3. Решение задач на нахождение четвертого пропорционального (способ прямого и обратного приведения к единице, способ отношений)
Среди задач в два действия выделяется группа задач, решаемых приведением к единице. Решая такие задачи, учащиеся практически должны усвоить свойства величин, находящихся в прямо пропорциональной зависимости
В содержание задачи на так называемое простое тройное правило входят две величины, связанные пропорциональной зависимостью, при этом даются два значения одной величины и одно из соответствующих значений другой величины, требуется же найти второе значение этой величины, при условии, что третья, связанная с ними величина остается без изменения. Используя любые три величины, связанные пропорциональной зависимостью, можно составить шесть видов задач на нахождение четвертого пропорционального [1].
В таблице дана классификация задач на нахождение четвертого пропорционального с величинами: цена, количество, стоимость.
Как видно из таблицы, первые четыре задачи с прямо пропорциональной зависимостью величин, а две последние с обратно пропорциональной.
Каждую из этих шести задач можно решить способом нахождения значения постоянной величины, т. е. сначала найти значение постоянной величины, а затем, используя его, найти искомое. Например, решение этим способом задачи I будет таким: 4:2·6 = 12 (сначала узнали цену моркови - значение постоянной, а затем стоимость 6 кг). Для задач I и II видов этот способ называется также способом приведения к единице. В начальных классах преимущественно используется этот способ, а начиная с 4 класса можно использовать составление уравнений. Эти задачи решаются во 3 и 4 классах. Во 3 классе рассматриваются преимущественно задачи с прямо пропорциональной зависимостью (I-IV виды), при этом включаются задачи с такими группами величин: цена, количество, стоимость; масса одного предмета, число предметов, общая масса; емкость одного сосуда, число сосудов, общая емкость; выработка в единицу времени, время работы, общая выработка; расход материи на одну вещь, число вещей, общий расход материи. В 4 классе рассматривается решение всех шести видов задач. Здесь вводятся новые группы величин: скорость, время, расстояние; длина прямоугольника, его ширина и площадь; урожай с единицы площади, площадь, весь урожай.
№ задач | Величины | Задачи | ||
| цена | количество | стоимость |
|
I | Постоянная | Даны два значения | Дано одно значение, а другое является искомым | За 2 кг моркови уплатили 4 грн. Сколько надо уплатить за 6 кг моркови по такой же цене? |
II | Постоянная | Дано одно значение, а другое является искомым | Даны два значения | За 6 кг моркови уплатили 12 грн. Сколько килограммов моркови по такой же цене можно купить на 4 грн.? |
III | Даны два значения | Постоянное | Дано одно значение, а другое является искомым | За кусок льняного полотна ценой по 20 грн. за метр уплатили 80 грн. Сколько уплатят за кусок шелкового полотна такой же длины, если его цена 40 грн. за метр? |
IV | Дано одно значение, а другое является искомым | Постоянное | Даны два значения | За кусок шелкового полотна ценой по 40 грн. за метр уплатили 160 грн., а за кусок льняного полотна такой же длины уплатили 80 грн. По какой цене покупали льняное полотно? |
V | Даны два значения | Дано одно значение, а другое является искомым | Постоянная | За 6 детских костюмов ценой по 40 грн. уплатили столько же, сколько за детские пальто ценой по 120 грн. Сколько купили детских пальто? |
VI | Дано одно значение, а другое является искомым | Даны два значения | Постоянная | За 2 детских пальто ценой по 120 грн. уплатили столько же, сколько за 6 детских костюмов. По какой цене покупали костюмы? |
Рассмотрим способы решения задач на нахождение четвертого пропорционального, представленные в методике начального обучения математике под редакцией Л.Н. Скаткина.
Возьмем для примера задачу: «Пароход за 2 ч прошел 40 км. Сколько километров пройдет пароход за 4 ч при той же скорости?». В этой задаче известны два значения времени и одно значение расстояния, соответствующее первому значению времени: известно, что скорость движения не изменяется, требуется найти другое значение расстояния.
Рассмотрим различные способы решения этой задачи, записывая слева решение, справа - его обоснование.
/ способ решения - способ прямого приведения к единице.
Устное решение:
2 ч 40 км
1 ч 20 км
4 ч 80 км
Письменное решение:
1) 40 км : 2= 20 км;
20 км • 4 = 80 км.
Приводится к единице численное значение времени, два значения которого известны.
