VI. Содержание программы по дисциплине «Теоретические основы начального курса математики»

6.1. Особенности математических понятий. Объем и содержание понятия. Отношения между понятиями. Определение математического понятия. Виды определений. Структура определения через род и видовые отличия. Основные требования к таким определениям. Остенсивные и контекстуальные определения.

6.2. Высказывания и высказывательные формы (предикаты). Смысл слов «и», «или», «не» в составных высказываниях. Правила построения отрицания высказываний. Правила нахождения множеств истинности высказываний. Структура высказываний, содержащих кванторы. Способы установления значения истинности таких высказываний. Правила построения отрицания высказываний с кванторами. Отношения логического следования и равносильности между высказывательными формами. Необходимое и достаточное условия. Структура теорем. Виды теорем, связанных с данной.

6.3. Понятие множества и элемента множества. Способы задания множеств. Подмножество. Равные множества. Изображения отношений между множествами при помощи кругов Эйлера. Операции над множествами: пересечение, объединение, вычитание. Свойства пересечения и объединения множеств. Понятие разбиения множества на попарно непересекающиеся подмножества (классы). Разбиение множества на классы при помощи одного или нескольких свойств. Декартово умножение множеств. Изображение декартова произведения двух числовых множеств на координатной плоскости. Число элементов в объединении, разности, декартовом произведении конечных множеств.

6.4. Понятие бинарного отношения на множестве. Способы задания отношений, их свойства (рефлективность, симметричность, антисимметричность, транзитивность). Отношение эквивалентности и его связь с разбиением множества на классы. Отношение порядка. Понятие соответствия. Способы задания соответствий. Соответствие, обратное данному. Взаимно однозначные соответствия. Равномощные множества. Определение числовой функции. Способы задания функций. Возрастание и убывание функций. Прямая и обратная пропорциональности, их свойства и графики. Использование свойств прямой и обратной пропорциональности при решении текстовых задач различными способами.

6.5. Числовое выражение, его значение. Числовые равенства и неравенства. Основные свойства истинных числовых равенств и неравенств. Выражение с переменной. Область определения выражения. Тождественные преобразования выражений. Понятие тождества. Понятие уравнения с одной переменной и его решение. Теоремы о равносильности уравнений. Понятие неравенства с одной переменной и его решение. Теоремы о равносильности неравенств.

6.6. Натуральное число как общее свойство класса конечных равномощных множеств. Теоретико-множественный смысл числа «нуль». Смысл отношений «равно» и «меньше». Теоретико-множественный смысл суммы двух целых неотрицательных чисел. Законы действия сложения. Теоретико-множественный смысл разности двух целых неотрицательных чисел. Теорема о существовании разности. Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа. Теоретико-множественный смысл произведения двух целых неотрицательных чисел. Переместительный и сочетательный законы действия умножения. Дистрибутивные (распределительные) законы умножения относительно сложения и вычитания. Теоретико-множественный смысл частного целого неотрицательного числа и натурального. Теорема о существовании частного. Правила деления суммы на число и числа на произведение. Невозможность деления на нуль. Теоретико-множественный смысл деления с остатком.

6.7. История возникновения и развития способов записи целых неотрицательных чисел. Понятие системы счисления. Позиционные и непозиционные системы счисления. Запись и название чисел в десятичной системе счисления. Сравнение чисел. Позиционные системы счисления, отличные от десятичной; запись чисел, арифметические действия, переход от записи чисел в одной системе счисления к записи в другой системе счисления.

6.8. Понятие скалярной величины. Измерение величин. Свойства скалярных величин. Краткая характеристика Международной системы единиц (Сu). Длина отрезка и ее измерение.

6.9. Понятие отношения делимости, его свойства: рефлективность, антиссимметричность, транзитивность. Делимость суммы, разности, произведения целых неотрицательных чисел. признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9, 25 в десятичной системе счисления. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное натуральных чисел. Признаки делимости на составные числа.