выражение, определенное для всех допустимых значении переменной, то получится уравнение, равносильное исход­ному.

б) Если обе части уравнения умножить на одно и то же выражение, определенное для всех допустимых значений переменной и не обращающееся в нуль ни при одном таком значении, то получится уравнение, равносиль­ное исходному.

в) Если выражения опреде­лены на некотором множестве М, то на этом множестве уравнение равно­сильно дизъюнкции уравнений .

Покажем на примере, как решаются урав­нения с помощью этих утверждений. Пусть надо решить уравнение

–3х+5=3х–3. (1)

Сначала прибавим к обеим частям уравнения выражение с переменной –Зх+ 3 (по утверж­дению а), это приводит к равносильному урав­нению). После приведения подобных членов получаем уравнение х²– 6х+ 8 = 0. Разло­жим левую часть на множители, получим уравнение (х–2)∙(х–4)= 0. По утвержде­нию в), уравнение (1) равносильно дизъюнк­ции уравнений х– 2 = 0, х – 4 = 0. Приба­вим к обеим частям первого уравнения чис­ло 2. Получим х = 2. Точно так же из второго уравнения находим х = 4. Таким образом, мы нашли два корня уравнения: 2 и 4.

Наряду с решением уравнений путем пере­хода к равносильным уравнениям на основа­нии утверждений а) – в) применяются иные методы решения уравнений.

Так, в учебнике «Математика. 4 класс» уравнения решаются на основании определе­ния и свойств арифметических действий. На­пример, чтобы решить уравнение х+6=10, пользуемся определением разности и полу­чаем, что х+6=10 может быть истинно лишь в случае, когда истинно равенство х=10–6, т. е. х = 4. Число 4 есть решение уравнения.

Более сложные уравнения решаются «по цепочке». Например, чтобы решить уравнение 4(Зх+1)–5=23, по определению арифметических действий

4(3х+1)= 28;

3^.2+1= 28: 4;

Зх+1= 7;

Зх= 7–1;

Зх= 6

и значит х = 6: 3; х = 2. Число 2 – корень исходного уравнения.

Однако метод использования арифметиче­ских действий не годится, если переменная находится в обеих частях уравнения, напри­мер, если уравнение имеет вид 8х=Зх+15. Здесь нельзя сослаться на определение сум­мы и сказать, что слагаемое 15 есть разность суммы 8х и второго слагаемого Зх, т. е. что

8х–Зх=15. Дело в том, что здесь х не чис­ло, а переменная, а уравнение – это высказывательная форма. Равенство 8х–Зх=15 ис­тинно лишь в случае, когда истинно равенство 8х=3х+15, т. е. когда х – корень заданного уравнения.

Допустимо здесь следующее рассуждение. Предположим, что корень уравнения найден. Тогда при подстановке этого корня вместо переменной х получится истинное равенство. Теперь 8x=3х+15 стало истинным равенст­вом, х обозначает здесь уже не переменную, а только то ее значение, при котором равенство истинно. Но к обеим частям истин­ного равенства можно прибавить, не нарушив его, одно и то же число –Зх (это число, а не выражение, так как мы условились считать, что х имеет определенное значение). Итак, 8х–Зх=15, 5х = 15, а поэтому х = 3. Мы доказали, таким образом, что если х – корень уравнения 8х=Зх+15, то х = 3. Осталось проверить, что х = 3 действительно является корнем данного уравнения. В результате под­становки получаем верное равенство 8^.3=3^.3+15. Итак, единственный корень урав­нения 8х=Зх+15 равен 3. При таком под­ходе к решению уравнений проверка корней становится неотъемлемой частью решения. (Впрочем, всегда полезно проверить найден­ные корни уравнения, чтобы узнать, не сде­лана ли какая-нибудь ошибка при решении). Отметим, что действия, выполняемые при решении уравнений, по сути дела не зависят от того, решаем ли мы его на основании по­нятия равносильности, на основании свойств арифметических действий или на основании предположения, что х – корень уравнения (лишь в последнем случае обязательно про­вести проверку корней).