Прямая пропорциональность:
При постоянной скорости: при уменьшении времени в 2 раза расстояние уменьшится в 2 раза; затем при увеличении времени в 4 раза расстояние увеличится в 4 раза.
// способ решения - способ обратного приведения к единице.
Обратная пропорциональность:
При постоянной скорости на прохождение 1 км пути потребуется времени в 40 раз меньше, чем на прохождение 40 км пути, т. е. 3 мин, а за 4 ч (240 мин) пароход пройдет во столько раз больше километров, во сколько раз 240 мин больше 3 мин.
Устное решение:
40 км 2 ч, или 120 мин
1 км 3 мин
4 ч, или 240 мин80 км.
Письменное решение:
1) 120 мин : 40= 3 мин;
240 мин : 3 мин = 80 (км).
Приводится к единице численное значение расстояния, одно значение которого известно, а другое неизвестно.
Этот искусственный способ решения данной задачи приведен для того, чтобы изучающие методику представляли, что способ прямого приведения к единице и способ обратного приведения к единице может быть применен к одной и той же задаче в два действия с пропорциональными величинами.
Способ обратного приведения к единице естественно используется для решения задач, подобных следующей: «Пароход прошел за 2 ч 40 км. За сколько часов пройдет пароход при той же скорости 80 км?»
Решение этой задачи:
1) 40 км : 2 = 20 км;
2) 80 км : 20 км = 4 (ч).
/// способ решения - способ нахождения отношения.
Краткая запись задачи:
2 ч 40 км
4чх
Решение:
1) 4 ч : 2 ч = 2;
2) 40 км · 2 = 80 км.
При постоянной скорости движения во сколько раз увеличивается время, во столько же раз увеличивается и пройденное расстояние.
Замечание. Способ нахождения отношения в начальных классах может быть применен только в том случае, если числа, выражающие два различных значения одной величины, кратны одно другому. Способ обратного приведения к единице удобно использовать при решении задач, в которых требуется найти неизвестное значение количества или времени.
Задачи на пропорциональное деление вводятся в 4 классе. Эти задачи включают две переменные величины, связанные пропорциональной зависимостью, и одну или больше постоянных, причем даны два или более значений одной переменной и сумма соответствующих значений другой переменной, слагаемые этой суммы являются искомыми. Применительно к каждой группе величин, связанных пропорциональной зависимостью, можно выделить 6 видов задач на пропорциональное деление, четыре из которых с прямо пропорциональной зависимостью величин, а две с обратно пропорциональной зависимостью.
В начальных классах решаются задачи на пропорциональное деление только с прямо пропорциональной зависимостью величин. Эти задачи представлены в таблице.
№ задач | Величины | Задачи | ||
| цена | количество | стоимость |
|
I | Постоянная | Даны два или более значений | Дана сумма значений, соответствующих количеству. Найти слагаемые | Ученица купила по одинаковой цене 6 тетрадей в клетку и 4 тетради в линейку. Всего она уплатила 6 грн. Сколько стоили тетради в клетку и в линейку в отдельности? |
II | Постоянная | Дана сумма значений, соответствующих стоимости. Найти слагаемые | Даны два или более значений | Ученица купила по одинаковой цене тетради в клетку и линейку, всего 10 штук. За тетради в клетку она уплатила 3 грн. 50 коп., а за тетради в линейку 1 грн. 50 коп. Сколько было куплено тетрадей в клетку и в линейку в отдельности? |
III | Даны два или более значений | Постоянное | Дана сумма значений, соответствующих цене. Найти слагаемые | В магазине продали одинаковое количество шапок и шарфов. Шапка стоила 20 грн., а шарф 10 грн. За все проданные вещи выручили 150 грн. Сколько стоили все шапки и шарфы в отдельности? |
IV | Дана сумма значений соответствующих стоимости. Найти слагаемые | Постоянное
| Даны два или более значений | В магазине продали, одинаковое количество шапок и шарфов. Шапка с шарфом стоили 30 грн. За все шапки выручили 100 грн., а за все шарфы 50 грн. Сколько стоили шапка и шарф в отдельности? |
В начальных классах задачи на пропорциональное деление решаются только способом нахождения значения постоянной величины.
