Классификация задач

В современной методической и психологической литературе при­нята классификация задач. По характеру требования:

• задачи на доказательство;

• задачи на построение;

• задачи на вычисление.

По функциональному назначению:

• задачи с дидактическими функциями;

• задачи с познавательными функциями;

• задачи с развивающими функциями. По величине проблемности:

• стандартные (известны все компоненты задачи);

ВИДЫ ЗАДАЧ И ИХ ФУНКЦИИ

По своему функциональному назначению задачи как средство обу­чения могут быть направлены или на формирование знаний, умений и навыков учащихся (обучающие задачи), или на осуществление контро­ля со стороны учителя или учащихся уровня сформированности зна­ний, умений и навыков (контролирующие задачи).

Обучающие задачи, прежде всего, связаны с формированием эле­ментов теоретических знаний и связанных с ними умений.

В системе задач, направленных на усвоение нового понятия и его определения, выделяют задачи:

• на раскрытие практической значимости понятия или его значи­мости для дальнейшего продвижения в изучении математики;

на актуализацию знаний и умений, необходимых при формиро­вании понятия; — на выделение существенных признаков понятия;

— на распознавание понятия;

— на усвоение текста определения понятия;

— на использование математической символики;

— на установление свойств понятия;

— на применение понятия;

— на усвоение математических понятий;

— на овладение математической символикой.

ОСНОВНЫЕ КОМПОНЕНТЫ ЗАДАЧИ

В задаче выделяют основные компоненты:

1. Условие — начальное состояние;

2. Базис решения — теоретическое обоснование решения;

3. Решение — преобразование условия задачи для нахождения тре­буемого заключением искомого;

4. Заключение — конечное состояние.

Математическими считаются все задачи, в которых переход от на­чального состояния (1) к конечному (4) осуществляется математиче­скими средствами, т.е. математическим характером компонентов: обоснование (2) и решение (3).

Если все компоненты задачи (условие, обоснование, решение, за­ключение) — математические объекты, то задача называется чисто ма­тематической; если математическими являются только компоненты решение и базис решения, то задача называется прикладной математи­ческой задачей.

На основе рассмотренной модели общего понятия задачи и ее ос­новных компонентов строят дидактически направленную модель ти­пологических особенностей задачи, зависящих от того, на каком этапе обучения эта задача предъявлена учащимся, какими знаниями и опы­том обладают школьники в момент ее предъявления, в какой форме сформулирована задача и т.д.

Проблемный характер задачной системы определяется тем, какие из основных компонентов задачи неизвестны.

Стандартной называется задача, в которой четко определено условие, известны способ решения и его обоснование, а также даны упраж­нения на воспроизведение известного. Задача называется обучающей, если в ней неизвестен или плохо определен один из основных компо­нентов. Если неизвестны два компонента, задача называется поисковой, а если три — проблемной.

В литературе встречается следующая классификация задач: на вычисление, на доказательство, на построение, на исследование, однако такое деление не может быть инструментом в обучении школьников решению задач, потому что задачи этих видов не от­личаются друг от друга уровнем сложности, характером деятель­ности человека по их решению. Например, в задачах на вычисле­ние и построение приходится много доказывать, а в задачах на построение и доказательство приходится много исследовать и т.д., поэтому такая классификация задач ничего не дает. Кроме того, задачи делят на правильные, с противоречивыми данными, с лиш­ними данными, теоретические и практические, стандартные и не­стандартные и т.д.

Интересна классификация задач, учитывающая характер связей между элементами задачи, соотношение между воспроизводящей и творческой деятельностью учеников:

— алгоритмические задачи;

— полуалгоритмические задачи;

— эвристические задачи.

Алгоритмические задачи — задачи, которые решаются с помощью непосредственного применения определения, теоремы, т.е. для реше­ния которых имеется алгоритм. Например, задача на нахождение гипо­тенузы в прямоугольном треугольнике по известным катетам по фор­муле Пифагора. Применение алгоритма быстро и легко приводит к желаемому результату.

Полуалгоритмические задачи — задачи, правила решения которых носят обобщенный характер и не могут быть полностью сведены к объ­единению элементарных актов. Связи между элементами этих задач легко обнаруживаются учениками. Полуалгоритмические задачи в ка­честве подзадач содержат алгоритмические задачи. Например, извест­ны стороны треугольника и высота, опущенная на основание. Необхо­димо найти периметр треугольника.

Решая полуалгоритмические задачи, ученик учится «сворачивать» знания, фиксируя их в сознании крупными блоками. При этом он на­чинает применять усвоенные алгоритмы в разных ситуациях.

Эвристические задачи — задачи, для решения которых необходи­мо выявить некоторые скрытые связи между элементами условия и требования или найти способ решения, причем этот способ не явля­ется очевидной конкретизацией некоторого обобщенного правила, известного ученику, или сделать и то и другое. Например, известны стороны треугольника. Нужно найти расстояние от середины высо­ты, проведенной к меньшей стороне, до большей стороны треуголь­ника.