Таким образом, мы сейчас рассмотрели три разных приема решения уравнений: опираю­щийся на использование теорем о равносиль­ности уравнений; опирающийся на свойства арифметических действий и предполагающий, что х – это искомое решение и тогда данное уравнение – истинное равенство двух выра­жений. Над равными выражениями произво­дят операции (прибавление к обеим частям истинного равенства одного и того же числа, умножение обеих частей истинного равенства на одно и то же число и т. д.), и таким путем получают решение. Затем проводят проверку подстановкой в данное уравнение полученно­го числа в качестве предполагаемого корня уравнения.

Каждый из способов решения уравнения имеет свои достоинства и недостатки. Так, первый способ, использующий понятие о рав­носильности уравнений, логически строен, не требует проверки решения уравнений, дает возможность разобраться в решении слож­ных уравнений. Его использование в старших классах обязательно. В младших же классах он недоступен учащимся. Кстати, укажем, что некоторые методисты признают лишь решение уравнений на основе теорем о равносильности уравнений. Поэтому они считают, что раннее введение метода уравнений в курсе матема­тики невозможно (так как без теории равно­сильности не может быть строгого решения уравнений).

Третий способ решения уравнений также логически оправдан. Его использовал проф. В. Л. Гончаров в «Начальной алгебре» – очень интересном учебнике (совместно с за­дачником).

В стабильном учебнике «Математика. 4 класс» рассматривается второй метод ре­шения уравнений, а именно, способ, опираю­щийся на свойства арифметических действий. При этом даются лишь такие уравнения, ко­торые содержат переменную только в одной части. К такого вида уравнениям учащиеся должны приходить и в ходе решения задач из учебника IV класса. В этих случаях не при­ходится вычитать из обеих частей уравнения выражения, содержащие переменные.

Хотя теоретическое обоснование способа решения уравнений, используемое в IV клас­се, отличается от применяемого в старших классах, ход решения остается тем же самым. Поэтому, когда учащиеся познакомятся с тео­рией равносильности, им не придется пере­учиваться.

6. Ч и с л о в ы е неравенства. Множе­ство всех действительных чисел является объединением трех непересекающихся под­множеств: множества положительных чисел, множества отрицательных чисел и множества, состоящего из одного элемента – нуля. При этом сумма и произведение двух положитель­ных чисел – положительные числа.

Возьмем два действительных числа х и у и рассмотрим их разность х–у. Возможны три случая:

а) разность х – у положительна;

б) разность х – у отрицательна;

в) разность х – у равна нулю.

В первом случае говорят, что х больше у, и пишут х > у, во втором — х меньше у, и пишут х < у. Третий же случай возможен лишь при условии, что

х = у.

Итак, для любых двух чисел х и у выпол­няется одно и только одно из соотношений:, х < у и х = у. Следовательно, если х у, то либо х > у, либо х < у (на языке математической логики это означает, что вы­сказывание вида «х у» является дизъюнкци­ей высказываний видов «х > у» и «x < у»).

Из данного выше определения отношений х > у и х < у сразу вытекает, что высказыва­ния «х > 0» и «х – положительное число» равносильны друг другу. Равносильны друг другу и высказывания «х < 0» и «х – отрица­тельное число».

Отношение «х > у» обладает следующими свойствами:

а) Если х, у, z – любые действительные числа, такие, что х > у и у > z, то

х > z.

б) Для любых действительных чисел х, у, z, таких, что х > у, справедливо

х + z > у + z.

в) Для любых действительных чисел х и у, таких, что х > у и любого положительного числа z, истинно высказывание xz > yz.

Эти свойства непосредственно вытекают из определения соотношения х >у и свойств действий над числами. Например, чтобы до­казать свойство а), заметим, что неравенства х > у и у> z означают положительность раз­ностей х–у и у – z. Но х – 2= (х–у)+(у–z), а сумма двух положительных чисел положительна. Значит, х – z > 0 и х > z. Свойство б) сразу вытекает из того, что (х+z) – (у+z) = = х – у, а свойство в) из того, что xz – yz = ( х– у)z, а произведение двух положительных чисел положительно.