Задачи на нахождение неизвестных по двум разностям также вводятся в 4 классе. Они включают две переменные и одну или несколько постоянных величин, причем даны два значения одной переменной и разность соответствующих значений другой переменной, а сами значения этой переменной являются искомыми. По отношению к каждой тройке величин, находящихся в пропорциональной зависимости, можно выделить шесть видов задач на нахождение неизвестных по двум разностям. Однако в начальных классах ограничиваются рассмотрением двух следующих видов задач (см. таблицу).
N задач | Величины | Задачи | ||
| цена | количество | стоимость |
|
I | Постоянная | Даны два значения | Дана разность значений, соответствующих количеству. Найти каждое значение | На костюмы для участников хора купили по одинаковой цене два куска шелковой материи: в одном было 20 м, в другом 15 м. За первый кусок уплатили на 200 грн. больше, чем за второй. Сколько стоил каждый кусок материи? |
II | Постоянная | Дана разность значений, соответствующих стоимости. Найти каждое значение | Даны два значения | На костюмы участникам хора купили по одинаковой цене два куска шелковой материи: за один кусок уплатили 800 грн., а за другой 600 грн. В первом куске было на 5 м материи больше, чем во втором. Сколько метров материи было в каждом куске? |
Сначала рассматриваются задачи, I вида, а затем II вида. Эти задачи решаются только способом нахождения значения постоянной величины.
В качестве подготовительных упражнений к введению задач этого типа полезно предлагать задачи-вопросы и простые задачи повышенной трудности, которые помогут детям уяснить соответствие между двумя разностями, например:
1) Сестра купила 5 одинаковых тетрадей, а брат 8 таких же тетрадей. Кто из них больше уплатил денег? Почему? За сколько тетрадей брат уплатил столько же денег, сколько уплатила сестра?
2) Брат и сестра купили тетради по одинаковой цене. Брат купил на 3 тетради больше, чем сестра, и уплатил на 1 грн. 80 к. больше, чем сестра. Сколько стоила одна тетрадь?
Выполняя предметную иллюстрацию, надо показать детям, что брат купил столько же тетрадей, сколько сестра, и еще 3 тетради и уплатил денег столько же, сколько сестра, и еще 1 грн. 80 коп. Отсюда можно заключить, что 3 тетради стоят 1 грн. 80 коп., значит, можно узнать, сколько стоит 1 тетрадь.
Такие упражнения надо включать с различными группами пропорциональных величин
- Билет № 1
- 1.Общая характеристика современного процесса обучения: понятие, характер, цели и функции.
- 2.Определите основные задачи и пути развития речи младших школьников на уроках русского языка в начальных классах.
- 3.Разработайте конспект предметного урока по природоведению (класс, тема по выбору студента).
- 8. Узагальнення матеріалу із використанням наочності.
- Билет № 2
- 1.Общее представление о деятельности.
- 2.Раскройте особенности методической работы по формированию у учащихся начальных классов умений решать задачи определенных видов.
- 3. Решение задач на нахождение четвертого пропорционального (способ прямого и обратного приведения к единице, способ отношений)
- 3.Подберите подвижные игры на развитие ловкости и скорости (класс по выбору студента).
- Билет № 3
- 1.Технология коллективного творческого воспитания по и. П. Иванову.
- 2.Охарактеризуйте процесс анализа художественных произведений в начальных классах на уроках классного чтения (русский язык).
- 3.Составьте конспект урока - беседы о творчестве художника в.М. Васнецова «Удивительный мир сказки ».
- Билет № 4
- 1.Классификация вредных факторов производственной среды.
- 2.Методика изучения фонетических и морфологических написаний на уроках украинского языка в начальной школе.
- 3.Разработайте конспект урока в первом классе по теме: «Числа1 - 10 и число 0» по действующим учебникам.
- 1.Усна лічба
- 2. Каліграфічна хвилинка. Робота в парах.
- Билет № 5
- 1.Сущность, двусторонний характер, противоречия и закономерности современного процесса воспитания.
- 2.Подвижная игра как средство физического воспитания детей. Значение и классификация подвижных игр.
- 3.Обоснуйте систему работы над развитием украинской речи первоклассников.
- Билет № 6
- 1.Понятие о мышлении.
- 2.Методика обучения младших школьников упражнениям легкоатлетического характера.
- 3.Подберите систему приемов по ознакомлению учащихся с новым звуком и новой буквой на уроке обучения русской грамоте (основной период обучения, тема по выбору).
- Билет № 7
- 1.Технология развивающего обучения д.Б. Эльконина - в.В. Давыдова.