При решении эвристических задач ученик должен использовать эв­ристические приемы и методы.

ЭТАПЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

Решение задачи осуществляется в несколько этапов.

1. Ознакомление с содержанием задачи.

— Осознание условия и требования задачи, усвоение и разработка элементов условия (или элементов цели).

— Поиск необходимой информации в сложной системе памяти.

— Соотнесение условия и заключения задачи с имеющимися зна­ниями и опытом и т.д.

2. Поиск решения — выдвижение плана решения задачи.

— Целенаправленные пробы различных сочетаний из данных и ис­комых.

— Попытки подвести задачу под известный тип.

— Выбор наиболее приемлемого в данных условиях метода решения (из известных).

— Выбор стратегии решения, поиск плана решения и его корректи­ровка на основе предварительной апробации, соотнесения с условием задачи и интуитивными соображениями, фиксирование определенно­го плана решения задачи и т.д.

3. Процесс решения — реализация плана решения.

— Проводится практическая реализация плана решения во всех его деталях с одновременной корректировкой через соотнесение с услови­ем и выбранным базисом, выбор способа оформления решения, запись результата и т.д.

4. Проверка решения задачи.

— Фиксация конечного результата решения.

—Критический анализ результата, поиск путей рационализации решения, исследование особых и частных случаев, выявление сущест­венного (потенциально полезного), систематизация новых знаний и опыта и т.д.

Сюжетной называют такую задачу, в которой данные и связь между ними включены в фабулу. Содержание сюжетной задачи чаще всего представляет собой некоторую ситуацию, более или менее близкую к жизни. Эти задачи важны, главным образом, для усвоения учащимися математических отношений, для овладения эффективным методом познания - моделированием, для развития способностей и интереса учащихся к математике. Таковыми являются, например, текстовые за­дачи на составление уравнения. При решении текстовой задачи с по­мощью составления уравнения необходимо придерживаться следую­щей последовательности действий:

1. Вычленить условие и требование задачи.

2. Установить зависимость между данными и искомыми.

3. Выявить способ составления уравнения и т.д. Учебными действиями, посредством которых решается учебная за­дача, являются:

— преобразование условий предметной задачи с целью выявления в ней основного отношения;

— моделирование выделенного отношения в предметной, графиче­ской или буквенной форме;

— преобразование модели отношения для изучения его свойств;

— построение системы частных задач, решаемых общим способом. Решение задач в 5 — 6 классах осуществляется, в основном, тремя способами:

— арифметическим, при котором все логические операции при ре­шении задачи проводятся над конкретными числами и основой рассу­ждения является знание смысла арифметических действий;

— алгебраическим, при котором составляется уравнение (система уравнений), его решение основано на свойствах уравнений;

— комбинированным, который включает как арифметический, так и алгебраический способы решения.

ОРГАНИЗАЦИЯ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Задачи на уроках математики решаются, в основном, фронтальным образом. Фронтальное решение задач — решение одной и той же задачи всеми учениками класса в одно и то же время. Организация фронталь­ного решения задач может быть различной.

Устное решение задач наиболее распространено в среднем звене об­щеобразовательной школы, несколько реже в старших классах. Это, прежде всего, выполняемые устно упражнения в вычислениях и тожде­ственных преобразованиях и задачи-вопросы, истинность ответов на которые подтверждается устными доказательствами. Такое решение задач может проходить в форме «пятиминутки» устных упражнений. При организации устных фронтальных упражнений следует использо­вать таблички, кодоскоп и другие средства представления учащимся устной задачи, что значительно экономит время и оживляет урок мате­матики.

Письменное решение задач с записью на классной доске самим учите­лем или учащимися на уроках применяют:

— при решении первых после показа учителем задач по ознакомле­нию с новыми понятиями и методами;

— при решении задач, самостоятельно с которыми могут справить­ся не все ученики класса;

— при рассмотрении различных вариантов решения одной и той же задачи - для сравнения и выбора лучшего решения;

— при разборе ошибок, допущенных несколькими учениками клас­са при самостоятельном решении задач и т.д.

Письменное самостоятельное решение задач — наиболее эффектив­ная форма организации решения математических задач, при которой ученики обучаются творчески думать, самостоятельно разбираться в различных вопросах теории и приложений математики. Письменное самостоятельное решение задач значительно повышает учебную ак­тивность учащихся, возбуждает их интерес к решению задач, стимули­рует творческую инициативу. Формы организации самостоятельного решения задач могут быть различными.

Комментирование решения математических задач: все ученики са­мостоятельно решают одну и ту же задачу, а один из них последователь­но поясняет (комментирует) решение. Ученик-комментатор объясня­ет, на каком основании он выполняет то или иное преобразование, проводит то или иное рассуждение, построение. При этом каждый шаг должен быть оправдан ссылкой на известные математические предло­жения.

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Учитель должен выяснить подготовку, возможности и способности к изучению математики каждого ученика и в соответствии с этим орга­низовать решение математических задач.