Точно так же доказываются следующие вы­сказывания:

г) если х > у и z > t, то х + z > y + t;

д) если х > у и z < 0, то xz < yz;

е) если х > у и z < t, то х – z > y – t;

ж) если х > у, у > 0 и z > t, t > 0, то xz > yt;

з) если х > у и п – любое натуральное число, то х^п > у^п;

и) если х > у, у > 0, то

Аналогичными свойствами обладает отно­шение х < у.

В учебнике IV класса никакие операции над неравенствами не выполняются. Выполняются лишь упражнения типа: проверить истинность неравенства, установить, какие числа являют­ся решениями неравенства, и сравнить число­вые значения выражений с помощью знака неравенства. Лишь в упражнениях повышен­ной трудности даны такие, при решении кото­рых полезно вычесть из обеих частей неравен­ства по одному и тому же числу или разде­лить обе части неравенства на одно и то же число. Таковы упражнения 1302 (а, б, в, е); 1303 (а); 1304 (в); 1306 (в, г). Однако не предполагается, что учащиеся их будут так решать. В пособии «Математика в IV классе. В помощь учителю» даны лишь ответы. Предполагается, что учащиеся выполнят эти упражнения, догадываясь, какие из чисел удовлетворяют данным неравенствам. Так, на­пример, в упражнении «Найдите все натураль­ные решения неравенства х+х 2» учащие­ся подставляют вместо х натуральные числа 1, 2, 3 и т. д. Сразу видно, что неравенству удовлетворяет лишь число 1, уже при значе­нии 2 левая часть больше правой. Точно так же при решении в натуральных числах нера­венства 200+х<209 (1303 (а)), учащиеся ищут ответы, лишь подставляя натуральные значения вместо переменной х. Так, если под­ставлять вместо х натуральные числа 1, 2, 3, 4 и т. д., то можно заметить, что заданному неравенству удовлетворяют лишь значения 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8. Значения большие 8 не удовлетворяют неравенству.

7. О т н о ш е н и я , . Д в о й н ы е н е­ равенства.В учебнике математики IV класса рассматриваются также отношения «а b», «а b» и двойные неравенства а < b < с, a b < с, a < b c и а b с. Определим смысл этих обозначений. Каждое из записанных не­равенств есть высказывательная форма. При подстановке одних значений переменных получаются истинные высказывания, а при под­становке других – ложные. Высказывательная форма «а b» есть дизъюнкция двух высказывательных форм «а < b» и «а = b». Дизъюнкция высказываний «3 5» истинна, так как истинно высказывание « ». Точно так же истинна дизъюнкция высказываний 5 5», так как одно из двух высказываний «5 < 5» и «5 = 5» – истинно, а именно, истинно высказывание «5 = 5». Неравенство «8 5» ложно, так как ложны оба высказывания «8<5» и «8=5». Высказывательную форму «а b» в математике читают так: «а не превосходит b» или «а не больше, чем b», высказывательную форму «а b» читают так: «а не меньше, чем b». Двойное неравенство а < b < с является конъюнкцией высказывательных форм «а < b» и «b < с». Двойное неравенство истинно лишь в том случае, если при подстановке вместо букв числовых значений получается два истинных неравенства вида «а < b» и «b < с». Например, неравенство « » истинно, так как истинны оба неравенства «4 < 10» и «10 < 18». Неравенство же «4 < 10 < 7» ложно, так как хотя и истинно неравенство « », неравенство «10 < 7» ложно. Аналогичный смысл получают двойные неравенства. Все сказанное выше о неравенствах между числами без существенных изменений переносится на неравенства между числовыми выражениями. Например, неравенство 9 – 5 < 8 + 4 истинно, так как истинно неравенство 4 < 12, где 4 – числовое значение выражения 9 – 5, а 12 – числовое значение выражения 8 + 4. Отношения , , а также двойные неравенства включены в новый учебник IV класса не как операции над высказываниями. Об этом ученикам, разумеется, говорить невозможно. Для выяснения истинности или ложности вы­сказывания учащиеся могут пользоваться лишь одним приемом – подстановкой нату­ральных значений вместо переменной. Для то­го чтобы не сделать эту работу учащихся слишком утомительной или невыполнимой, упражнения специально подобраны.

