Теоретические основы тождественных преобразований выражений
2.1. Существуют две точки зрения на тождественные преобразования рациональных выражений. Это алгебраическая, заключающаяся в том, что изучаются действия над выражениями. Для школы (в частности для седьмого и восьмого классов, где изучаются тождественные преобразования целых и дробно-рациональных выражений) это не представляется возможным, так как для четкого обоснования действий над рациональными выражениями необходимо знание таких понятий, как кольцо многочленов и поле рациональных дробей. Вторая точка зрения – теоретико-функциональная, рассматривающая многочлен как целую рациональную функцию (одного или нескольких переменных), а алгебраическую дробь как дробно-рациональную функцию. Подробнее об этом – в статье И.В. Баума и Ю.Н. Макарычева [1].
Для школьной алгебры представляет интерес и тот и другой подход. Нельзя недооценивать или отказываться ни от одного из них: в одних случаях приходится сосредоточивать внимание учащихся на алгебраической стороне вопроса, в других – интерес представляет функциональная сторона. Поэтому полезно объединение этих двух позиций. Например, при изучении тождественных преобразований целых выражений полезно:
рассматривать на множестве одночленов лишь одну операцию – умножение;
не рассматривать специально деление многочленов, отнеся его в раздел «рациональные дроби»;
считать тождественно равными два целых рациональных выражения, значения которых совпадают при одинаковых значениях входящих в них переменных;
тождественные преобразования строить на основе законов арифметических действий (аксиом полугруппы и кольца), считать их аксиомами тождественных преобразований.
Следует отметить, что действия над алгебраическими выражениями в том смысле, который принят в арифметике, выполнить нельзя. Выполнить обозначенные действия возможно только при каждом конкретном наборе числовых значений входящих в эти выражения букв.
Действия можно лишь обозначить: сложение обозначается знаком «+», вычитание – знаком «– », умножение – «∙», деление – чертой дроби, например, , а не : . (Объясните, почему?)
2.2. К определению алгебраических выражений целесообразно подходить с позиции математического анализа (см. рис.1), считая многочлен целой, а алгебраическую дробь – дробно-рациональной функцией. Это значит, что алгебраические выражения определяются в зависимости от операций, обозначенных над переменными и постоянными.
Определение 1. Рациональным называется такое алгебраическое выражение, которое составлено из постоянных, переменных, знаков арифметических действий и скобок.
Определение 2. Рациональное алгебраическое выражение называется целым, если в нем не обозначено деление на переменную.
Определение 3. Рациональное алгебраическое выражение называется дробным, если в нем обозначено деление на выражение, содержащее переменную.
2.3. Изучение тождественных преобразований требует хорошего владения понятием равенства. Равенством называют предложение, состоящее из двух выражений, соединенных знаком «= ».
Для изучения тождественных преобразований интерес представляют верные равенства, обладающие следующими свойствами (аксиомы равенства):
А = А – аксиома рефлексивности.
Если А = В, то В = А – аксиома симметричности.
Если А = В и В = С, то А = С – аксиома транзитивности. Это свойство имеет существенное значение в тождественных преобразованиях.
2.4. Законы арифметических действий следует считать аксиомами тождественных преобразований.
Выводы
Основными положениями, на которых строится теория тождественных преобразований, являются следующие.
Действия над целыми алгебраическими выражениями только обозначаются.
Пусть a, b, c – любой одночлен или многочлен, тогда:
сложение целых рациональных выражений коммутативно, т.е. ,
сложение ассоциативно, т. е. ,
умножение коммутативно, т.е. ,
умножение ассоциативно, т.е. ,
умножение дистрибутивно относительно сложения,
т.е. и .
Кроме этих аксиом выполняются аксиомы о действиях с нулем и единицей, а также свойства равенств:
,
,
,
,
если , то ,
если и , то .
Все остальные преобразования должны быть обоснованы ссылкой на эти аксиомы, введенные определения или уже доказанные теоремы.
Пример. Доказать справедливость равенства .
Доказательство. Рассмотрим разность а и b. По определению действия вычитания:
=
(используем свойство – ассоциативность сложения)
= =
(определение суммы противоположных выражений)
= =
( аксиома нуля)
= .
- Методика изучения математики в основной школе
- Цай и.С., Ярославцева л.Г., составление, 2011
- Педагогический университет», 2011 Оглавление
- Лекция 1. Тождественные преобразования выражений
- Введение
- Основной понятийный материал
- Теоретические основы тождественных преобразований выражений
- 3. Место, содержание и значение темы в школьном курсе математики
- 3.2.1. Общеобразовательное и развивающее
- 3.2.2. Воспитательное значение
- 3.2.3. Практическое значение
- 4. Изучение тождественных преобразований выражений в пропедевтическом курсе математики
- 5. Некоторые методические особенности изучения тождественных преобразований в систематическом курсе алгебры
- Задания для самостоятельной работы
- Список литературы
- Методические рекомендации для организации самостоятельной работы студентов по теме «Тождественные преобразования выражений»
- Алгоритмы
- 1. Вынесение множителя из-под знака квадратного корня
- Внесение множителя под знак квадратного корня
- Индивидуальные задания
- Список литературы для выполнения индивидуальных заданий
- Лекция 2. Содержательная линия «уравнения и неравенства» в школьном курсе математики
- Введение
- 1. Место и значение уравнений и неравенств в шкм
- 2. Теоретические основы линии уравнений и неравенств
- 3. Основные этапы изучения уравнений и неравенств4
- 4. Введение понятия уравнения (неравенства с переменной)
- 5. Методика обучения решению уравнений и неравенств
- Решение уравнений первой степени с одной переменной
- Решение уравнений с одной переменной степени выше первой
- Введение новой переменной как прием равносильных преобразований уравнений
- Список литературы
- Методические рекомендации к изучению темы «Неравенства» в школьном курсе математики
- Общее задание:
- Темы индивидуальных заданий
- Темы рефератов
- Список дополнительной литературы
- Лекция 3. Обобщение понятия степени
- Введение
- Основная цель и значение изучения данной темы
- 2. Характеристика этапов по обобщению понятия «степень» и подготовка к изучению показательной функции на множестве действительных чисел
- 3. Примерная схема рассуждений, относящихся к методике уроков систематизации и обобщения сведений о степенях
- Список литературы
- Задания для самостоятельной работы
- Лекция 4. Изучение геометрии в основной школе
- Логическое строение геометрии
- Возможные методические подходы к построению школьного курса геометрии
- 3. Основные этапы изучения геометрии в школе
- 4. Первые уроки систематического курса геометрии
- Некоторые методические рекомендации к первым урокам геометрии
- Список литературы
- 1. Нормативные документы:
- 2. Методики:
- 3. Учебники и учебные пособия для учащихся:
- 4. Пособия для учителя:
- Методические рекомендации для организации самостоятельной работы студентов по теме «Изучение геометрии в основной школе»
- Индивидуальные задания:
- Приложение а.Д Александров о геометрии
- И.Я. Виленкин, с.И Шварцбурд Равенства, тождества, уравнения, неравенства
- Учебное издание методика изучения математики в основной школе
- Авторы-составители :
- 614990, Г. Пермь, ул. Сибирская, 24, корп. 2, оф. 71,
- 614990, Г. Пермь, ул. Сибирская, 24, корп. 1, оф. 11