- 2.Охарактеризуйте особенности методической работы по формированию пространственных представлений у младших школьников.
- 3.Спланируйте словарную работу в процессе ознакомления с художественным текстом (по выбору) на уроке классного чтения в 3 классе ( русский язык).
- Содержание словарной работы над языком «Сказки о рыбаке и золотой рыбке» а.С. Пушкина
- Билет № 8
- 1.Инструктажи по вопросам охраны труда. Виды инструктажей по охране труда
- 2.Особенности изучения произведений различных жанров.
- Билет № 9
- 1.Личность педагога. Современные требования к личности и профессионализму.
- 2.Раскройте методику работы над словосочетанием и предложением, элементами синтаксиса и пунктуации на уроках русского языка в начальной школе.
- Методика работы над словосочетанием
- Методика работы над предложением
- Ознакомление с пунктуацией
- 3.Смоделируйте фрагмент урока «Сложение и вычитание двузначных чисел» на уроках математики.
- Vі. Усний рахунок.
- V. Розвиток математичних знань.
- Vі. Розв’язування задач.
- Vіі. Розвиток математичних знань.
- Vііі. Підсумки уроку.
- Билет № 10
- 1.Проблема соотношения обучения и развития в современной психологии.
- 2.Методика словарной работы с детьми младшего школьного возраста на уроках украинского языка.
- 3.Составьте план - конспект экскурсии с учениками начальной школы на выставку. Билет № 11
- 1.Гуманно - личностная технология ш.А. Амонашвили.
- 2.Охарактеризуйте особенности использования дифференцированного подхода на уроках математики в начальной школе.
- 3.Составьте основную часть урока гимнастики (класс на выбор).
- Билет № 12
- 1.Обязанности работодателя в сфере охраны труда.
- 2.Урок физической культуры - основная форма организации детей в процессе физического воспитания.
- 3.Выполните анализ составных задач трех видов, которые рассматриваются в третьем классе начальной школы.
- Билет № 13
- 1.Коллектив как условие и средство развития детской группы.
- 1.1. Разработка теории коллектива в трудах отечественных педагогов.
- 1.2. Особо весомый вклад в разработку теории и практики коллектива внес а.С.Макаренко.
- 1.3. Существенные признаки коллектива и его функции.
- 1.4. Этапы и уровни развития детского коллектива.
- 1.6. Организация коллективной деятельности
- 2.Раскройте особенности проведения исследований и экспериментов на уроках естествознания в начальной школе.
- «Однорідні члени речення»
- 1.Організаційний момент.
- 2.Повідомлення теми, мети уроку.
- 3.Актуалізація знань, вмінь, навичок.
- 4. Повідомлення нових знань, вмінь, навичок.
- 5.Закріплення знань, вмінь, навичок.
- 2.Формирование физических качеств младших школьников в процессе выполнения физических упражнений.
- 3.Спланируйте упражнения по формированию графического навыка и исправления недочётов письма учащихся 1 класса (русский язык, основной период обучения грамоте, тема по выбору).
- Билет № 15
- 1.Технология проблемного обучения.
- 2.Охарактеризуйте современный урок математики в начальных классах и требования к нему.
- Билет № 16
- 1.Причины производственного травматизма.
- 2.Типы уроков классного чтения.
- Уроки ознайомлення з новим твором
- 3.Составьте план инструкции для проведения исследовательской работы в начальной школе (класс, тема по выбору студента).
- Билет № 17
- 1.Понятие, классификация и общая характеристика основных форм обучения различных образовательных уровней, которые реализуются в отечественной школе.
- 2.Раскройте систему работы по формированию словообразовательных понятий у младших школьников.
- 3.Составьте математический диктант с целью проверки знаний учащихся по теме «Нумерация чисел второго десятка» на основах дифференцированного подхода.
- Билет № 18
- 1.Соотношение понятий «человек», «индивид», «личность», «индивидуальность».
- 2.Раскройте систему работы по формированию полноценного навыка чтения у школьников на уроках русского языка и чтения в начальных классах.
- 3.Составьте конспект урока по теме «Петриковская роспись».
- Билет № 19
- 1.Технология с.М. Лысенковой: перспективно - опережающее обучение с использованием опорных схем при комментируемом управлении.
- 2.Методика изучения типов предложений по цели высказывания и интонации, главных и второстепенных членов предложения.