Так, например, в упражнении 286 (а) 21< х <27 учащиеся замечают, что вместо х можно подставить лишь натуральное число, большее 21, т. е. 22, 23 и т. д. Но вместе с тем подбираемые числа не должны быть больши­ми или равными 27. Поэтому множество ре­шений неравенства 21 < х <27 в натураль­ных числах есть множество {22, 23, 24, 25, 26}.

При выполнении упражнения 1304 (б) из пункта «Задачи повышенной трудности» 20 < 4х+ 4 40 учащиеся ищут ответы, лишь подставляя натуральные значения вме­сто переменной х. При подстановке вместо х натуральных чисел 1, 2, 3, 4 и т. д. можно заметить, что неравенству удовлетворяют лишь значения 5, 6, 7, 8 и 9. Значения мень­шие 5 и значения большие 9 не удовлетворяют неравенству, так как при этом не будет выпол­няться одно из неравенств (< или ).

8. Доказательство и решение не­равенств. Рассмотрим, наконец, неравенст­ва с переменными, например: 4х+1< 7х+2, х² + 4х + 3 > 0 и т. д.

Относительно таких неравенств тоже могут быть поставлены две задачи:

а) Доказать, что данное неравенство вы­полняется для всех значений переменной (или переменных), принадлежащих данному множеству.

б) Найти все значения переменной (или пе­ременных), при которых истинно данное не­равенство.

В первом случае говорят, что неравенство надо доказать, а во втором —что его надо ре­шить. Множество всех значений переменной, при которых истинно данное неравенство, на­зывается множеством его решений. Решить неравенство – это значит найти множество его решений.

Разумеется, множество решений неравенства зависит от множества значений переменной. Например, если допускаются лишь натураль­ные значения переменной и значение, равное нулю (так обстоит дело, например, в начале IV класса), то множество решений неравен­ства х < 6 состоит из чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5. Если же рассматриваются все действительный числа, то множество решений этого неравенства бесконечно – ему принадлежат, напри­мер, числа –17; –3,2; 0; 1; 0,01; 1,001; 2,542 и т. д.

При решении неравенств используется по­нятие о равносильности неравенств. Два не­равенства называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений. Имеют место следующие утверждения.

а) Если к обеим частям неравенства при­бавить одно и то же выражение, определенное для всех допустимых значении переменных, то получится неравенство, равносильное дан­ному.

б) Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится неравенство, равносильное данному.

При решении неравенств множество реше­ний часто изображают геометрически. Рас­смотрим некоторые простейшие неравен­ства.

Множество решений неравенства х а со­стоит из всех точек числовой оси, расположен­ных слева от а, и из самого числа а (рис. 1).

Рис. 1

Множество же решений неравенства х < а со­стоит из точек, расположенных слева от чис­ла а, но само число а в это множество не входит. Аналогичный вид имеет множество решений неравенства х а (рис. 2).

Рис. 2

Если эти неравенства решаются в множестве, состоящем из натуральных чисел и нуля, то множества решений неравенств х а и х < а конечны, а множества решений неравенств х а и х > а бесконечны. При этом множе­ства решений неравенств х а и х < а отли­чаются лишь одним числом (числом а).

Теперь рассмотрим двойные неравенства. Множество решений неравенства а х b состоит из всех точек числовой оси, лежащих между числами а и b, причем точки а и b включаются в это множество (рис. 3). Это множество называют отрезком, а точки а и b – концами отрезка.

Рис. 3

А множество решений неравенства а < х < b состоит из всех точек числовой оси, лежащих между а и b, причем сами точки a и b не включаются в это множество (рис. 4). Такое множество называют промежутком с концами а и b.

Рис. 4

На рисунке 5 изображены множества решений неравенств a x<bи a<x b.

Рис. 5

Рис. 5

Если неравенства решаются в множестве, состоящем из натуральных чисел и нуля, то может случиться, что различные неравенства имеют одно и то же множество решений. На­пример, для четырех неравенств 3 x 7, 3 x < 8,

2 < х 7, 2 < x < 8 множеством решений является множество {3, 4, 5, 6, 7} (рис. 6).

< 8

2 <

2 < x < 8

Рис. 6

При переходе же к множеству всех действительных чисел эти четыре неравенства имеют разные множества решений.