5. Некоторые методические особенности изучения тождественных преобразований в систематическом курсе алгебры
При изучении тождественных преобразований любого вида выражений следует рассмотреть следующие вопросы:
1) определение (или описание, если не дается определение),
теоретическая база, на которой основываются преобразования,
виды преобразований.
Сделаем следующие замечания к изучению конкретных видов тождественных преобразований.
5.1. Как любое математическое понятие тождественные преобразования выражений являются как предметом, так и средством изучения.
5.2. Заметим, что название выражения определяется его видом, поэтому следует правильно читать выражения. Например,
– разность двух одночленов или двучлен,
– произведение одночлена на двучлен,
– степень одночлена,
– квадрат двучлена,
– многочлен, тождественно равный квадрату двучлена, – неполный квадрат разности и др.
В связи с этим сделаем еще одно замечание об употреблении терминов. Нередко можно слышать вопрос: «Между какими из следующих пар выражений: и , и можно поставить знак равенства?» (имеется в виду вопрос, какие из пар выражений будут тождественно равными). Знак равенства можно поставить между выражениями любых пар, только возникает вопрос: будут ли при этом выражения тождественно равными?
Учитывая замечание, вопрос следует задать, например, так: «Имеем выражения: и , и . В каких из указанных пар выражения будут тождественно равными?».
5.3. Как уже было сказано, в школьном курсе алгебры все «действия» над алгебраическими выражениями только обозначаются, а затем полученные выражения (например, сумма , произведение ) преобразуются в тождественно равные выражения.
5.4. В связи с этим подчеркнем, что основная задача тождественных преобразований – не действия над выражениями, а приведение выражений к стандартному виду. Сделаем замечание по терминологии: «к стандартному», «к простейшему», «к нормальному», «к каноническому» — могут использоваться как синонимы.
5.5. При выполнении тождественных преобразований следует обращать внимание учащихся на то, что в каждом конкретном случае целью преобразований является представление выражения в виде, удобном для решения поставленной задачи.
Пример 1. Для нахождения значения выражения при и целесообразно представить его в виде 28,5∙ . В этом случае вместо трех громоздких вычислений выполняется два и устно. Но если , а , то выполнение указанного преобразования – нецелесообразно.
Пример 2. Найти значение выражения при и . Непосредственная подстановка приведет к громоздким вычислениям, а преобразование дроби – к выводу о независимости значения выражения от значений и : .
Пример 3. Чтобы выяснить, является последовательность bn = возрастающей или убывающей, полезно представить общий член в виде и сразу сделать вывод.
Пример 4. Часто для достижения цели бывает полезно не упростить, а усложнить выражение, выполнив тождественные преобразования. Примером могут служить преобразования, выполняемые при выводе формулы корней квадратного уравнения . Квадратный трехчлен преобразуется в произведение: = и далее выделяется квадрат двучлена: = .
5.6. Одной из особенностей изучения тождественных преобразований является совместное изучений взаимно обратных преобразований. Например, умножение одночлена на многочлен и вынесение общего множителя за скобки, умножение многочлена на многочлен и разложение на множители способом группировки можно изучать на одном уроке или на двух последовательных уроках. Это дает выигрыш во времени и способствует качественному усвоению материала.
5.7. Говоря об особенностях системы упражнений, необходимо отметить, что тождественные преобразования выступают не как самоцель, а как средство для раскрытия свойств выражений и решения различного рода содержательных задач, в частности:
для упрощения выражений;
нахождения значения выражений;
установления тождественного равенства двух выражений;
решения уравнений, неравенств;
исследования функций;
для решения задач на делимость и т.д. (см. упр. на с.4).
В системе упражнений целесообразно усилить внимание к выполнению различных видов обратных задач, например, заменить знаки вопросов в следующих выражениях:
(? + ?)2 = ;
;
и др.
Громоздкие упражнения не являются целесообразными, так как отнимают много времени, а коэффициент полезного действия мал.
5.8. В качестве особенности тождественных преобразований отметим их алгоритмичность. Она заложена как в самом содержании, так и в правилах выполнения тождественных преобразований, и в формировании навыков тождественных преобразований.
