Решение уравнений с одной переменной степени выше первой
В 7-м классе учащиеся решают целые уравнения степени выше первой, используя свойства равенства произведения нулю: и т.п. К уравнению такого вида обычно приводится с помощью равносильного преобразования и разложения на множители уравнение .
В случае целого уравнения, если разлагается на множители, то имеем:
Квадратные уравнения имеют важное прикладное значение, к ним сводятся многие трансцендентные уравнения (показательные, логарифмические, тригонометрические).
«Квадратным уравнением называется уравнение вида , где – переменная, , и – некоторые числа, причём » [3, с. 286].
Решается полное квадратное уравнение с помощью метода разложения на множители его левой части и при помощи равносильных преобразований.
Решим квадратное уравнение. Так как , то
Числитель дроби , т.е. выражение , называют дискриминантом квадратного уравнения . Его обозначают буквой D. Значит, . Используя обозначение дискриминанта, последнее уравнение можно записать в виде .
Знаменатель дроби положителен, так как по определению квадратного уравнения . От D зависит, какие значения (положительные, нуль или отрицательные) принимает эта дробь. Рассмотрим отдельно каждый случай.
Если , то . Получаем или , т.е.
Уравнение в этом случае имеет два корня: и .
2. Если , то .
Уравнение в этом случае имеет один корень .
3. Если , то . В этом случае уравнение не имеет действительных корней.
В 8-м классе с изучением алгебраических дробей решаются дробно-рациональные уравнения с одной переменной: . Используя условие равенства дроби нулю, получим:
Таким образом, при решении уравнений используются свойства равносильных уравнений. Кроме основных свойств равносильных уравнений для каждого вида уравнений изучаются другие приемы. Так, целые уравнения чаще всего решаются с помощью метода разложения на множители, в более сложных из них используется метод введения новой переменной (метод подстановки).
- Методика изучения математики в основной школе
- Цай и.С., Ярославцева л.Г., составление, 2011
- Педагогический университет», 2011 Оглавление
- Лекция 1. Тождественные преобразования выражений
- Введение
- Основной понятийный материал
- Теоретические основы тождественных преобразований выражений
- 3. Место, содержание и значение темы в школьном курсе математики
- 3.2.1. Общеобразовательное и развивающее
- 3.2.2. Воспитательное значение
- 3.2.3. Практическое значение
- 4. Изучение тождественных преобразований выражений в пропедевтическом курсе математики
- 5. Некоторые методические особенности изучения тождественных преобразований в систематическом курсе алгебры
- Задания для самостоятельной работы
- Список литературы
- Методические рекомендации для организации самостоятельной работы студентов по теме «Тождественные преобразования выражений»
- Алгоритмы
- 1. Вынесение множителя из-под знака квадратного корня
- Внесение множителя под знак квадратного корня
- Индивидуальные задания
- Список литературы для выполнения индивидуальных заданий
- Лекция 2. Содержательная линия «уравнения и неравенства» в школьном курсе математики
- Введение
- 1. Место и значение уравнений и неравенств в шкм
- 2. Теоретические основы линии уравнений и неравенств
- 3. Основные этапы изучения уравнений и неравенств4
- 4. Введение понятия уравнения (неравенства с переменной)
- 5. Методика обучения решению уравнений и неравенств
- Решение уравнений первой степени с одной переменной
- Решение уравнений с одной переменной степени выше первой
- Введение новой переменной как прием равносильных преобразований уравнений
- Список литературы
- Методические рекомендации к изучению темы «Неравенства» в школьном курсе математики
- Общее задание:
- Темы индивидуальных заданий
- Темы рефератов
- Список дополнительной литературы
- Лекция 3. Обобщение понятия степени
- Введение
- Основная цель и значение изучения данной темы
- 2. Характеристика этапов по обобщению понятия «степень» и подготовка к изучению показательной функции на множестве действительных чисел
- 3. Примерная схема рассуждений, относящихся к методике уроков систематизации и обобщения сведений о степенях
- Список литературы
- Задания для самостоятельной работы
- Лекция 4. Изучение геометрии в основной школе
- Логическое строение геометрии
- Возможные методические подходы к построению школьного курса геометрии
- 3. Основные этапы изучения геометрии в школе
- 4. Первые уроки систематического курса геометрии
- Некоторые методические рекомендации к первым урокам геометрии
- Список литературы
- 1. Нормативные документы:
- 2. Методики:
- 3. Учебники и учебные пособия для учащихся:
- 4. Пособия для учителя:
- Методические рекомендации для организации самостоятельной работы студентов по теме «Изучение геометрии в основной школе»
- Индивидуальные задания:
- Приложение а.Д Александров о геометрии
- И.Я. Виленкин, с.И Шварцбурд Равенства, тождества, уравнения, неравенства
- Учебное издание методика изучения математики в основной школе
- Авторы-составители :
- 614990, Г. Пермь, ул. Сибирская, 24, корп. 2, оф. 71,
- 614990, Г. Пермь, ул. Сибирская, 24, корп. 1, оф. 11