Исключительное значение имеют самостоятельные работы уча­щихся по устранению пробелов в знаниях. Такие пробелы могут быть выявлены с помощью проверочных и контрольных работ, при реше­нии задач на уроке или дома. Положительные результаты по устране­нию пробелов в знаниях дают работы над ошибками, коррекционные самостоятельные уроки.

Содержание задач и упражнений, предлагаемых для домашней ра­боты учащихся, должно быть подготовлено предшествующей работой на уроке. Домашнее задание имеет целью не только повторение, но и дальнейшее совершенствование математических знаний, умений и на­выков. Необходимо учитывать различие индивидуальных особенно­стей школьников и индивидуализировать домашние задания.

Через индивидуальные домашние задания (параллельно с работой на уроке) можно выявить наклонности отдельных учащихся к математике и раз­вить их. Часто в качестве индивидуального домашнего задания могут выступать реферативные доклады, сообщения, анализ статей и публи­каций математического характера, практические задания и др.

Вопросы для самопроверки

1. Какова роль задач в обучении математике? Какие функции выполняют задачи в про­цессе обучения школьников математике?

2. Объясните смысл принципа «обучение через задачи».

3. Охарактеризуйте виды задач и опишите их. Приведите примеры задач разных видов.

4. Назовите и охарактеризуйте основные компоненты задачи. Произведите разбор ка­кой-либо задачи покомпонентно.

5. Раскройте содержание этапов решения задач:

— анализ условия задачи;

— поиск способа решения задачи;

— реализация способа решения задачи;

— оценка различных способов решения задачи;

— использование задачи и ее решения для составления новых задач.

6. Выберите любую задачу и разработайте поэтапную методику ее решения.

7. Как организовать работу учителя по формированию у школьников умения решать математические задачи?

8. Как индивидуализировать процесс решения задачи?

Литература

Балл Г.А. Теория учебных задач: Психолого-педагогический аспект. - М., 1990.

Болтянский В.Г. Анализ — поиск решения задачи // Математика в школе, 1974, № 7.

ВознякГ.М. Прикладные задачи в мотивации обучения//Математика в школе, 1990, № 2.

Габович И.Г. Алгоритмический подход к решению геометрических задач: Кн. для уча­щихся. — М., 1996.

Епишева О.Б., Крупич В.И. Учить школьников учиться математике: Формирование приемов учебной деятельности: Кн. для учителя. — М., 1990.

Калягин Ю.М. Задачи в обучении математике. Ч. I, II. — М., 1977.

Колягин Ю.М., Оганесян В.А. Учись решать задачи: Пособие для учащихся 7 — 8 клас­сов. — М., 1980.

Корчевский В.Е., Салимжанов P.M. Приемы составления тестовых заданий // Мате­матика в школе, 1995, № 2.

Кострикина Н.П. Как учить школьников 4 — 5 классов решать задачи // Математика в школе, 1987, № 1.

Кожухов С.К. Составление задач школьниками // Математика в школе, 1995, № 2.

Куликов Ю.М. Вариации на тему учебной задачи // Математика в школе, 1994, № 2.

Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: Учеб. посо­бие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов/ В. А. Оганесян, Ю. М. Колягин, Г. Л. Луканкин, В. Я. Саннинский. 2-е изд., перераб. и доп. — М., 1980.

Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: Учеб. посо­бие для студентов пед. ин-тов /А. Я. Блох, Е. С. Канин и др.; Сост. Р. С. Черкасов, А. А. Столяр. - М., 1985.

Нешков К.И., СемушинАД. Функции задач в обучении//Математика в школе, 1971,

№3.

ФонинД.С, Целищева И.И. Моделирование как основа обучения решению задач раз­личными способами // Математика в школе, 1994, № 2.

Фридман Л.М. Методика обучения решению математических задач // Математика в школе. - 1991. - № 5.

Фридман Л.М. Логико-психологический анализ учебных задач. — М., 1977.

Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи: Пособие для учащихся. 2-е изд., перераб. и доп. — М., 1984.

Цукарь А.Я. О типологии задач // Современные проблемы методики преподавания математики: Сб. статей /Сост. Н.С. Антонов, В.А. Гусев. — М., 1985.

Цукарь А.Я. Схематизация и моделирование при решении текстовых задач // Мате­матика в школе, 1998, № 5.

Иванов В.Г. Переформулировка задачи // Математика в школе, 1987, № 5.

Шапиро И.М. Использование задач с практическим содержанием в преподавании математики: Кн. для учителя. — М., 1990.

Шевкин А.В. Как надо обновлять тематику школьных задач // Математика в школе, 1995, № 2.

Учитель, который хочет принес­ти пользу всем своим учащимся и тем, которые будут, и тем, которые не бу­дут после школы пользо ватъся мате­матикой, должен обучать решению задач так, чтобы это обучение на одну треть было математикой, а на две трети здравым смыслом.

Д.Пойя

К числу наиболее методически важных оснований педагогики отно­сится ведущая и направляющая роль авторитетного педагога.

Б.Т.Лихачев