Аксиоматический метод

Математика изучает формы и отношения, отвлекаясь от их содер­жания, все математические доказательства проводятся путем логиче­ского рассуждения. Но если теорема А выводится из теоремы В, а тео­рема В из теоремы С и т.д., то получается «бесконечное возвращение назад». Аналогичная ситуация возникает при попытке давать опреде­ления новым понятиям, основываясь на ранее введенных понятиях. Чтобы избежать такого «бесконечного возвращения назад», применя­ют аксиоматический метод.

Первой дошедшей до нас попыткой такого изложения математиче­ской дисциплины была книга Евклида «Начала». Аксиоматический метод можно рассматривать как метод построения теорий, как науч­ный метод познания, как метод обучения математике.

Сущность аксиоматического метода. Метод установления ис­тинности предложений заключается в следующем: некоторые предложения принимаются за исходные (их называют аксиома­ми), истинность же других предложений, не входящих в список аксиом (называемых теоремами), устанавливается с помощью ло­гического доказательства, в котором (обычно неявно) использу­ются правила логического следования (вывода), гарантирующие истинность заключения при истинности посылок. Явное исполь­зование этих правил вывода (дедукции) превращает таким обра­зом построенную математическую теорию в дедуктивную (аксио­матическую) систему.

В математике аксиоматический метод, как метод построения мате­матических теорий, дает возможность использовать его в качестве ме­тода обучения, если в процессе обучения привлекать самих учащихся к построению «маленьких теорий», постепенно расширяющих изучае­мую теорию, в которую они включаются.

Аксиоматический метод как метод обучения служит для сис­тематизации знаний учащихся, выяснения того, «что из чего следует», для установления истинности предложений специфи­ческим для математики способом, для вывода новых знаний из имеющихся.