- 3.Подберите физические упражнения, направленные на развитие ловкости для младших школьников, исходя из определения ловкости как физического качества.
- Билет № 20
- 1.Меры предупреждения производственного травматизма.
- 2.Раскройте особенности организации домашней работы по математике: ее цели, содержание, методика проведения.
- 3.Обоснуйте систему работы над словом на уроках украинского языка и литературного чтения.
- Билет № 21
- 1 Система образования в Украине, ее структура и основные тенденции развития.
- 2.Охарактеризуйте методику организации и проведения наблюдения на уроках курса «я и Украина» в начальной школе.
- 2. Обобщение признаков и установление связей между признаками понятия после наблюдения над словосочетаниями:
- 4. Конкретизация грамматического понятия на новом языковом материале.
- Обобщение и систематизация знаний. Исправление ошибок.
- Итог урока. Беседа.
- Билет № 22
- 1.Понятие о способностях: проблема биологического и социального в структуре способностей, виды и уровни способностей.
- 2.Методы и приемы организации детей на уроках физической культуры, обеспечивающие моторную и общую плотность урока.
- 3.Спланируйте упражнения по формированию речевых умений в работе над связным текстом. Подберите дидактический материал (русский язык, класс по выбору). Билет № 23
- 1.Личностно - ориентированное развивающее обучение (и.С. Якиманская).
- 2.Влияние нетрадиционных техник рисования на развитие творческих способностей учащихся начальной школы.
- 3.Составьте памятку «Подготовка учителя к уроку математики».
- Билет № 24
- 1.Понятие особенностей воспитательного взаимодействия в условиях воспитательной системы.
- 2.Обучение младших школьников передачи объема и пространства в реалистическом рисовании на уроках изобразительного искусства в начальных классах.
- 3.Составьте и обоснуйте логическую схему формирования естественных и социальных понятий, таких как: общество, человек, животное, растения, неживая природа.
- Билет № 25
- 1.Понятие и структура характера: представление о характере в отечественной и зарубежной психологии, понятие об акцентуации характера.
- 2.Методика проведения наблюдений и опытов на уроках труда в начальной школе.
- 3.Спланируйте урок по изучению сказки (класс, произведение на выбор).
- Билет № 26
- 1.Понятие, классификация и общий смысл традиционных методов обучения.
- 2.Средства физического воспитания учащихся начальных классов.
- 3.Разработайте пример дифференцированной работы на уроке математики над составными сюжетными задачами.
- Билет № 27
- 1.Темперамент в структуре индивидуальности человека.
- 2.Раскройте структуру творческих проектов естественно - социального содержания на уроках курса «я и Украина» в начальной школе.
- 3.Составьте конспект урока по теме «Портретный жанр в живописи».
- V. Практическая работа.
- VI . Завершение урока
- Билет № 28
- 1.Основные направления работы классного руководителя.
- 2.Раскройте особенности методической работы учителя начальных классов по изучению натуральных чисел на уроках математики.
- 3.Составьте комплекс ору, которые используются на уроках с элементами легкой атлетики.
- Билет № 29
- 1.Основные проблемы психологии мотивации.
- 2.Виды переводов и методика работы над ними.
- 3.Составьте план индивидуальной и массовой работы по экологическому воспитанию в начальной школе.
- Билет № 30
- 1.Педагогический процесс как целостная система и основная категория педагогики.
- 2.Охарактеризуйте современный процесс обучения первоклассников русской грамоте.
- 3.Составьте несколько тестовых заданий для учащихся начальной школы по изобразительному искусству. Билет №12
- 1.Обязанности работодателя в сфере охраны труда.
- 2.Урок физической культуры - основная форма организации детей в процессе физического воспитания.
- 3.Выполните анализ составных задач трех видов, которые рассматриваются в третьем классе начальной школы.
- Билет № 16
- 1.Причины производственного травматизма.
- 2.Типы уроков классного чтения.
- Уроки ознайомлення з новим твором
- 3.Составьте план инструкции для проведения исследовательской работы в начальной школе (класс, тема по выбору студента).
- Билет № 7
- 1.Технология развивающего обучения д.Б. Эльконина - в.В. Давыдова.
- 2.Охарактеризуйте особенности методической работы по формированию пространственных представлений у младших школьников.
- Содержание словарной работы над языком «Сказки о рыбаке и золотой рыбке» а.С. Пушкина