Например, правило умножения дробей: чтобы умножить дробь на дробь, нужно: 1) перемножить их числители, 2) перемножить их знаменатели, 3) первое произведение записывать в числителе, а второе – в знаменателе.
Пример разложения многочлена на множители (план):
– вынести за скобки общий для всех членов множитель, если таковой имеется;
– если в скобках двучлен, проверить, не является ли полученное в скобках выражение разностью квадратов. Если да, то применить соответствующее тождество сокращенного умножения;
– если в скобках получился трехчлен, проверить, не является ли он квадратом двучлена. Если да, то применить соответствующее тождество сокращенного умножения;
– если в скобках невозможно применить тождества сокращенного умножения, надо попытаться произвести разложение на множители способом группировки.
Большое внимание уделяется формированию навыков тождественных преобразований. Основные этапы формирования навыков тождественных преобразований подробно изложены в статье Н. Г. Миндюк [14]. Рекомендуем ее изучить.
- Методика изучения математики в основной школе
- Цай и.С., Ярославцева л.Г., составление, 2011
- Педагогический университет», 2011 Оглавление
- Лекция 1. Тождественные преобразования выражений
- Введение
- Основной понятийный материал
- Теоретические основы тождественных преобразований выражений
- 3. Место, содержание и значение темы в школьном курсе математики
- 3.2.1. Общеобразовательное и развивающее
- 3.2.2. Воспитательное значение
- 3.2.3. Практическое значение
- 4. Изучение тождественных преобразований выражений в пропедевтическом курсе математики
- 5. Некоторые методические особенности изучения тождественных преобразований в систематическом курсе алгебры
- Задания для самостоятельной работы
- Список литературы
- Методические рекомендации для организации самостоятельной работы студентов по теме «Тождественные преобразования выражений»
- Алгоритмы
- 1. Вынесение множителя из-под знака квадратного корня
- Внесение множителя под знак квадратного корня
- Индивидуальные задания
- Список литературы для выполнения индивидуальных заданий
- Лекция 2. Содержательная линия «уравнения и неравенства» в школьном курсе математики
- Введение
- 1. Место и значение уравнений и неравенств в шкм
- 2. Теоретические основы линии уравнений и неравенств
- 3. Основные этапы изучения уравнений и неравенств4
- 4. Введение понятия уравнения (неравенства с переменной)
- 5. Методика обучения решению уравнений и неравенств
- Решение уравнений первой степени с одной переменной
- Решение уравнений с одной переменной степени выше первой
- Введение новой переменной как прием равносильных преобразований уравнений
- Список литературы
- Методические рекомендации к изучению темы «Неравенства» в школьном курсе математики
- Общее задание:
- Темы индивидуальных заданий
- Темы рефератов
- Список дополнительной литературы
- Лекция 3. Обобщение понятия степени
- Введение
- Основная цель и значение изучения данной темы
- 2. Характеристика этапов по обобщению понятия «степень» и подготовка к изучению показательной функции на множестве действительных чисел
- 3. Примерная схема рассуждений, относящихся к методике уроков систематизации и обобщения сведений о степенях
- Список литературы
- Задания для самостоятельной работы
- Лекция 4. Изучение геометрии в основной школе
- Логическое строение геометрии
- Возможные методические подходы к построению школьного курса геометрии
- 3. Основные этапы изучения геометрии в школе
- 4. Первые уроки систематического курса геометрии
- Некоторые методические рекомендации к первым урокам геометрии
- Список литературы
- 1. Нормативные документы:
- 2. Методики:
- 3. Учебники и учебные пособия для учащихся:
- 4. Пособия для учителя:
- Методические рекомендации для организации самостоятельной работы студентов по теме «Изучение геометрии в основной школе»
- Индивидуальные задания:
- Приложение а.Д Александров о геометрии
- И.Я. Виленкин, с.И Шварцбурд Равенства, тождества, уравнения, неравенства
- Учебное издание методика изучения математики в основной школе
- Авторы-составители :
- 614990, Г. Пермь, ул. Сибирская, 24, корп. 2, оф. 71,
- 614990, Г. Пермь, ул. Сибирская, 24, корп. 1, оф. 11